辽宁辽南协作体高三数学第一次模拟考试

辽宁省辽南协作体2019届高三下学期第一次模拟考试数学（理）试题一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知i是虚数单位，复数，下列说法正确的是A. z的虚部为B. z对应的点在第一象限C. z的实部为D. z的共轭复数为【答案】D【解析】【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后逐一核对四个选项得答案【详解】解：，的虚部为；z对应的点的坐标为，在第四象限；z的实部为1；z的共复数为故选：D【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题2.若集合，且则实数b的范围是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据即可得出，从而得出【详解】解：，故选：D【点睛】考查描述法的定义，交集的定义及运算，子集的定义属于基础题3.已知正方体，则异面直线与所成角为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由异面直线角的作法得：连接BD，因为，故或其补角为异面直线与所成角，在中求解即可【详解】解：连接BD，因为，故或其补角为异面直线与所成角，在中，设，则，即，故选：C【点睛】本题考查了异面直线角的作法及解三角形，属中档题4.下列判断错误的是A. “”是”的充分不必要条件B. 若为真命题，则p，q均为假命题C. 命题“，”的否定是“，“D. 若随机变量服从正态分布，则【答案】A【解析】【分析】A.利用充分条件和必要条件的定义进行判断.B.根据复合命题真假关系进行判断.C.根据全称命题的否定是特称命题进行判断.D.根据正态分布的性质进行判断【详解】解：当时，若“”，则”不成立，即充分性不成立，故A错误，B.若为真命题，则为假命题，则p，q都是假命题，故B正确，C.命题“，”的否定是“，“正确，故C正确，D.若随机变量服从正态分布，则，故D正确，故错误的是A，故选：A【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及充分条件和必要条件的判断，复合命题真假关系，含有量词的命题的否定以及正态分布，综合性较强，难度不大5.已知，则的值为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由已知求得，再由倍角公式求解的值【详解】解：由，得，故选：C【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式及倍角公式的应用，是基础题6.将函数图象上的所有点向左平移个单位长度，到的函数是奇函数则下列结论正确的是A. t的最小值是，的对称中心为是，B. t的最小值为，的对称轴为，C. t的最小值为，的单调增区间为，D. t的最小值为，的周期为【答案】D【解析】【分析】首先利用三角函数关系式的恒等变变换，把函数的图象进行平移变换，利用奇函数的性质，求出t的最小值，进一步求出函数的最小正周期【详解】解：函数图象上的所有点向左平移个单位长度，得到，由于函数是奇函数所以：，解得：，由于，所以：当时，t的最小值为，且函数的最小正周期为故选：D【点睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型7.执行如图所示的程序框图，若输出的结果为42，则判断框中的条件可以是A. ？B. ？C. ？D. ？【答案】D【解析】【分析】根据程序框图进行模拟运算即可得到结论【详解】解：第一次，不满足条件，第二次，不满足条件，第三次，不满足条件，第四次，不满足条件，第五次，不满足条件，第六次，满足条件输出，即满足条件，不满足条件则条件应该为？，故选：D【点睛】本题主要考查程序框图的识别和应用，根据条件利用模拟运算法是解决本题的关键8.设，是双曲线C：的两个焦点，P是C上一点，若，且的最小内角的正弦值为，则C的离心率为A. 2B. 3C. D. 【答案】C【解析】【分析】利用双曲线的定义求出，然后利用最小内角的正弦值为，其余弦值为，结合余弦定理，求出双曲线的离心率【详解】解：因为、是双曲线的两个焦点，P是双曲线上一点，且满足，不妨设P是双曲线右支上的一点，由双曲线的定义可知，所以，的最小内角的正弦值为，其余弦值为，由余弦定理，可得，即，即，所以故选：C【点睛】本题考查双曲线的定义，双曲线的离心率的求法，考查计算能力，属于中档题9.函数的图象大致为A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性，排除选项，通过函数的导数，判断函数的单调性，可排除选项，从而可得结果.【详解】函数是偶函数，排除选项；当时，函数 ，可得，当时，函数是减涵数，当时，函数是增函数，排除项选项，故选C.【点睛】函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象10.关于圆周率，数学发展史上出现过许多很有创意的求法，如著名的蒲丰实验和查理斯实验，受其启发，我们也可以通过设计下面的实验来估计的值：第一步，请n名学生，每个学生随机写下一个都小于1的正实数对；第二步，统计两数能与1构成钝角三角形边的数对的个数m；第三步，估计的值若，则估计的值A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】两个数能与1构成钝角三角形的数对满足，且，从而不等式组表示图形的面积为由此能估计的值【详解】解：由题意，100对都小于1的正实数对满足，其表示图形的面积为1两个数能与1构成钝角三角形的数对满足，且，则不等式组表示图形的面积为则：解得故选：B【点睛】本题考查几何概型，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于中等题11.若两个非零向量，满足，则向量与的夹角是A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据即可得出，从而得出，从而可求出，根据向量夹角的范围即可求出与的夹角【详解】解：；，且；又；与的夹角是：故选：D【点睛】考查向量数量积的运算，向量长度的求法，向量夹角的余弦公式，以及向量夹角的范围12.斜率为且过抛物线C：焦点的直线交抛物线C于A、B两点，若，则实数为A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】抛物线C：焦点，设，直线方程为：，与抛物线方程联立解出坐标，再根据，利用向量坐标相等得出【详解】解：抛物线C：焦点，设，直线方程为：，联立，化为：，解得，解得故选：C【点睛】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、向量相等，考查了推理能力与计算能力，属于中档题二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知展开式中含项的系数为，则正实数_.【答案】 【解析】 展开式的通项公式 的系数为 .14.已知正方体的棱长为1，则该正方体外接球的体积为 【答案】【解析】试题分析：正方体的外接球球心为正方体中心，球的直径为体对角线 考点：正方体外接球问题15.的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且的面积为，若，则_【答案】【解析】【分析】由已知利用三角形的面积公式，正弦定理可求，又由，可得，根据三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式可求的值，结合范围，即可得解【详解】解：的面积为，由正弦定理可得：，可得：，可得：，故答案为：【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，正弦定理，三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题16.若直线是曲线的切线，则a的值是_【答案】【解析】【分析】设切点的横坐标为，求出导函数，利用直线与曲线相切，转化求解切点横坐标以及a的值即可【详解】解：设切点的横坐标为，则有：，令，则在上单调递增，在上单调递减，又因为，所以；故答案为：【点睛】本题考查函数的导数的应用，函数的切线方程的求法考查转化思想以及计算能力三、解答题（本大题共7小题，共80.0分）17.已知数列的前n项和为，且求数列的通项公式；设，求数列的前n项和【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】时，时，即可求出数列的通项公式.利用的通项，得是以首项为，公比为的等比数列，利用等比数列求和公式求解即可.【详解】（1）数列的前n项和为，且当时，当时，首项符合通项，故：由于，所以：，则：，所以：数列是以首项为，公比为的等比数列故：【点睛】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，数列的前n项和公式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型18.从某校高三年中随机抽取100名学生，对其眼视力情况进行统计两眼视力不同，取较低者统计，得到如图所示的频率分布直方图，已知从这100人中随机抽取1人，其视力在的概率为求a，b的值；若高校A专业的报考资格为：任何一眼裸眼视力不低于，高校B专业的报考资格为：任何一眼裸眼视力不低于，已知在中有的学生裸眼视力不低于现用分层抽样的方法从和中抽取4名同学，4人中有资格仅考虑视力考B专业的人数为随机变量，求的分布列及数学期望【答案】（1），；（2）详见解析.【解析】【分析】由频率分布直方图的性质列出方程组，能求出a，b在中，共有15人，其中5人不低于，在这15人中，抽取3人，在中共有5人，抽取1人，随机变量的可能取值为1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列和【详解】解：由频率分布直方图的性质得：，解得，在中，共有15人，其中5人不低于，在这15人中，抽取3人，在中共有5人，抽取1人，随机变量的可能取值为1，2，3，4，的分布列为：1234P【点睛】本题考查频率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题19.已知椭圆C：的离心率为，分别为椭圆C的左、右焦点，点满足求椭圆C的方程；直线l经过椭圆C的右焦点与椭圆相交于M，N两点，设O为坐标原点，直线OM，直线l，直线ON的斜分别为，k，且，k，成等比数列，求的值【答案】（1）；（2）【解析】【分析】依题意，由，即，根据离心率求出a，即可求出b，可得椭圆方程设直线l的方程为，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理，转化求解即可【详解】解：依题意，即，椭圆C的方程为，设直线l的方程为，由，得，则，k，成等比数列，则，即，解得故【点睛】本题考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查了椭圆的简单性质，直线的斜率，等比数列的性质，属于中档题20.已知在四棱中，底面ABCD是矩形，且，平面ABCD，F是线段BC的中点求证：；若直线PB与平面ABCD所成的角为，求二面角的余弦值；画出平面PAB与平面PDF的交线不写画法【答案】（1）详见解析；（2）；（3）详见解析.【解析】【分析】以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，分别求出P，B，D，C，F，E的坐标，然后证明，则；由底面ABCD，可得PB在底面ABCD的投影为BA，得到为PB与平面ABCD所成角，由此求得平面PFD的法向量为，平面APD为yOz平面，可得平面APD的法向量为，由两法向量所成角的余弦值可得而面角的余弦值；延长DF，AB交于G，连接PG，则PG即为所求直线l【详解】证明：平面ABCD，且四边形ABCD为矩形，以A为坐标原点，分别以AB，AD，AP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，0，0，2，2，1，则；解：底面ABCD，在底面ABCD的投影为BA，为PB与平面ABCD所成角，即，为等腰直角三角形，则，即设平面的法向量为，则，令，故.平面PFD的法向量为，平面APD为yOz平面，平面APD的法向量为，设二面角的平面角为，可知为锐角，；解：如图，延长DF，AB交于G，连接PG，则PG即为所求直线l【点睛】本题考查空间中的直线与直线，直线与平面的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题21.已知函数若1是函数的一个极值点，求实数a的值；讨论函数的单调性；在的条件下证明：【答案】（1）0；（2）详见解析；（3）详见解析.【解析】【分析】求出函数的导数，计算，得到关于a的方程，解出即可；求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；求出函数的导数，令，根据函数的单调性证明即可【详解】解：，故，方程的判别式，当时，在递减，当时，方程的根为，且，故在递减，在递增，在递减，当时，在递减，在递增，当时，方程的根为，且，故在递减，在递增；在的条件下，令，故在递增，又，故，使得，即，在递减，在递增，故，故【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道综合题22.在平面直角坐标系中，直线l过原点且倾斜角为；曲线的参数方程为参数；曲线的参数方程为为参数求直线l的极坐标方程，曲线和曲线的普通方程；若直线l与曲线和曲线在第一象限的交点分别为M、N，求M、N之间的距离【答案】（1）直线l的极坐标方程为，；曲线的普通方程为；曲线的普通方程为；（2）.【解析】【分析】直线l的极坐标方程为，；利用可得和的普通方程；将，化成极坐标方程后将代入可求得，再相加【详解】解：直线l的极坐标方程为，；曲线的普通方程为；