（新课标）2021版高考数学一轮总复习 第五章 平面向量、复数 第26讲 平面向量的概念及线性运算导学案 新人教A版

第五章 平面向量、复数知识体系p731平面向量2复数第26讲平面向量的概念及线性运算【课程要求】1理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义；理解向量的几何表示2掌握向量的加法、减法的运算，并理解其几何意义3掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义4了解向量线性运算的性质及其几何意义对应学生用书p73【基础检测】1判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)向量与有向线段是一样的，因此可以用有向线段来表示向量()(2)|a|与|b|是否相等与a，b的方向无关()(3)若ab，bc，则ac.()(4)若向量与向量是共线向量，则a，b，c，d四点在一条直线上()(5)当两个非零向量a，b共线时，一定有ba，反之成立()(6)若两个向量共线，则其方向必定相同或相反()答案 (1)(2)(3)(4)(5)(6)2必修4p86例4已知abcd的对角线ac和bd相交于点o，且a，b，则_，_(用a，b表示)解析如图，ba，ab.答案ba；ab3必修4p108b组t5在平行四边形abcd中，若|，则四边形abcd的形状为_解析如图，因为，所以|.由对角线长相等的平行四边形是矩形可知，四边形abcd是矩形答案矩形4(多选)已知m，nr，a，b是向量，则下列命题错误的是()am(ab)mambb(mn)amanac若mamb，则abd若mana，则mn解析由数乘向量的运算律知，数乘向量对数和向量都有分配律，所以a、b正确；当m0时，a，b不一定相等，当a0，m，n未必相等，所以c、d错误答案cd5设e1，e2是两个不共线的向量，且ae1e2与be2e1共线，则实数()a1b3cd.解析ae1e2与be2e1共线，存在实数t，使得bta，即e2e1t(e1e2)，即e2e1te1te2，t1，t，即.答案d6设d，e分别是abc的边ab，bc上的点，adab，bebc.若12(1，2为实数)，则12的值为_解析()，1，2，即12.答案【知识要点】1向量的有关概念名称定义备注向量既有大小又有方向的量；向量的大小叫做向量的长度(或称模)平面向量是自由向量零向量长度为0的向量；其方向是任意的记作0单位向量长度等于1个单位的向量非零向量a的单位向量为平行向量方向相同或相反的非零向量共线向量方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量0与任一向量平行或共线相等向量长度相等且方向相同的向量两向量只有相等或不等，不能比较大小相反向量长度相等且方向相反的向量0的相反向量为02.向量的线性运算向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律abba.(2)结合律：(ab)ca(bc).减法求a与b的相反向量b的和的运算叫做a与b的差三角形法则aba(b)数乘求实数与向量a的积的运算(1)|a|a|；(2)当0时，a的方向与a的方向相同；当0时，a的方向与a的方向相反；当0时，a0(a)()a；()aaa；(ab)ab.3.共线向量定理向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使得ba.【知识拓展】1一般地，首尾顺次相接的多个向量的和等于从第一个向量起点指向最后一个向量终点的向量，即an1an，特别地，一个封闭图形，首尾连接而成的向量和为零向量2若p为线段ab的中点，o为平面内任一点，则()3.(，为实数)，若点a，b，c共线，则1.对应学生用书p74平面向量的概念例1给出下列结论：两个单位向量是相等向量；若ab，bc，则ac；若一个向量的模为0，则该向量的方向不确定；若，则ab；若a与b共线，b与c共线，则a与c共线其中正确结论的个数是()a1个b2个c3个d4个解析两个单位向量的模相等，但方向不一定相同，错误；若ab，bc，则ac，向量相等具有传递性，正确；一个向量的模为0，则该向量一定是零向量，方向不确定，正确；若，则ab，还要方向相同才行，错误；a与b共线，b与c共线，则a与c共线，当b为零向量时不成立，错误答案b小结向量有关概念的5个关键点(1)向量：方向、长度(2)非零共线向量：方向相同或相反(3)单位向量：长度是一个单位长度(4)零向量：方向没有限制，长度是0.(5)相等向量：方向相同且长度相等1设a0为单位向量若a为平面内的某个向量，则a|a|a0；若a与a0平行，则a|a|a0；若a与a0平行且|a|1，则aa0.上述命题中，假命题的个数是()a0b1c2d3解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故是假命题；若a与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a|a|a0，故也是假命题综上所述，假命题的个数是3.答案d平面向量的线性运算例2(1)如图，abc中，记a，b，则_(用a和b表示)解析ba(ab)(ba).答案(ba)(2)平面直角坐标系中，o为原点，a，b，c三点满足，则()a1b2c3d.解析，3.答案c(3)如图所示，下列结论正确的是()ab; ab；ab; ab.abcd解析由ab，知ab，正确；由ab，从而错误；b，故ab，正确；2bab，错误综上，正确的为.答案c小结向量的运算有两种方法，一是几何运算往往结合平面几何知识和三角函数知识解答，运算法则是：平行四边形法则(平行四边形的对角线分别是两向量的和与差)；三角形法则(两箭头间向量是差，箭头与箭尾间向量是和)；二是坐标运算：建立坐标系转化为解析几何问题解答向量的加法、减法及数乘统称为向量的线性运算，有了向量的线性运算，平面中的点、线段(直线)就可以利用向量表示，为用向量法解决几何问题(或用几何法解决向量问题)奠定了基础对于用已知向量表示未知向量的问题，找准待求向量所在三角形，然后利用条件进行等量代换是关键，这一过程需要从“数”与“形”两方面来把握2如图，在abc中，点d在bc边上，且cd2db，点e在ad边上，且ad3ae，则用向量，表示为()a.b.c.d.解析由平面向量的三角形法则及向量共线的性质可得().答案b共线向量定理的应用例3已知非零向量a和b不共线(1)若ab，2a8b，3(ab)，求证：a，b，d三点共线；(2)若kab和akb共线，求实数k的值解析 (1)因为ab，2a8b，3(ab)，所以2a8b3(ab)2a8b3a3b5(ab)5，所以与共线又，有公共点b，所以a，b，d三点共线(2)因为kab与akb共线，所以存在实数，使得kab(akb)，即kabakb，所以(k)a(k1)b.因为a，b是两个不共线的非零向量，所以kk10，所以k210，所以k1.经检验，k1均符合题意小结利用平面向量基本定理进行点共线和向量共线的相关运算时，如果已知点共线，则很容易得到向量共线；如果已知向量共线来证明点共线，必须找到这两个向量的公共点例4已知a，b，c是直线l上不同的三个点，点o不在直线l上，则使等式x2x0成立的实数x的取值集合为()a0bc1d0，1解析，x2x0，即x2(x1)，a，b，c三点共线，x2(x1)1，即x2x0，解得x0或x1.当x0时，x2x0，此时b，c两点重合，不合题意，舍去故x1.故选c.答案c小结共线向量定理的3个应用(1)证明向量共线：对于向量a，b，若存在实数，使ab，则a与b共线(2)证明三点共线：若存在实数，使，则a，b，c三点共线(3)求参数的值：利用共线向量定理及向量相等的条件列方程(组)求参数的值3已知向量a，b，且a2b，5a6b，7a2b，则一定共线的三点是()aa，b，dba，b，ccb，c，dda，c，d解析由a2b，5a6b，7a2b，可得2a4b2，即，共线，所以a