数学分析习题及答案.doc

第 80 页 共 80 页第一章 实数集与函数P.4 习题11设a为有理数，x为无理数，证明：（1）a + x是无理数； （2）当时，ax 是无理数. 证明 （1）（反证）假设a + x是有理数，则由有理数对减法的封闭性，知 x = a +x a 是有理数. 这与题设“x为无理数”矛盾，故a + x是无理数. （2）假设ax 是有理数，于是是有理数，这与题设“x为无理数”矛盾，故ax是无理数. 3设，证明：若对任何正数有，则 a = b . 证明 由题设，对任何正数有，再由教材P.3 例2，可得，于是，从而 a = b . 另证 （反证）假设，由实数的稠密性，存在 r 使得. 这与题设“对任何正数有”矛盾，于是，从而 a = b . 5证明：对任何有（1）； （2）证明 （1）（2）因为，所以6设证明证明 建立坐标系如图，在三角形OAC中，OA的长度是，OC的长度是，AC的长度为. 因为三角形两边的差小于第三边，所以有7设 ，证明介于1与之间. 证明 因为， 所以介于1与之间. 8设 p 为正整数，证明：若 p 不是完全平方数，则是无理数. 证明 （反证）假设为有理数，则存在正整数 m、n使得，其中m、n互素. 于是，因为 p 不是完全平方数，所以 p 能整除 n ，即存在整数 k ，使得. 于是，从而 p 是 m 的约数，故m、n有公约数 p. 这与“m、n互素”矛盾. 所以是无理数.P.9 习题22设S为非空数集，试对下列概念给出定义：（1）S无上界；若，使得，则称S无上界.（请与S有上界的定义相比较：若，使得，有，则称S有上界）（2）S无界.若，使得，则称S无界.（请与S有界的定义相比较：若，使得，有，则称S有界）3试证明数集有上界而无下界.证明 ，有，故2是S的一个上界.而对，取，但. 故数集S无下界.4求下列数集的上、下确界，并依定义加以验证：（1）解 ，. 下面依定义加以验证（可类似进行）.，有，即是S的一个上界，是S的一个下界.，若，则，都有；若，则由实数的稠密性，必有实数 r ，使得，即，不是上界，所以.（2）解 S无上界，故无上确界，非正常上确界为.下面证明：. ，有，即 1 是S的一个下界； ，因为 ，即不是S的下界. 所以 .(3)解 仿照教材P.6例2的方法，可以验证：. 解 ，首先验证. ，有，即 1 是S的一个上界； ，取正整数，使得，于是取. 从而，且.所以5设S为非空有下界数集，证明：证明：）设，则对一切，有，而，故是数集S中的最小的数，即.）设，则；下面验证； 对一切，有，即是数集S的下界； 对任何，只须取，则. 所以.6设S为非空数集，定义. 证明： 证 设，下面证明：. 对一切，有. 因为，所以有，于是，即是数集S的上界； 对任何，有. 因为，所以存在，使得. 于是有，使得. 由，可知.7设A、B皆为非空有界数集，定义数集证明：（1）； （2）证明 （1）因为A、B皆为非空有界数集，所以和都存在. ，由定义分别存在，使得. 由于，故，即是数集的一个上界. ，（要证不是数集的上界），由上确界的定义，知存在，使得. 于是，再由上确界的定义，知存在，使得. 从而，且. 因此是数集的上确界，即另证 ，由定义分别存在，使得. 由于，故，于是. 由上确界的定义，使得，使得，从而，由教材P.3 例2，可得 由、，可得 类似地可证明：P.15 习题39试作函数的图象解 是以2为周期，定义域为，值域为的分段线性函数，其图象如图. 11试问是初等函数吗？解 因为，可看成是两个初等函数与的复合，所以是初等函数. 12证明关于函数的如下不等式：（1）当时， （2）当时，证明 （1）因为 ，所以当时，有，从而有. （2）当时，在不等式中同时乘以x，可得，从而得到所需要的不等式. P.20 习题41证明是R上的有界函数. 证明 因为对R 中的任何实数x 有 所以 f 在R上有界. 2（1）叙述无界函数的定义；（2）证明为（0，1）上的无界函数；（3）举出函数 f 的例子，使 f 为闭区间 0，1 上的无界函数. 解 （1）设函数，若对任何，都存在，使得，则称 f 是D 上的无界函数. （2）分析：，要找，使得. 为此只需. 证明 ，取，则，且，所以f 为区间（0，1）上的无界函数. （3）函数是闭区间 0，1 上的无界函数. 7设、为定义在上的有界函数，满足，证明： ； 证 ，有，即是在上的一个上界，所以. ，有，即是在上的一个下界，所以.8设为定义在上的有界函数，证明： ； 证 ，有，于是，即是在上的一个下界，从而，所以 反之，有，于是，即是在上的一个上界，从而 由，得，.9证明：在上无界，而在内任一闭区间上有界.证 ，取，于是. 则有，所以在上无界.在内任一闭区间上，取，则，必有，所以在上有界.10讨论狄利克雷函数，的有界性，单调性与周期性. 解 函数是有界函数：. 不是单调函数. 是周期函数，任何一个正有理数都是它的周期，故它没有最小周期. 证明如下：设 r 是任一正有理数. 若 x 是有理数，则是有理数，于是；若 x 是无理数，则是无理数，于是. 任何无理数都不是的周期. 11证明：在R上严格增.证 设，于是因为，有，所以，从而. 所以有即在R上严格增.P.21 总练习题1设，证明： 证 若，则，这时有；若，则，也有，所以2设和都是初等函数，定义，试问和是否为初等函数？解 由第1题有，因为和都是初等函数，于是是初等函数，再由，知是初等函数，所以是初等函数.8设、和为增函数，满足，证明：证 因为、为增函数，再由，得，所以有. 同理可得. 9设、为区间上的增函数，证明，也都是区间上的增函数.证 先证是区间上的增函数.设，于是有，从而，所以是增函数. 其次证明是区间上的增函数设，于是有从而 12设、为上的有界函数，证明： 证 由p.17例2 (i)，有 再由p.20习题8，有 结合、可得13设、为上的非负有界函数，证明： 证 ，有，从而. 即是在上的一个下界，所以有15设为定义在R上以h为周期的函数，a为实数. 证明：若f在 a, a+h 上有界，则f在R上有界.证 设f在 a, a+h 上有界，即存在，使得，有. ，必存在整数和实数，使得. 于是，所以f在R上有界.16设在区间上有界. 记，证明证 ，有，. 于是，有，即是数集的一个上界. 下面证明：是数集的最小上界.由上确界，下确界的定义知，使得，从而. 所以是数集的最小上界.所以第二章 数列极限P27 习题一1. 设(1) 对下列分别求出极限定义中相应的,(2) 对可找到相应的,这是否证明了趋于0？应该怎样做才对：(3) 对给定的是否只能找到一个？解：（1）对0.1，取(2) 对 ，取 (3) , 取2按定义证明：（1）证：因为 所以，取，必有。故 （2）证： 因为 于是，取，有 。所以（3）；证：当时，有（4）证：因为，于是，取，必有。所以（5）证：，当时，3. 根据例2，例4和例5的结果求出下列极限，并指出那些是无穷小数列：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）解：（1）（用例2的结果，），无穷小数列。（2），（用例5的结果，）（3），（用例2的结果，），无穷小数列。（4），（用例4的结果，），无穷小数列。（5），（用例4的结果，），无穷小数列。（6），（用例5的结果，）。（7）,（用例5的结果，）。4证明：若，则对任一正整数，有证：由，据定义，当时即有5试用定义证明：（1）数列不以1为极限;证：(1)对于常数1,存在,对于任何N,总有虽然但有数列的不以1为极限.（2）数列发散。证：数列=，对任何，取，则数列中所有满足“n 为偶数，且”的项（有无穷多个），都落在 a 的邻域之外，故数列不以任何数 a 为极限，即数列发散。6证定理2.1 数列收敛于 a 充要条件是：为无穷小数列。（即的充要条件是）证：（必要性）设，由数列极限的定义，有 ，所以 。（充分性）设，由数列极限的定义，有 ，所以。下面证明：数列的极限是1。因为是无穷小数列，所以数列的极限是1。7. 证明:若,则.当且仅当a为何值时反之也成立?证：，故8. 按定义证明：(1)(2)(3),其中证明：（1）因为。于是，取，必有，从而。（2）因为 ，于是，取，必有，所以（3）当n为偶数时,要使 当n为奇数时,要使P33 习题二1求下列极限：(1) (2) (3) (4) (5) (6)解：（1） （2） （3） （4） （5） （6）2. 设,且.证明:存在正数N,使得当时有证：取,当时,有可得当时,有可得取3. 设为无穷小数列, 为有界数列,证明:为无穷小数列.证： 因为为有界数列，所以存在，使得。由为无穷小数列，知，。从而当时，有，所以，即为无穷小数列。4. 求下列极限：(1)解：(2);解: ,而, (3)解：(4)解：当时，而，所以。(5)解： 而，由迫敛性(6) 解：，由迫敛性，5. 设中一个是收敛数列,另一个是发散数列.证明是发散数列.又问是否必为发散数列?证：（用反证法证明）不妨设是收敛数列，是发散数列。假设数列收敛，则收敛，这与是发散数列矛盾，所以，数列发散。同理可得数列发散。和不一定是发散数列。例如，若是无穷小数列，是有界的发散数列。则和是无穷小数列，当然收敛。但是，有下列结果：如果，是发散数列，则和一定是发散数列。6. 证明以下数列发散:(1)证： 设，则，而，由P.33，定理2.8 知发散。(2)证：的偶数项组成的数列，发散，所以发散。 (3)证：设，则子列 ，子列 ，故发散。7. 判断以下结论是否成立(若成立,说明理由;若不成立,举出反例)（1）若和都收敛，则收敛。解：结论不一定成立。例如，设，则，都收敛，但发散。注：若和都收敛，且极限相等（即），则收敛。（2）若，和都收敛，且有相同的极限，则收敛。证：设，则由数列极限的定义，知，；同样也有，；，。取，当时，对任意的自然数 n ，若，则必有，从而；同样若，则必有，从而也有；若，则必有，从而。所以，即收敛。8. 求下列极限:(1) (2)(3)(4)解：(1)应用数学归纳法可证得不等式:又利用收敛性得(2)又根据收敛性可得（3）所以，另解 因为，所以，于是，从而。（4）因为则，则由定理2.8知 又由得9. 设为m个正数,证明:证：设于是有，又由迫敛性可得 10. 设证明:(1)； (2)若证：（1）因为，所以。由于，且，从而。（2）因为 ，由P.29 定理2.4，存在，使得当时，有。于是 ，并且，所以。P38 习题三1. 利用求下列极限:(1) (2) (3) (4) (5)解：（1）（2）（3）（4）注：此题的求解用到事实（P.29例1）：若，且，则。（5） 因为数列单调增加，且有上界 3，于是，所以2. 试问下面的解题方法是否正确:求解:设由于,两边取极限得a=2a,所以a=0.解：不正确。因为极限是否存在还不知道（事实上极限不存在），所以设是错误的。3. 证明下列数列极限存在并求其值:(1)设(2)设(3)证明：(1)数列的一般项为且为单调递增数列,故必有极限.设,两边取极限得.(2)故单调增,故有上界, 为单调有界数列,故必有极限.设两边取极限,得,得 ,不合题意,(3)对于任意的,总存在自然数N,使得Nc,于是当nN时,又为单调递减有下界,故必有极限.设令4. 利用为递增数列的结论,证明为递增数列.证：设，要证：，即因为为递增数列，所以有，即，于是。其中用到事实：5. 应用柯西收敛准则,证明以下数列收敛:(1)(2)证明：(1) 由柯西准则,收敛（2）不妨设，则有所以，取，有，由柯西收敛准则，收敛。6. 证明:若单调数列含有一个收敛子列,则收敛. 证：不妨设是单调增加数列，是其收敛子列。于是有界，即存在，使得。对单调增加数列中的任一项必有，即单调增加有上界，从而收敛。7. 证明:若证明：由,可取,则, 当时, ,由迫敛性定理,8. 证明:若为递增(递减)有界数列,则又问逆命题成立否?证：证明过程参考教材P.35，定理2.9（单调有界定理）。逆命题不一定成立。例如数列，但不单调。9. 利用不等式证明:为递减数列,并由此推出为有界数列.证：设，由不等式 ，有，于是，。在上式中令 ，得即，故为递减数列。而，所以为有界数列。10. 证明:提示:利用上题可知又易证证：由上题及本节习题1（2）知，递减且则有；又因递增且则有 11. 给定两正数,作出其等差中项与等比中项,一般地令.证明:皆存在且相等. 证：，而 设在n=k时，成立，在n=k+1时，由，由归纳法知对一切n, 成立即递减, 递增。且故、有极限。令，由由12. 设为有界数列，记证明：（1）对任何正整数n有（2）为递减有界数列，为递增有界数列，且对任何正整数n,m有 （3）设分别是和的极限，则 （4）收敛的充要条件是证：（1）是同一个数集上的上、下确界，所以（n=1,2,）（2）由于，即是递减数列。同理递增。则对任何正整数n、m有，当mN时，有 所以，由的任意性知P40总练习题1. 求下列数列的极限:(1)(2) (3) 解：(1)用归纳法可证,又，由迫敛性知 (2), (3) 2. 证明： (1) (2) (3) 证：（1）（2）（3）证3. 设,证明:(1) (又问由此等式能否反过来推出);（2）若(1)证：因为，于是有，。从而当时，有其中是一个定数。再由，知存在，使得当时，。因此取，当时，有。反过来不一定成立。例如不收敛，但。(2) 证：由，知。若，则。由上一小题的结论，有而，所以。若，即，则，。从而当时，有其中，是定数，故，于是存在，使得当时，。因此取，当时，有，故4. 应用上题结论证明以下各题:(1) （2） （3）（4） （5） （6）（7）（8）（1）证： 令则 ，故得证。由于(2) 证：令，则，从而(3) 证：令，则，于是(4) 证：令，则，所以(5) 证：令，则，所以 另证 令，则。于是 。(6) 证：因为，所以(7) 证：(8) 证：设5. 证明:若为递增数列,为递减数列,且则都存在且相等.证： 由有界性A、B,使即为递增数列有上界，为递减数列有下界 6. 设数列满足:存在正数M,对一切n有证明:数列都收敛.证：(i)为单调且有上界.收敛 ( ii)由收敛, 从而 由柯西准则, 收敛7. 设证明:数列收敛,且其极限为.证：对一切n成立,因而有下确界,的平均值,所以单调下降.由单调有界收敛定理,知存在.设两边取极限是8. 设,记证明:数列的极限都存在且等于证：（1）因为,则有设所以对一切自然数n有(2)由(1)得即于是递减,递增.(3)结合(1)、（2）知 ：递减且有下界,递增且有上界,由单调有界定理知的极限都存在.设.在两边令得,解得a=b. 又由令得所以a=b=9. 按柯西收敛准则叙述数列发散的充要条件,并用它证明下列数列是发散的:(1);(2);(3)证：(1)对于,对任意大的N,取由柯西收敛准则知发散.(2)对于,对任意大的N,取由柯西收敛准则知发散.(3)对于,对任意大的N, 由柯西收敛准则知发散.10设记证明：（1）， （2）证：若a=b,则 作数列若下: 则而都是的子列,由定理2.8知,若不妨设因为,由极限的保号性定理知,存在自然数N, 当nN时,于是, 第三章 函数极限P.47习题一1按定义证明下列极限： 证： ，要，只需，于是，取，有，所以 证： ，因为，不妨设，于是，从而. 所以，取，有所以 证： ，设，要，只需，于是，取，有，所以 证： 因为，于是. 从而，取，有，所以 证： 因为. 所以，取，有，所以 2根据定义2叙述解: ，3设，证明证 因为，所以，有. 当时，必有，从而，所以4证明：若，则. 当且仅当为何值时反之也成立？证: 因为，所以，有. 而，所以.当且仅当为零时反之也成立.5证明：证: ）因为，所以，有. 于是当，也有，从而. 同样，当，有，从而也有.）设，于是，当，有，当，也有，从而当时，有.6讨论下列函数在时的极限或左、右极限： 解: ，所以不存在. 解: ，所以不存在. 解: ，所以.7设，证明.证: ）因为，所以，有. 现在取，当时，有，于是，所以.P51 习题二1求下列极限：（3）（4）（5）（6）（7）（8）分子、分母同除以：. 2利用迫敛性求极限：（1）解： 因为，并且，所以 （2）解： 因为，并且所以 . 3设，. 证明：（1）（2）（3），（当 B0时）证明: 因为，所以，分别存在，使得当时，有；当时，有. （1）证明. 取，于是当时，有所以. 同理可证：（2）因为，由P.48局部有界性定理3.3，知存在，使在有界. 即存在，当时，. 现在取，于是当时，有所以（3）因为，于是由P.48局部保号性定理3.4知，存在，当时，. 现在取，于是当时，有所以. 4设，试求. 解 : ，于是5设，. 证明：，其中为正整数. 证明 因为，所以. （1）当 A = 0 时，由，可得，当时，有，于是，所以（2）当 A 0 时，因为，所以，当时，有，于是因此. 6证明 证明: 先证：. ，若，则，因为，于是. 从而取，当时，有，所以. 同理可证：. 因此. 7设，. （1）若在某内有，问是否必有？为什么？（2）证明：若，则在某内有. 证明: （1）不一定. 例如，设，在的任何邻域内，都有，但. （2）由，取，于是存在，当时，有，从而；由可知也存在，当时，有，从而. 取，于是当时，同时有，即在邻域内，有. 8求下列极限： 解: 由P.50 例1，知. 令，于是P55 习题三1叙述函数极限的归结原则，并应用它证明不存在. 证明: 对任何有取，则显然有，但所以 不存在. 2设为定义在上的增（减）函数. 证明：存在的充要条件是在上有上（下）界. 证明: 不妨设为定义在上的增函数. 充分性 假设在上有上界，由确界原理，存在，设. 下面证明：. ，由上确界的定义，存在，使得. 取，则由的递增性，对任何，有，另一方面，由于 A 是上确界，有，更有. 从而当时，有，即，所以. 必要性 设，取，存在，使得当时，于是. 又因为是定义在上的增函数，所以对任何，也有，从而在上有上界. 3（1）叙述极限的柯西准则；（2）根据柯西准则叙述不存在的充要条件，并应用它证明不存在. 证明: （1）存在的充要条件是：，对任何，有. （2）不存在的充要条件是：，存在，使得. 下面证明不存在：取，取，这里符号表示不超过最大整数. 于是有，所以不存在.5设为上的递增函数. 证明：和都存在，且，证明 ： 仅证明存在及.先证在的空心左邻域中有上界. 设是的空心右邻域上任一点，因为为上的递增函数，所以，有，即是在的空心左邻域中的一个上界. 由确界原理，存在，设，下面证明：.，由上确界的定义，存在，使得. 取，当时，必有，则由的递增性，有，另一方面，由于 A 是上确界，有，更有. 从而当时，有，即，所以. 类似地可证存在，且.6设为狄利克雷函数，. 证明：不存在. 证明： （用柯西准则证明）取，由有理数及实数的稠密性，在中既有有理数，也有无理数，从中取有理数，取无理数，于是，从而，所以不存在. 7证明：若为周期函数，且，则. 证明： 只需对任何实数，证明. 因为，所以，有. 设的周期为，则存在整数 n ，使得，从而. 即，都有，所以.P58 习题四1求下列极限：（1）（2）（3）令，则. （4）（5）（6）令，于是，（7）（8）（9）（10）2求下列极限：（1）（2）（3）（4）（5）（6）3证明：证明： 因为，所以（由于，故，从而）于是，从而4利用归结原则计算下列极限：（1）解： 由于，所以由归结原则有（2）解： 因为，所以P66 习题五1证明下列各式：（1）证明： 因为，所以（2）证明： 因为，所以（3）证明： 因为，所以（4）证明 ： 因为，所以（5）证明 ： 因为，所以（6）证明： 由高阶无穷小量的定义有，于是，所以 （7）证明： 因为，所以2应用定理3.12求下列极限：（1）（2）（因为，）4求下列函数所表示曲线的渐近线：（1） （2） （3）解 ： （1）因为，所以直线为垂直渐近线. 因为，所以直线为水平渐近线. （2）因为，所以直线为水平渐近线. 因为，所以直线为水平渐近线. （3）因为，所以直线，为垂直渐近线. 由于，所以有斜渐近线5试确定的值，使下列函数与当时为同阶无穷小量：（1） （2）（3） （4）解： （1）因为，于是，所以. （2）因为，于是，所以（3）因为所以（4），所以. 6试确定的值，使下列函数与当时为同阶无穷大量：（1） （2） （3）解： （1），所以（2），所以（3），所以P67 总练习题1解 令，2分别求出满足下述条件的常数与： 解： 因为，所以当时，是比高阶的无穷大，于是，所以，. 解： 由，知. 因为所以 ，于是，3试分别举出符合下列要求的函数： 解： 不存在解： 4试给出函数的例子，使恒成立，而在某一点处有. 这同极限的局部保号性矛盾吗？解： 不矛盾，因为局部保号性，是由极限的符号来保证函数在某去心邻域内的符号.5设, , 在何种条件下能由此推出?证明 设, 且在某内, , 则. 由, , , , .由, 对上述, , , . 即, 注意到条件, 得, 于是有所以 .注 限制条件: “在某内” 不能缺少. 例如，令，. 则, 而, . 若在点A连续, 则不必有此限制条件.6设，试作数列 使得（），（）.解 ： ，则（），（）. 使得（），（）.解： ，则（），（）. 使得（），（）.解： ，则（），（）.7证明：若数列满足下列条件之一，则是无穷大数列： 证： 设，则存在，使得当时，于是，而是无穷大数列，所以是无穷大数列. 证 ： 设，则存在，使得当时，于是有，上述不等式两端分别相乘，可得，. 而是无穷大数列，所以是无穷大数列，从而是无穷大数列.8利用上题的结论求极限： 解： ，所以 解： 设，则，所以，所以第四章 函数的连续性P.73 部分习题解答1按定义证明下列函数在其定义域内连续：（1） （2）证明： （1）的定义域为，对其定义域上任一点，有，故在连续，由的任意性知，在其定义域内连续. （2）的定义域为. 对其定义域上任一点，取，当时，有，故，从而在连续，由的任意性知，在其定义域内连续. 2指出下列函数的间断点并说明其类型：（1）；解： 在间断，因为不存在，所以是第二类间断点. （2）解： 在间断，因为，故是的跳跃间断点. （3）解： 因为，所以在间断. 由于，从而是的可去间断点. （4）解： 因为，所以在间断. 由于，从而是的可去间断点. （5）解： 因为，所以在间断. 由于，故 是的跳跃间断点. （6）解： 在间断. 当时，极限不存在，故是的第二类间断点. （7）解： 因为，不存在，故是的第二类间断点. ，故是的跳跃间断点. 3延拓下列函数，使其在上连续：（1）解： 因为在无定义，且，于是延拓为函数，在 上连续. （2）解： 在无定义，于是延拓为函数，在 R 上连续. （3）解： 在无定义，于是延拓为函数，在 R 上连续. 4证明：若在点连续，则与也在点连续. 又问：若与在点连续，那么在点是否必连续？证明： 设在点连续，即，使得当时，有. 这时有，故也在点连续. 下面证明：也在点连续. 因为在点连续，于是在极限存在，从而由极限的局部有界性知，存在及，使得当时，有. 现在取，当时，有所以在点连续.若与在点连续，在点不一定连续. 例如：. 则在点连续，但在不连续5设当时，而. 证明：与两者中至多有一个在连续.证明： 因为，所以，假设与两个都在连续，则. 与题设矛盾，所以与两者中至多有一个在连续.P.81 部分习题解答1讨论复合函数与的连续性，设（1）解： ，处处连续. ，除外，处处连续，是跳跃间断点. （2）解： ，故是的跳跃间断点. ，处处连续. 2设，在点连续，证明：（1）若，则存在，使在其内有；（2）若在某内有，则证明： 因为，在点连续，故，. （1）由于，故由教材P.52习题7（2），知存在，使在其内有. 从而在内，有. （2）证明的方法与教材P.49定理3.5类似：设在内，有. 因为，所以，分别存在，使得当时有，当时有. 令，则当时，有，从而. 由的任意性，可得. 3设，在区间上连续，记，证明和也都在上连续. 证明： 由教材P.21总练习题1，有因为，在区间上连续，所以在上连续，再由P.73习题4，知在上连续，从而由连续函数的四则运算定理4.4，和都在上连续. 5设，证明：复合函数在连续，但在不连续. 证明： ，处处连续. 因为，在的左、右极限不相等，故在的极限不存在，从而在不连续. 6设在上连续，且存在，证明：在上有界. 又问在上必有最大值或最小值吗？证明： 因为存在，所以由函数极限的局部有界性知，存在，使得在上有界. 又因为在上连续，于是由闭区间上连续函数的有界性知，在上有界，从而在上有界. 在上不一定有最大值或最小值. 例如函数在上连续，但没有最小值；函数在上连续，但没有最大值. 7若对任何充分小的，在上连续，能否由此推出在内连续. 证明： 能推出在内连续. 证明如下：，取，于是，由题设，在上连续，从而在连续. 由的任意性知，在内连续. 9证明：若在上连续，且对任何，则在上恒正或恒负. 证明： （反证法）假设在上不是恒正或恒负. 则存在，使得，. 不妨设，则在上连续，且与异号，由根的存在定理知，存在，使得，这与题设“对任何，”矛盾. 10证明：任一实系数奇次方程至少有一个实根. 证明： 设实系数奇次方程为，. 因为，故存在，使得，. 在上连续，于是由根的存在定理，存在，使得，即是方程的实根. 11试用一致连续的定义证明：若，都在区间上一致连续，则也在上一致连续. 证明： 因为，都在区间上一致连续，所以，分别存在，使得，当时有，当时有. 取，则，当时有， 所以也在上一致连续. 12证明在上一致连续. 证明 ，由P.78例6知在上连续，从而在上一致连续. 下面证明：在上一致连续. ，取，当时有，所以在上一致连续. 再由P.80例10知，在上一致连续. 13证明在上一致连续，但在上不一致连续. 证明： （1）设，取，当时，有所以在上一致连续. （2）在上，取，取，这时有，但. 故在上不一致连续. 14设函数在区间上满足 Lipschitz 条件，即存在常数L0，使得对上任意两点都有，证明在上一致连续. 证明： ，取，当时有，所以在上一致连续. 15证明在上一致连续. 证明： ，取，当时有， 所以在上一致连续. 17设在上连续，且. 证明：存在点，使得.证明： 令，则在上连续. 又由知与符号相反，所以由根的存在定理知，存在点，使得.18设为上的增函数，其值域为. 证明在上连续.证明： 用反证法. 若有间断点，则由教材P.55习题5，知与都存在，且. 又因为上的增函数，所以有于是且区间只含的值域中的一个点，这与的值域为矛盾.19设在上连续，证明：存在，使得证明 若，则取；否则，设，则由介值定理，知存在，使得20证明在上一致连续.证明： 因为. 当，有即在满足Lipschitz条件，由P.81习题14，知在上一致连续.又因为在上连续，从而在上一致连续. 所以由教材P.80例10，可知在上一致连续.P.84 总练习题1设函数在连续，且与为有限值. 证明：（1）在内有界；（2）若存在，使得，则在内能取到最大值. 证明： （1）定义，则在内连续，从而在内有界，当然也在内有界. 而在内，于是在内有界. （2）因为在内连续，从而在内有最大值. 又由题设，存在，使得，即，因此的最大值在内达到. 所以在内能取到最大值. 2设函数在连续，且. 证明在内能取到最小值. 证明： 因为，所以对，分别存在，使得当时，有；当时，有. 因为在闭区间连续，于是在上有最小值，由于，故，从而也是在内的最小值. 3设函数在区间上连续，证明： 若对任何有理数有，则在上； 若对任意两个有理数，有，则在上严格增.证明 对任何无理数，取有理点列，使（），则由的连续性以及得. 所以在上. ，要证. 取有理数，. 由在点的连续性，对，存在正数，使得当有理数，有；当有理数，有. 注意到以及在有理点集上的严格递增性，可得所以在上严格增5设在上连续，且对任何, 存在, 使得证明: 存在, 使得证 由在上连续，有在上连续，于是在有最小值, 设在取得最小值, 即. 若, 则已得证. 假设, 则由题设，存在, 使得; 因是在的最小值, 所以 . 矛盾. 结论得证.6设在上连续，另有一组正数满足. 证明：存在一点，使得证明： 若，则取；否则，设在上的最大值、最小值分别为，则由介值定理，知存在，使得8设在上连续，. 证明：对任何正整数 n, 存在, 使得证明： 当时, 取. 当时, 令, , 则有由第6题知, 存在, 使得, 从而 9设在连续，且对任何x, yR有. 证明： 在R上连续； .证明： 以代入，可得. 由在连续，得. ，由，有所以在连续. 对正整数，有对正整数，有于是 . 以代入, 可知为奇函数. 因此知道对一切整数都有等式，成立.从而对任何有理数，有. 对任何实数x, 取有理数列，使得（），则由的连续性得第五章 导数和微分P94 习题一1已知直线运动方程为。分别令，求从至这一段时间内运动的平均速度及时的瞬时速度。解 平均速度当时，当时，当时，瞬时速度2等速旋转的角速度等于旋转角与对应时间的比，试由此给出变速旋转的角速度的定义。解 设旋转体时刻转过的角度为，若极限存在，则定义该极限值为旋转体在时刻的角速度。3设，试求极限解 4设，试确定，的值，使在可导。解 要使在可导，在必连续，于是必左连续。，从而。在的右导数。左导数为只要，则在的左导数与右导数相等，从而可导。这时5试确定曲线上哪些点的切线平行于下列直线：（1） （2）解 函数的导数，两直线平行的条件是斜率相等。（1）直线的斜率为1，于是由，得，所以曲线上点处的切线平行于直线。（2）直线的斜率为2，于是由，得，所以曲线上点处的切线平行于直线。6求下列曲线在指定点P 的切线方程与法线方程：（1） （2）解 （1）切线方程为：，法线方程：（2）切线方程为：，法线方程：7求下列函数的导数：（1） （2）解 （1）当时，；当时，；当时，所以。（2）当时，；当时，；当时，左导数与右导数不相等，所以在不可导。8设函数（m为正整数），试问：（1）m等于何值时，在连续；（2）m等于何值时，在可导；（3）m等于何值时，在连续。解 （1），故对任意正整数m，在连续。（2），故当时，在可导。（3）先计算的导函数。，由（2）知，于是当时，有，所以当时，在连续。9求下列函数的稳定点：（1） （2）解 （1），令，得稳定点为：，k为整数。（2），令，得稳定点为：10设函数在点存在左右导数，试证在点连续。证明 设函数在点存在左右导数，于是从而，即在点左连续。同理可证在点右连续。因而在点连续。11设g(0)=, f(x)=求解 （因为）12设f(x)是定义在R上的函数，且对任何都有=若，证明对任何都有 证 不妨设f(x)不恒为零.由题设,有f(x)=f(x+0)= f(x)* f(0).所以f(0)=1.并且对任何有.所以.解后回顾 证法的关键在于灵活运用条件=13证明：若存在，则解前提示 设法将题中极限表达式变形为导数定义中的极限形式表示.证.14若证明函数f 在取间上连续，且，则在内至少有一点，使。解前提示 题中结论形式”在内至少存在一点,使”,与连续函数介值定理相似,但f(a), f(b)不满足介值定理条件,所以需另找两个值代替f(a), f(b).证 不妨设.即,.根据极限保号性,分别存在和,使得当时,从而f(x)k;当时,从而f(x)0时,由此得;由于f(x)的定义域为.所以在处只能讨论右导数.2. 求下列函数的导数：（1） （2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）解： (1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)（8）（9）（10）（11）（12）3求下列函数的导数：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）（10）（11）（12）（13）（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21）（22）（23）（24） （25）（26）解：(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(9) (10)(11)(12)(13)（14）（15）（16）（17）（18）（19）（20）（21） （22）（23）（24）（25）(26)9（） （） 4对下列各函数计算（1） （2） （3）解 （1），（2）令，则，于是。从而，（3）令，则，于是。从而，5. 已知g(x)为可导函数，a为实数，试求下列函数f(x)的倒数： （1） 解:（2） 解:（3） 解:（4） 解:6设为可导函数，证明：若时有，则必有或证明 因为，所以当时有，由题设，有，于是，从而或另证：当时由题设，有，于是，从而或7. 定义双曲线函数如下：双曲线余弦函数；双曲线正切函数双曲线函数双曲线余切函数证明 （1）（2）（3）（4）证明（1） （2） （3） （4）8求下列函数的导数：（1）（2）（3）（4） 解 9以分别表示各双函数的反函数。试求下列函数的导数： 解 P105 习题三1