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数值分析 第二章插值法 均差与牛顿插值公式 Lagrange插值多项式的缺点 我们知道 Lagrange插值多项式的插值基函数为 理论分析中很方便 但是当插值节点增减时全部插值基函数就要随之变化 整个公式也将发生变化 这在实际计算中是很不方便的 两点直线公式 xk yk xk 1 yk 1 考虑点斜式 两点为 x0 y0 x1 y1 在此基础上增加一个节点 x2 y2 则过这三个点的插值多项式 C x 应是一个二次多项式 所以有 C x 应是一个二次多项式 根据插值条件 根据插值条件 可以求出 重新写p2 x 基函数 有 再继续下去待定系数的形式将更复杂 为此引入差商和差分的概念 差商 亦称均差 divideddifference 1阶差商 the1stdivideddifferenceoffw r t xiandxj 2阶差商 定义2 k 1 阶差商 差商的计算方法 表格法 规定函数值为零阶差商 差商表 差商具有如下性质 Warning myheadisexploding Whatisthepointofthisformula 差商的值与xi的顺序无关 Newton插值公式及其余项 Nn x Rn x ai f x0 xi Newton插值公式及其余项 Newton插值公式及其余项 例 已知x 1 4 9的平方根为1 2 3 利用牛顿基本差商公式求的近似值 解 从而得二阶牛顿基本差商公式为 因此计算得的近似值为 复习 多项式插值问题 寻找一个n次多项式 满足下列插值条件 函数 在插值节点上的取值为 Lagrange插值方法 其中 余项公式 Newton插值方法 其中 余项公式 练习 上面我们讨论了节点任意分布的插值公式 但实际应用时经常会遇到等距节点的情形 这时插值公式可以进一步简化 计算也简单多了 为了给出等距节点的插值公式 我们先来看一个新概念 向前向后中心 差分算子 不在函数表上 要用到函数表上的值 利用一阶差分可以定义二阶差分 差分 可以用归纳法证明 如 差分 差分表 差分与函数值之间的关系 归纳可知 k阶差商可表示为 在等距节点的前提下 差商与差分有如下关系 依此类推 由差商与向前差分的关系 Newton插值基本公式为 如果假设 1 Newton向前 差分 插值公式 则插值公式 化为 其余项 化为 称 为Newton向前插值公式 插值余项为 Newton插值法的优点是计算较简单 尤其是增加节点时 计算只要增加一项 这点是Lagrange插值无法比的 但是Newton插值仍然没有改变Lagrange插值的插值曲线在节点处有尖点 不光滑
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