利用化归与类比的数学思想ppt课件

利用化归与类比的数学思想 1 把一个陌生的问题 复杂的数学问题化成熟知的 简单的数学问题 从而使问题得到解决 这就是化归与类比的数学思想 化归与转化思想有着广泛的应用 实现转化的关键是要构造转化的方法 下面介绍一些常用的转化方法 及化归与类比思想解题的应用 一 正与反的转化 有些数学问题 如果直接从正面入手求解难度较大 致使思想受阻 我们可以从反面着手去解决 如函数与反函数的有关问题 对立事件的概率 间接法求解排列组合问题等 2 例1 某射手射击1次击中目标的概率是0 9他连续射击4次且他各次射击是否击中目标是相互独立的 则他至少击中目标1次的概率为 分析 至少击中目标一次的情况包括1次 2次 3次 4次击中目标共四种情况 可转化为其对立事件 一次都未中 来求解 他四次射击未中1次的概率P1 0 14 0 14 他至少射击击中目标1次的概率为1 P1 1 0 14 0 9999 3 例2 求常数m的范围 使曲线y x2的所有弦都不能被直线y m x 3 垂直平分 直接求解较为困难 事实上 问题可以转化为 在曲线y x2存在关于直线y m x 3 对称的两点 求m的范围 y m x 3 对称 则 抛物线y x2上存在两点关于直线 4 即消去x2得 从而m 因此 原问题的解为 m m 5 二 一般与特殊的转化 当面临的数学问题由一般情况难以解决 可以从特殊情况来解决 反之亦然 这种方法在选择 填空题中非常适用 6 例1 设等比数列 an 的公比为q 前n项和为Sn 若Sn 1 Sn Sn 2成等差数列 则q 分析 由于该题为填空题 我们不防用特殊情况来求q的值 如 S2 S1 S3成等差 求q的值 这样就避免了一般性的复杂运算 略解 q 2或q 0 舍去 7 分析 直线l的斜率一定 但直线是变化的 又从选项来看 必为定值 可见直线l的变化不会影响 的值 因此我们可取l为来求解的值 8 即可得 2 9 分析 P Q运动 四棱锥B PAQC1是变化的 但从选项来看其体积是不变的 所以可以转化为特殊情况来解决 例3 设三棱柱ABC A1B1C1的体积为V P Q分别是侧棱AA1 CC1上的点 且PA QC1 则四棱锥B PAQC1的体积为 A VB VC VD V 解 取P与A重合 Q与C1重合的特殊情况 10 三 主与次的转化利用主元与参变量的关系 视参变量为主元 即变量与主元的角色换位 常常可以简化问题的解决 先看下面两题 11 只需视为关于a的函数 问题就可以转化为例1的情况 令为关于a的一次函数 例1 f x x2 a 4 x 4 2a对于任意 1 1 中的a函数值均大于0 求 x的取值范围 12 分析 将方程写成 并且用函数的观点认识 则m就成了x的二次函数 m的取值范围就是在定义域上 函数值的范围 略解 将方程转化为作出图像如图上和每一个m都有不同的两个不同的x1 x2与之对应 13 四 数学各分支之间的转化 数学各分支间的转化是一种重要策略 应用十分广泛 比如用向量解立体几何 用解析几何处理平面几何 代数 三角及立体几何中的位置问题 求角与距离转化为平面几何中求角与距离等 例1 在四面体ABCD内部有一点O 使得直线AO BO CO DO与四面体的面BCD CDA DAB ABC分别交于A1 B1 C1 D1四点 且满足 求K可能的取值 14 分析 立体几何中的四面体 可以与平面几何中的三角形类比 四面体的面可以与三角形的边类比 于是命题可以从 ABC内部有一点O 使得直线AO BO CO与三角形的三边BC CA AB交于点A1 B1 C1 且满足求K的可能取值 的推理过程探求思考途径 在平面几何中 据上述思路的启发 在空间四面体中 可转化为体积关系来推理 且 于是K 2 15 解析 在四面体中 有且 K 3 16 五 陌生与熟悉的转化例1 学校将召开学生代表大会 高三有7个代表名额 要分配给5个班 每班至少有一个名额 问名额分配方法有多少种 17 二 练习 a a 1或a x x 1或x 3 D 18 4 在平面中 三角形具有性质 三角形的中线平分三角形的面积 试将该性质推广到空间 写出相应的一个真命题 三 小结 我们学习了化归与转化思想 我们学习了化归与转化思想 正与反的转化从集合的角度来看就是 补集 的思想一般与特殊的转化只限选择题 填空题中使用 在大题中可有该种方法来探究解题的突破口 寻求解题的方法 主与次的转化的方法 是如何看待一个等式 或不等式 中的两个元素的地位 只要需要 就可以把其中任何一个元素看作 主 要元素来解题 数学分支间的转化是数学分支间内在联系的具体体现 将陌生变为熟悉 是解每一道题的一般过程 类比与转化思想在教学中应用非常普遍 我们在解每一道题时 实际上都在转化和类比 将问题由难转易 由陌生的问题转为熟悉的问题 从而从问题得到解决 类比与转化的类型很多