伴随矩阵ppt课件

3 5逆矩阵 概念的引入 逆矩阵的概念和性质 可逆矩阵的判定及其求法 小结思考题 则矩阵称为的可逆矩阵或逆阵 一 概念的引入 在数的运算中 当数时 有 其中为的倒数 或称的逆 在矩阵的运算中 单位阵相当于数的乘法运算中 的1 那么 对于矩阵 如果存在一个矩阵 使得 又如 在平面直角坐标系中xoy中 将两个坐标轴同时绕原点旋转 角 逆时针为正 顺时针为负 就得到一个新的坐标系 记作uov 由图3 1可推得 图3 1 利用矩阵乘法可将上述关系表示为 3 11 3 12 把 3 11 代入 3 12 得 若记 例设 定义12 对于n阶方阵A 如果存在n阶方阵B 使得AB BA E 则称方阵A是可逆的 B称为A的逆矩阵 记作B A 1 如果不存在满足AB BA E的矩阵B 则称A是不可逆的 可逆矩阵及其逆矩阵都是方阵 二 逆矩阵的概念和性质 说明若是可逆矩阵 则的逆矩阵是唯一的 若设和是的可逆矩阵 可得 所以的逆矩阵是唯一的 即 三 可逆矩阵的判定及其求法 1 伴随矩阵法 定义 设A aij 为n阶矩阵 Aij为 A 中元素aij 的代数余子式 i j 1 2 n 则称矩阵 为A的伴随矩阵 定理1矩阵A可逆的充要条件是 证明 若可逆 必要性 充分性 且 按逆矩阵的定义得 证毕 奇异矩阵与非奇异矩阵的定义 推论1 奇异矩阵经过初等变换后仍是奇异矩阵 非奇异矩阵经过初等变换后仍是非奇异阵 证 设P是任何一个与A同阶的初等矩阵 则 PA P A A P AP 因此 当 A 0时 PA AP 0 当 A 0时 PA 0 AP 0 证毕 推论2 证明 逆矩阵的运算性质 证 因A可逆 所以A 1存在 且AA 1 A 1A E 由逆矩阵的定义知A 1可逆 且 比较上述两式得 证 由于 证明 所以 4 若A可逆 则AT亦可逆 且 证 由于 所以 推广 若A1 A2 As为同阶可逆矩阵 则 A1A2 As可逆 且 当 A 0时 还可定义 其中R 均为正整数 例14 判断下列矩阵是否可逆 若可逆求其逆 矩阵 解 1 由于A中有两列元素相同所以 A 0 因此A不可逆 2 计算得 A 7 0 所以A可逆 矩阵各元素的代数余子式分别为 A11 6 A12 2 A13 3 A21 3 A22 1 A23 5 A31 4 A32 1 A33 2 则 故 例15 解下列矩阵方程 A B C 解 计算可得 A 2 0 B 1 0 所以A B 均可逆 而A B的伴随矩阵分别为 所以 用A 1左乘 B 1右乘方程AXB C的两边 即 A 1AXBB 1 A 1CB 1 于是 X A 1CB 1 注 二阶矩阵求伴随矩阵 主换位 副变号 2 解 因2X X 2E 则所给矩阵方程可改写成 X A 2E B 故 说明 用伴随矩阵求逆矩阵 通常是对阶数 较低或较特殊的矩阵 对阶数较高的矩阵 常用初等变换法求其逆矩阵 解 例16 解 例17 例18 2 初等变换法 在 4中我们曾学过标准形的概念 即对任意 标准形 而对于可逆方阵A 则F只能是单位阵E 于是有 定理3 n阶方阵A可逆的充分必要条件是 A可以表示成一些初等矩阵的乘积 证 必要性 设方阵A可逆 则A E 故E经有限次初等变换可变成A 即存在有限个初等矩阵 充分性 若A可表示成一些初等矩阵的乘积 因初等 矩阵可逆 其乘积也可逆 所以A可逆 证毕 推论1 m n矩阵A B的充分必要条件是 存在m阶矩阵P及n阶可逆矩阵Q 使PAQ B 推论2 任一可逆矩阵只用初等行 或列 变换 可化为单位矩阵 证 因为A可逆 则A可表示为若干个初等矩阵 之积 于是 因此 综上可得初等变换求逆阵的方法 例19 设矩阵 解 注 利用初等变换法求逆矩阵时 不必先判断 该矩阵是否可逆 在作变换时 若出现两行元素相同或成比例 或者有一行为0 则A就不可逆 例20 设矩阵 用初等变换法 判断A是否可逆 如果可逆 求出A 1 解 可见 左矩阵A的二 四行元素对应成比例 所以A不可逆 A 1不存在 同理 由等式 知 用初等列变换将 三 用初等变换法求解矩阵方程 时 那么单位矩阵E就变成了A的逆矩阵A 1 中的A变成单位矩阵 事实上 由定理3 即 例21 解矩阵方程AX B 其中 解 若A可逆 则X A 1B 例21 解矩阵方程YA C 其中 解 所以 三 小结 2 利用初等变换求逆阵的步骤是 1 用伴随矩阵求逆矩阵 思考题 思考题解答 解