（新课标）2021版高考数学一轮总复习 第二章 函数 第6讲 函数的单调性导学案 新人教A版

第6讲函数的单调性【课程要求】1了解函数单调性的概念，会讨论和证明一些简单函数的单调性2利用函数的单调性求最值，求单调区间及参数的取值范围对应学生用书p14【基础检测】1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)若定义在r上的函数f(x)，有f(1)f(3)，则函数f(x)在r上为增函数()(2)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()(3)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(4)函数yf(x)的单调增区间为非空集合a，函数yf(x)在区间b上单调递增，则ab.()答案 (1)(2)(3)(4)2必修1p39b组t1函数f(x)x22x的单调递增区间是_答案 1，)(或(1，)3必修1p44a组t9若函数f(x)x22mx1在2，)上是增函数，则实数m的取值范围是_解析由题意知，2，)m，)，m2.答案 (，24函数f(x)的单调递增区间是()a(，2 b(，1c1，) d4，)解析由x22x80得x4或x2，令x22x8t，则y为增函数，tx22x8在4，)上的增区间便是原函数的单调递增区间，原函数的单调递增区间为4，)答案d5已知函数f(x)是定义在区间0，)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f(2x1)f的x的取值范围是()a.b.c.d.解析因为函数f(x)是定义在区间0，)上的增函数，满足f(2x1)f.所以02x1，解得x.答案d6如图，aod是一直角边长为1的等腰直角三角形，平面图形obd是四分之一圆的扇形，点p在线段ab上，pqab，且pq交ad或交弧db于点q，设apx(0x2)，图中阴影部分表示的平面图形apq(或apqd)的面积为y，则函数yf(x)的大致图象是()解析观察可知阴影部分的面积y的变化情况为：(1)当0x1时，y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越快(2)当1x2时，y随x的增大而增大，而且增加的速度越来越慢分析四个答案中的图象，只有选项a符合条件，故选a.答案a【知识要点】1函数的单调性(1)增函数、减函数增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为i，如果对于定义域i内某个区间d上的任意两个自变量的值x1，x2当x1x2时，都有f(x1)f(x2)，那么就说函数f(x)在区间d上是_增函数_当x1f(x2)，那么就说函数f(x)在区间d上是_减函数_图象特征自左向右看图象是_上升的_自左向右看图象是_下降的_(2)单调区间的定义若函数f(x)在区间d上是增函数或减函数，则称函数f(x)在这一区间上具有(严格的)_单调性_，区间d叫做f(x)的_单调区间_2函数单调性的判断方法(1)定义法：取值、作差、变形、定号、结论(2)复合法：同增异减，即内外函数的单调性相同时，为增函数，不同时为减函数(3)导数法：利用导数研究函数的单调性(4)图象法：利用图象研究函数的单调性对应学生用书p15函数单调性的证明例1已知定义域为r的奇函数f(x)2x.(1)求a的值；(2)判断f(x)的单调性，并用单调性的定义加以证明解析 (1)函数f(x)是定义在r上的奇函数，f(0)0，即f(0)1a0，解得a1，经检验，符合题意，a1.(2)f(x)在r上是增函数证明如下：由(1)可得，f(x)2x，设x1，x2r，且x1x2，则f(x1)f(x2)2x12x2(2x12x2)(2x12x2)(2x12x2).x1，x2r，且x1x2，2x12x2，10，f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2)，因此，f(x)在r上是增函数小结利用定义证明函数f(x)在给定区间d上的单调性的一般步骤：任取x1，x2d，且x1x2；作差；变形(通常是因式分解、通分、配方)；判断符号(即判断f(x1)f(x2)的符号)；下结论(即指出函数f(x)在给定区间d上的单调性)1判断并证明函数f(x)ax2(其中1a3)在1，2上的单调性解析法一：函数f(x)ax2(1a0，则kf(x)与f(x)单调性相同；若k0)在公共定义域内与yf(x)，y的单调性相反；(4)函数yf(x)(f(x)0)在公共定义域内与y的单调性相同3谨防3种失误(1)单调区间是定义域的子集，故求单调区间应以“定义域优先”为原则(2)单调区间只能用区间表示，不能用集合或不等式表示(3)图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“”连接2函数f(x)ln(x22x8)的单调递增区间是()a(，2) b(，1)c(1，) d(4，)解析由x22x80，得x4或x2.设tx22x8，则ylnt为增函数要求函数f(x)的单调递增区间，即求函数tx22x8的单调递增区间函数tx22x8的单调递增区间为(4，)，函数f(x)的单调递增区间为(4，)故选d.答案d3函数y的单调递减区间是()a.b.c(0，e) d(e，)解析y，令ye.所以单调递减区间是，选d.答案d函数单调性的应用例3(1)已知函数f(x)的图象关于直线x1对称，当x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)abbcbacacbdbac解析因为f(x)的图象关于直线x1对称，所以ff.由x2x11时，f(x2)f(x1)(x2x1)0恒成立，知f(x)在(1，)上单调递减12ff(e)，bac.答案d(2)已知函数f(x)是r上的单调函数，则实数a的取值范围是()a.b.c.d.解析由对数函数的定义可得a0，且a1.又函数f(x)在r上单调，而二次函数yax2x的图象开口向上，所以函数f(x)在r上单调递减，故有即所以a.答案b(3)已知函数f(x)是r上的增函数，a(0，3)，b(3，1)是其图象上的两点，那么不等式3f(x1)1的解集的补集是(全集为r)()a(1，2) b(1，4)c(，1)4，) d(，12，)解析由函数f(x)是r上的增函数，a(0，3)，b(3，1)是其图象上的两点，知不等式3f(x1)1即为f(0)f(x1)f(3)，所以0x13，所以1x2，故不等式3f(x1)1的解集的补集是(，12，)答案d小结1.比较函数值大小的解题思路：比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间上进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解2解函数不等式的解题思路：先利用函数的相关性质将不等式转化为f(g(x)f(h(x)的形式，再根据函数的单调性去掉“f”，得到一般的不等式g(x)h(x)(或g(x)f(x)，则实数x的取值范围是()a(，1)(2，)b(，2)(1，)c(1，2)d(2，1)解析当x0时，两个表达式对应的函数值都为0，函数的图象是一条连续的曲线又