（新课改地区）2021版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.3 利用导数研究函数的极值、最值课件 新人教B版

第三节利用导数研究函数的极值 最值 内容索引 必备知识 自主学习核心考点 精准研析核心素养 微专题核心素养测评 教材 知识梳理 1 函数的极值与导数 1 函数的极小值与极小值点 若函数f x 在点x a处的函数值f a 比它在点x a附近其他点的函数值 f a 0 而且在点x a附近的左侧 右侧 则点a叫做函数的极小值点 f a 叫做函数的极小值 都小 f x 0 f x 0 2 函数的极大值与极大值点 若函数f x 在点x b处的函数值f b 比它在点x b附近其他点的函数值 f b 0 而且在点x b附近的左侧 右侧 则点b叫做函数的极大值点 f b 叫做函数的极大值 都大 f x 0 f x 0 2 函数的最值与导数 1 函数f x 在 a b 上有最值的条件 如果在区间 a b 上函数y f x 的图象是一条 的曲线 那么它必有最大值和最小值 2 求y f x 在 a b 上的最大 小 值的步骤 求函数y f x 在 a b 内的 将函数y f x 的各极值与 比较 其中最大的一个是最大值 最小的一个是最小值 连续不断 极值 端点处的函数值f a f b 常用结论 1 辨明两个易误点 1 求函数极值时 误把导数为0的点作为极值点 2 易混极值与最值 注意函数最值是个 整体 概念 而极值是个 局部 概念 2 明确两个条件 1 f x 0在 a b 上成立 是f x 在 a b 上单调递增的充分不必要条件 2 对于可导函数f x f x0 0是函数f x 在x x0处有极值的必要不充分条件 3 记住两个结论 1 若函数在开区间 a b 内的极值点只有一个 则相应极值点为函数最值点 2 若函数在闭区间 a b 的最值点不是端点 则最值点亦为极值点 知识点辨析 正确的打 错误的打 1 函数f x 在区间 a b 内一定存在最值 2 函数的极大值一定比极小值大 3 对于可导函数f x f x0 0是x0为极值点的充要条件 4 函数的最大值不一定是极大值 最小值也不一定是极小值 提示 1 例如函数f x x 在 1 2 内不存在最值 2 函数的极大值比局部的函数值大 不一定大于极小值 3 对可导函数f x f x0 0是x0为极值点的必要条件 4 最值和极值是不同的概念 函数的最值可能是极值 也可能是在区间端点处取得 易错点索引 教材 基础自测 1 选修2 2p30练习at1改编 函数f x 的定义域为r 导函数f x 的图象如图所示 则函数f x a 无极大值点 有四个极小值点b 有三个极大值点 一个极小值点c 有两个极大值点 两个极小值点d 有四个极大值点 无极小值点 解析 选c 设f x 的图象与x轴的4个交点的横坐标从左至右依次为x1 x2 x3 x4 当x0 f x 为增函数 当x1 x x2时 f x 0 f x 为减函数 则x x1为极大值点 同理 x x3为极大值点 x x2 x x4为极小值点 2 选修2 2p30练习at2改编 函数f x x3 12x的极小值为 极大值为 解析 由题意可得f x 3x2 12 3 x 2 x 2 令f x 0 得x 2或x 2 则f x f x 随x的变化情况如表 所以函数f x 在x 2处取得极大值16 函数f x 在x 2处取得极小值 16 答案 1616 3 选修2 2p30练习bt2改编 已知函数f x x3 6x2 9x 则f x 在闭区间 1 5 上的最小值为 最大值为 解析 f x 3x2 12x 9 令f x 0 即x2 4x 3 0 得x 1或x 3 当 10 所以f x 在 1 1 3 5 上为增函数 当1 x 3时 f x 0 所以f x 在 1 3 上为减函数 f 1 16 f 3 0 f 1 4 f 5 20 故f x 在闭区间 1 5 上的最小值为 16 最大值为20 答案 1620 思想方法数形结合思想在函数极值问题中的应用 典例 2020 珠海模拟 若函数f x ex x 3 kx3 kx2只有一个极值点 则k的取值范围为 a e b 0 e c 2 d 0 2 解析 选b f x ex x 2 kx2 2kx x 2 ex kx 若函数f x ex x 3 kx3 kx2只有一个极值点 则f x 0只有一个实数解 则ex kx 0 从而得到ex kx 设u x ex h x kx 如图 当两函数相切时 k e 此时得到k的最大值 但k 0时不成立 故k的取值范围为 0 e 思想方法指导 1 函数极值问题通常可转化为方程根的个数或不等式问题 2 用函数的图象讨论方程 特别是含参数的指数 对数 根式 三角等复杂方程 的解的个数是一种重要的解题思路 其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式 不熟悉时 需要作适当变形转化为两熟悉的函数 然后在同一坐标系中作出两个函数的图象 图象的交点个数即为方程解的个数 3 解不等式问题经常联系函数的图象 根据不等式的结构特征 选择适当的两个 或多个 函数 利用两个函数图象的上 下位置关系转化为数量关系来解决不等式的解的问题 往往可以避免繁琐的运算 获得简捷的解答 迁移应用 2019 黄山模拟 已知函数f x ax有两个极值点 则实数a的取值范围是 a b 1 c 1 0 d 分析 函数f x 有两个极值点 转化为方程f x 0有两不等实根 利用参数分离法进行转化求解即可 解析 选d 因为函数f x 有两个极值点 所以方程f x a 0有两个不同的根 即