工程力学(静力学与材料力学)-7B-弯曲强度2(应力分析与强度计算)ppt课件

范钦珊教育与教学工作室 23 2020 工程力学 静力学与材料力学 清华大学范钦珊 课堂教学软件 7B 返回总目录 第7章梁的强度 2 应力分析与强度计算 工程力学 静力学与材料力学 第二篇材料力学 返回总目录 应用平衡原理可以确定静定问题中梁弯曲时横截面上的剪力和弯矩 但剪力和弯矩只是杆件横截面上连续分布内力的简化结果 因此 仅仅确定了剪力和弯矩并不能确定横截面上各点内力的大小 因为在一般情形下 分布内力在各点的数值是不相等的 只有当内力在横截面上的分布规律确定之后 才能由内力分量确定杆件横截面上内力在各点的数值 怎样确定横截面上的内力分布规律呢 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 应力是不可见的 但变形却是可见的 而且二者之间通过材料的物性关系相联系 因此 为了确定内力的分布规律 必须分析和研究杆件的变形 必须研究材料受力与变形之间的关系 即必须涉及变形协调与物性关系两个重要方面 二者与平衡原理一起组成分析弹性体内力分布规律的基本方法 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 弯曲强度计算 弯曲剪应力分析 结论与讨论 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 返回总目录 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 梁弯曲的若干定义与概念 纯弯曲时 梁横截面上正应力分析 弯曲正应力公式的应用与推广 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 梁弯曲的若干定义与概念 对称面 梁的横截面具有对称轴 所有相同的对称轴组成的平面 称为梁的对称面 symmetricplane 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 主轴平面 梁的横截面没有对称轴 但是都有通过横截面形心的形心主轴 所有相同的形心主轴组成的平面 称为梁的主轴平面 planeincludingprincipalaxes 由于对称轴也是主轴 所以对称面也是主轴平面 反之则不然 梁弯曲的若干定义与概念 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 平面弯曲 所有外力 包括力偶 都作用于梁的同一主轴平面内时 梁的轴线弯曲后将弯曲成平面曲线 这一曲线位于外力作用平面内 这种弯曲称为平面弯曲 planebending 梁弯曲的若干定义与概念 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 纯弯曲 一般情形下 平面弯曲时 梁的横截面上一般将有两个内力分量 就是剪力和弯矩 如果梁的横截面上只有弯矩一个内力分量 这种平面弯曲称为纯弯曲 purebending 在纯弯曲情形下 由于梁的横截面上只有弯矩 因而便只有垂直于横截面的正应力 梁弯曲的若干定义与概念 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 横向弯曲 梁在垂直梁轴线的横向力作用下 其横截面上将同时产生剪力和弯矩 这时 梁的横截面上不仅有正应力 还有剪应力 这种弯曲称为横向弯曲 简称横弯曲 transversebending 梁弯曲的若干定义与概念 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 梁弯曲的若干定义与概念 梁的中性层与横截面的中性轴 梁弯曲后 一些层发生伸长变形 另一些则会发生缩短变形 在伸长层与缩短层的交界处那一层 既不发生伸长变形 也不发生缩短变形 称为梁的中性层或中性面 neutralsurface 中性层与梁的横截面的交线 称为截面的中性轴 neutralaxis 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 分析梁横截面上的正应力 就是要确定梁横截面上各点的正应力与弯矩 横截面的形状和尺寸之间的关系 由于横截面上的应力是看不见的 而梁的变形是可见的 应力又和变形有关 因此 可以根据梁的变形情形推知梁横截面上的正应力分布 纯弯曲时 梁横截面上正应力分析 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 应力分布 应力公式 变形 应变分布 纯弯曲时 梁横截面上正应力分析 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 如果用相邻的两个横截面从梁上截取长度为dx的一微段 假定梁发生弯曲变形后 微段的两个横截面仍然保持平面 但是绕各自的中性轴转过一角度 这一假定称为平面假定 planeassumption 应用平面假定确定应变分布 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 应用平面假定确定应变分布 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 在横截面上建立Oyz坐标系 其中z轴与中性轴重合 中性轴的位置尚未确定 y轴沿横截面高度方向并与加载方向重合 微段上到中性面的距离为y处长度的改变量 即 式中的负号表示y坐标为正的线段产生压缩变形 y坐标为负的线段产生伸长变形 应用平面假定确定应变分布 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 将线段的长度改变量除以原长dx 即为线段的正应变 于是得到 这就是正应变沿横截面高度方向分布的数学表达式 其中 应用平面假定确定应变分布 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 其中 为中性面弯曲后的曲率半径 也就是梁的轴线弯曲后的曲率半径 因为 与y坐标无关 所以在上述二式中 为常数 应用平面假定确定应变分布 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 应用弹性范围内的应力 应变关系的胡克定律 得到正应力沿横截面高度分布的数学表达式 式中C为待定的比例常数 即 其中E为材料的弹性模量 是待定的量 应用胡克定律确定横截面上的正应力分布 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 这表明 横截面上的弯曲正应力 沿横截面的高度方向从中性轴为零开始呈线性分布 应用胡克定律确定横截面上的正应力分布 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 这一表达式虽然给出了横截面上的应力分布 但仍然不能用于计算横截面上各点的正应力 这是因为尚有两个问题没有解决 一是y坐标是从中性轴开始计算的 中性轴的位置还没有确定 二是中性面的曲率半径 也没有确定 应用胡克定律确定横截面上的正应力分布 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 应用静力方程确定待定常数 为了确定中性轴的位置以及中性面的曲率半径 现在需要应用静力方程 根据横截面存在正应力这一事实 正应力这一分布力系 在横截面上可以组成一个轴力和一个弯矩 但是 根据截面法和平衡条件 纯弯曲时 横截面上只能有弯矩一个内力分量 二轴力必须等于零 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 于是 应用积分的方法 得到 负号表示坐标y为正值的微面积dA上的力对z轴之矩为负值 Mz为作用在加载平面内的弯矩 可由截面法求得 应用静力方程确定待定常数 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 应用静力方程确定待定常数 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 式中弯矩Mz由截面法平衡求得 截面对于中性轴的惯性矩Iz既与截面的形状有关 又与截面的尺寸有关 应用静力方程确定待定常数 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 应用静力方程确定中性轴位置 为了利用上述应力公式计算梁弯曲时横截面上的正应力 还需要确定中性轴的位置 将正应力表达式代入静力方程 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 根据截面的静矩定义 式中的积分即为横截面面积对于z轴的静矩Sz 又因为C 0 静矩必须等于零 前面讨论静矩与截面形心之间的关系时 已经知道 截面对于某一轴的静矩如果等于零 这一轴一定通过截面的形心 在分析正应力 设置坐标系时 指定z轴与中性轴重合 应用静力方程确定中性轴位置 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 上述结果表明 中性轴z通过截面形心 并且垂直于对称轴 所以 确定中性轴的位置就是确定截面的形心位置 对于有两根对称轴的截面 两根对称轴的交点就是截面的形心 例如 矩形截面 圆截面 圆环截面等 这些截面的形心很容易确定 对于只有一根对称轴的截面 或者没有对称轴的截面的形心 也可以从有关的设计手册中查到 应用静力方程确定中性轴位置 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 最大正应力公式与弯曲截面模量 工程上最感兴趣的是横截面上的最大正应力 也就是横截面上到中性轴最远处点上的正应力 这些点的y坐标值最大 即y ymax 将y ymax代入正应力公式得到 称为弯曲截面系数 单位是mm3或m3 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 最大正应力公式与弯曲截面模量 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 最大正应力公式与弯曲截面模量 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 梁弯曲后其轴线的曲率计算公式 这是梁弯曲时的另一个重要公式 梁的轴线弯曲后的曲率的数学表达式 其中EIz称为梁的弯曲刚度 这一结果表明 梁的轴线弯曲后的曲率与弯矩成正比 与弯曲刚度成反比 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 计算梁弯曲时横截面上的最大正应力 注意以下几点是很重要的 计算梁的弯曲正应力需要注意的几个问题 首先是正应力的正负号 决定正应力是拉应力还是压应力 确定正应力正负号比较简单的方法是首先确定横截面上弯矩的实际方向 确定中性轴的位置 然后根据所要求应力的那一点的位置 以及 弯矩是由分布正应力合成的合力偶矩 这一关系 就可以确定这一点的正应力是拉应力还是压应力 弯曲正应力公式的应用与推广 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 计算梁的弯曲正应力需要注意的几个问题 首先是正应力的正负号 决定正应力是拉应力还是压应力 确定正应力正负号比较简单的方法是首先确定横截面上弯矩的实际方向 确定中性轴的位置 然后根据所要求应力的那一点的位置 以及 弯矩是由分布正应力合成的合力偶矩 这一关系 就可以确定这一点的正应力是拉应力还是压应力 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 计算梁的弯曲正应力需要注意的几个问题 其次是最大正应力的计算 如果梁的横截面具有一对相互垂直的对称轴 并且加载方向与其中一根对称轴一致时 则中性轴与另一对称轴一致 此时最大拉应力与最大压应力绝对值相等 如果梁的横截面只有一根对称轴 而且加载方向与对称轴一致 则中性轴过截面形心并垂直对称轴 这时 横截面上最大拉应力与最大压应力绝对值不相等 可由下列二式分别计算 在实际计算中 可以不注明应力的正负号 只要在计算结果的后面用括号注明 拉 或 压 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 计算梁的弯曲正应力需要注意的几个问题 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 计算梁的弯曲正应力需要注意的几个问题 要特别关注弯矩最大横截面上的最大正应力 某一个横截面上的最大正应力不一定就是梁内的最大正应力 应该首先判断可能产生最大正应力的那些截面 这些截面称为危险截面 然后比较所有危险截面上的最大正应力 其中最大者才是梁内横截面上的最大正应力 保证梁安全工作而不发生破坏 最重要的就是保证这种最大正应力不得超过允许的数值 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 纯弯曲正应力可以推广到横向弯曲 以上有关纯弯曲的正应力的公式 对于非纯弯曲 也就是横截面上除了弯矩之外还有剪力的情形 如果是细长杆 也是近似适用的 理论与实验结果都表明 由于剪应力的存在 梁的横截面在梁变形之后将不再保持平面 而是要发生翘曲 这种翘曲对正应力分布的影响是很小的 对于细长梁这种影响更小 通常都可以忽略不计 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 例题1 矩形截面悬臂梁有两个对称面 由横截面铅垂对称轴所组成的平面 称为铅垂对称面 由横截面水平对称轴所组成的平面 称为水平对称面 梁在自由端承受外加力偶作用 力偶矩为Me 力偶作用在铅垂对称面内 试画出梁在固定端处横截面上的正应力分布图 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 解 1 确定固定端处横截面上的弯矩根据梁的受力 从固定端处将梁截开 考虑右边部分的平衡 可以求得固定端处梁截面上的弯矩 M Me 这一梁的所有横截面上的弯矩都等于外加力偶的力偶矩Me 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 解 2 确定中性轴的位置 中性轴通过截面形心并与截面的铅垂对称轴 y 垂直 因此 z轴就是中性轴 3 判断横截面上承受拉应力和压应力的区域 根据弯矩的方向可判断横截面中性轴以上各点均受压应力 横截面中性轴以下各点均受拉应力 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 3 判断横截面上承受拉应力和压应力的区域 根据弯矩的方向可判断横截面中性轴以上各点均受压应力 横截面中性轴以下各点均受拉应力 4 画梁在固定端截面上正应力分布图 根据正应力公式 横截面上正应力沿截面高度 y 按直线分布 在上 下边缘正应力最大 本例题中 上边缘承受最大压应力 下边缘承受最大拉应力 于是可以画出固定端截面上的正应力分布图 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 例题2 矩形截面简支梁承受均布载荷作用 已知 矩形的宽度b 20mm 高度h 30mm 均布载荷集度q 10kN m 梁的长度l 450mm 求 梁最大弯矩截面上1 2两点处的正应力 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 解 1 确定弯矩最大截面以及最大弯矩数值 根据静力学平衡方程 MA 0和 MB 0 可以求得支座A和B处的约束力分别为 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 解 1 确定弯矩最大截面以及最大弯矩数值 梁的中点处横截面上弯矩最大 数值为 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 解 2 计算惯性矩 根据矩形截面惯性矩的公式 本例题中 矩形截面对z轴的惯性矩为 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 解 3 求弯矩最大截面上1 2两点的正应力 均布载荷作用在纵向对称面内 因此横截面的水平对称轴 x 就是中性轴 根据弯矩最大截面上弯矩的方向 可以判断 1点受拉应力 2点受压应力 1 2两点到中性轴的距离分别为 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 解 3 求弯矩最大截面上1 2两点的正应力 于是 在弯矩最大截面上 1 2两点的正应力分别为 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 例题3 丁字形截面简支梁在中点承受集中力FP 32kN 梁的长度l 2m 丁字形截面的形心坐标yC 96 4mm 横截面对于z轴的惯性矩Iz 1 02 108mm4 求 弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 解 1 确定弯矩最大截面以及最大弯矩数值 根据静力学平衡方程 MA 0和 MB 0 可以求得支座A和B处的约束力分别为FRA FRB 16kN 根据内力分析 梁中点的截面上弯矩最大 数值为 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 2 确定中性轴的位置 丁字形截面只有一根对称轴 而且载荷方向沿着对称轴方向 因此 中性轴通过截面形心并且垂直于对称轴 z轴就是中性轴 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 3 确定最大拉应力和最大压应力点到中性轴的距离 根据中性轴的位置和中间截面上最大弯矩的实际方向 可以确定中性轴以上部分承受压应力 中性轴以下部分承受拉应力 最大拉应力作用点和最大压应力作用点分别为到中性轴最远的下边缘和上边缘上的各点 由截面尺寸 可以确定最大拉应力作用点和最大压应力作用点到中性轴的距离分别为 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 4 计算弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力 平面弯曲时梁横截面上的正应力 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 梁弯曲时横截面上的剪应力分析 实心截面梁的弯曲剪应力公式 薄壁截面梁的弯曲中心 横向载荷作用下开口薄壁杆件的扭转变形 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 梁弯曲时横截面上的剪应力分析 确定横截面上任意点处的剪应力 先从梁上界桥dx微段 然后以微段的局部作为平衡对象 分析弯曲剪应力的平衡方法 平衡对象 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 Fx 0 dx 0 FN dFN FN 分析弯曲剪应力的平衡方法 平衡方程与剪应力表达式 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 分析弯曲剪应力的平衡方法 平衡方程与剪应力表达式 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 其中 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 实心截面梁的弯曲剪应力公式 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 弯曲剪应力公式应用于实心截面梁 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 矩形截面 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 圆截面 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 圆环截面 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 工字钢截面 由型钢表查得 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 梁的受力及横截面尺寸如图所示 试 1 绘出梁的剪力图和弯矩图 2 确定梁内横截面上的最大拉应力和最大压应力 3 确定梁内横截面上的最大剪应力 4 画出横截面上的剪应力流 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 例题4 解 1 确定约束力 绘梁的剪力图和弯矩图 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 解 1 确定约束力 绘梁的剪力图和弯矩图 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 2 确定形心C位置 计算形心主惯性矩 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 3 确定梁内弯矩最大横截面上的最大拉应力和最大压应力 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 4 确定梁内横截面上的最大剪应力 最大剪应力发生在中性轴上各点 其中Szmax为中性轴以上或以下的面积对于中性轴的静矩 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 4 确定梁内横截面上的最大剪应力 最大剪应力 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 5 画出横截面上的剪应力流 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 薄壁截面梁的弯曲中心 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 薄壁杆件弯曲时的特有现象 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 薄壁截面梁弯曲时的特有现象 一般情形下梁发生横向弯曲时 不仅会产生弯曲变形 而且还会发生扭转 当外力的作用线通过某一特定点时 梁将只产生弯曲 而不发生扭转 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 薄壁杆件弯曲时为什么会发生扭转现象 外力的作用线通过哪一点就不会发生扭转 这一点的位置怎样确定 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 通过考察微段的局部平衡确定剪应力流的方向 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 薄壁截面上的弯曲剪应力 分布力系 薄壁截面上的弯曲剪应力组成的合力 剪应力流及其合力 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 弯曲中心的概念 所以 与剪应力相对应的分布力系向横截面所在平面内不同点简化 将得到不同的结果 可以只是一个力 这种情形下 将只产生弯曲 而不发生扭转 也可以是一个力和一个力偶 这时不仅产生弯曲 而且会发生扭转 对于薄壁截面 由于剪应力方向必须平行于截面周边的切线方向 形成剪应力流 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 弯曲剪应力组成的合力向截面形心简化 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 如果外力作用线通过C点 FP和FQ位于梁的长度方向两个不同的平面内 沿着铅垂方向 将会发生什么现象 弯曲剪应力组成的合力向截面形心简化 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 如果不致发生扭转 外力作用线应该通过哪一点 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 弯曲中心的概念 与剪应力相对应的分布力系向横截面所在平面内的某一点简化 将得到的只是一个力 这个力的作用点 称之为弯曲中心 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 弯曲中心的位置怎样确定 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 横向载荷作用下开口薄壁杆件的扭转变形 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 弯曲剪应力分析 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 弯曲时的可能危险面 弯曲时的可能危险点 基于最大正应力和最大剪应力的强度条件 弯曲许用应力 弯曲强度设计过程 应用举例 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 弯曲时的可能危险面 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 危险面在哪里 对于拉压强度不相等的材料 危险点有可能不在最大弯矩作用面上 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 弯曲时的可能危险点 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 1 2 3 5 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 Mmax作用面上 max作用点 距中性轴最远处 FQmax作用面上 max作用点 中性轴上各点 FQ和M都比较大的作用面上 和 都比较大的作用点 少数特殊情形 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 基于最大正应力和最大剪应力的强度条件 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 与拉伸或压缩杆件失效类似 对于韧性材料制成的梁 当梁的危险截面上的最大正应力达到材料的屈服应力 s 时 便认为梁发生失效 对于脆性材料制成的梁 当梁的危险截面上的最大正应力达到材料的强度极限 b 时 便认为梁发生失效 即 韧性材料 脆性材料 这就是判断梁是否失效的准则 其中 s和 b都由拉伸实验确定 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 基于最大正应力的强度条件 与拉 压杆的强度设计相类似 工程设计中 为了保证梁具有足够的安全裕度 梁的危险截面上的最大正应力必须小于许用应力 许用应力等于 s或 b除以一个大于1的安全因数 于是有 上述二式就是基于最大正应力的梁弯曲强度计算准则 又称为弯曲强度条件 式中 为弯曲许用应力 ns和nb分别为对应于屈服强度和强度极限的安全因数 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 基于最大正应力的强度条件 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 基于最大剪应力的强度条件 因为最大剪应力作用点上 一般只有剪应力而没有正应力 这种受力状况与圆轴扭转时最大剪应力作用点相同 因此 当最大剪应力得到屈服强度 s 或强度极限 b 时 便认为失效 即 韧性材料 脆性材料 于是 强度条件为 弯曲许用应力 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 对于韧性材料 由于弯曲正应力分布的不均匀性 当危险点的应力达到屈服应力时 该点发生屈服 但其他各点的应力仍未达到屈服应力值 因而不会导致整个杆件丧失承载能力 于是 工程上规定承弯杆件的许用正应力略高于拉伸许用应力 约高20 50 一般取为拉伸许用应力的1 2倍 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 对于脆性材料 如铸铁等 由于材料本身的不均匀性 如内部夹杂物 缺陷 气孔等 以及弯曲正应力的非均匀分布 最大应力作用区远小于较小应力作用区 于是 缺陷在最大应力区域内引起破坏的概率 比在低应力区的概率要小得多 因此 脆性材料弯曲许用拉应力要比拉伸时高得多 例如对于灰铸铁 弯曲许用拉应力要比拉伸时高70 110 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 弯曲强度设计过程 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 强度设计通常包含解决下列三类强度问题 强度校核 截面形状与尺寸设计 确定许用载荷 根据前述设计准则 强度设计一般应遵循以下计算过程 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 首先 要正确地画出剪力图和弯矩图 确定剪力绝对值和弯矩绝对值最大作用面及其数值 以便确定可能危险面 根据危险面上内力的实际方向 确定应力分布 综合考虑材料的力学性能 确定可能的危险点 根据危险点的类型选择相应的强度条件 解决不同类型的强度问题 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 对于强度核核 只需对不同的危险点 验算相关的强度设计准则是否满足 若满足 则杆件强度安全 否则不安全 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 对于截面尺寸设计 若材料的拉 压许用应力相等 可先按照最大正应力点的设计准则确定所需的最小弯曲截面系数 对于拉 压许用应力不等的脆性材料 则按最大拉应力和最大压应力计算所需的最小弯曲截面系数 进而根据截面的形状确定截面的尺寸 确定截面尺寸之后 再对其它的可能危险点的强度加以校核 若强度满足要求 设计即告完成 否则 还要改变截面或尺寸 重复上述运算 直至所有可能危险点都满足设计准则为止 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 对于确定梁的许可载荷 也是先从最大正应力点的设计准则出发 计算出许可载荷值 然后再对其它可能的危险点按前述步骤作强度校核 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 需要指出的是 对于实心截面细长杆件 在一般受力形式下 横截面上的正应力远大于切应力 多数情形下 只要保证最大正应力点具有足够的强度 就可以保证其它可能的危险点具有足够的强度 因而可以不对这两类危险点进行强度校核 对于薄壁截面 特别是非轧制型钢的组合截面 这两类危险点都必须校核其强度 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 斜弯曲的强度条件 最大正应力点的强度条件与平面弯曲时相同 即 与一般弯曲强度设计不同的是 斜弯曲情形下 危险面上有两个不同方向的弯矩作用 因此 需要根据两个弯矩所引起的应力分布确定危险点的位置以及危险点的应力数值 而且 对于截面尺寸设计 一般弯曲情形下 可以一次求得结果 在斜弯曲情形下 则必须通过若干次试算 本节将通过具体算例 说明这一过程 横向载荷和轴向载荷作用时强度条件 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 最大正应力点的强度条件与平面弯曲时相同 即 当杆件同时受有横向载荷和轴向载荷作用 横截面上不仅有弯矩和剪力两种内力分量 还会有轴力 因此 横截面上的正应力分布也将不同于弯曲的情形 这种情形下 不仅杆件的危险面和危险点的位置还发生变化 而且危险点的应力数值将发生变化 应用举例 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 例题6 圆轴在A B两处的滚珠轴承可以简化为铰链支座 轴的外伸部分BD是空心的 轴的直径和其余尺寸以及轴所承受的载荷都标在图中 这样的圆轴主要承受弯曲变形 因此 可以简化为外伸梁 已知拉伸和压缩的许用应力相等 120MPa 试分析 圆轴的强度是否安全 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 FRA 2 93kNFRB 5 07kN 解 1 确定约束力 因为A B两处的滚珠轴承可以简化为铰链支座 圆轴上又没有水平方向的载荷作用 所以 A B二处都只有垂直方向的约束力FRA FRB 假设方向都向上 于是 由平衡方程 MA 0和 MB 0 求得 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 MC 1 17kN mMB 0 9kN m 解 2 画弯矩图 判断可能的危险截面 根据圆轴所承受的载荷和约束力 可以画出圆轴的弯矩图 如图所示 根据弯矩图和圆轴的截面尺寸 在实心部分C截面处弯矩最大 为危险截面 在空心部分 轴承B以右截面处弯矩最大 为危险截面 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 解 3 计算危险截面上的最大正应力 应用最大正应力公式和圆截面以及圆环截面的弯曲截面系数公式 可以计算危险截面上的应力 C截面 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 B以右的截面 解 3 计算危险截面上的最大正应力 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 B以右的截面 上述计算结果表明 两个危险截面上的最大正应力都小于许用应力 于是 强度条件得到满足 即 C截面 解 3 计算危险截面上的最大正应力 4 分析梁的强度是否安全 因此 圆轴的强度是安全的 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 铸铁制作的悬臂梁 尺寸及受力如图所示 图中FP 20kN 梁的截面为丁字形 形心坐标yC 96 4mm 截面对于z轴的惯性矩Iz 1 02 108mm4 已知材料的拉伸许用应力和压缩许用应力分别为 40MPa 100MPa 试校核 梁的强度是否安全 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 例题7 解 1 画弯矩图 判断可能的危险截面 本例中的悬臂梁 可以不求约束力 直接由外加载荷画出弯矩图 从弯矩图可以看出 最大正弯矩作用在截面A上 最大负弯矩作用在截面B上 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 由于梁的截面只有一根对称轴 而且拉伸许用应力和压缩许用应力不相等 弯矩小的截面上最大拉应力作用点到中性轴的距离 大于弯矩大的截面上最大拉应力作用点到中性轴的距离 解 1 画弯矩图 判断可能的危险截面 所以弯矩小的截面上的最大拉应力也可能比较大 因此 截面A和B都可能是危险截面 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 解 1 画弯矩图 判断可能的危险截面 MA 16kN m MB 12kN m 这两个截面上的弯矩值分别为 所以弯矩小的截面上的最大拉应力也可能比较大 因此 截面A和B都可能是危险截面 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 根据危险截面上弯矩的实际方向 可以画出截面A B上的正应力分布图 解 2 根据危险截面上的正应力分布确定可能的危险点 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 解 2 根据危险截面上的正应力分布确定可能的危险点 从图中可以看出 截面A上的b点和截面B上的c点都将产生最大拉应力 但是 截面A上的弯矩MA大于截面B上的弯矩MB 而b点到中性轴的距离yb大于c点到中性轴的距离yc 因此 b点的拉应力大于c点的拉应力 这说明b点比c点更危险 所以 对于拉应力 只要校核b点的强度即可 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 截面A上的上边缘各点 例如a点 和截面B上的下边缘各点 例如d点 都承受压应力 解 2 根据危险截面上的正应力分布确定可能的危险点 但是 截面A上的弯矩MA大于截面B上的弯矩MB 而a点到中性轴的距离ya小于d点到中性轴的距离yd 因此 不能判定a点的和d点的压应力哪一个大 哪一个小 这说明a点和d点都可能是危险点 所以 对于压应力 a点和d点的强度都需要校核 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 截面A上的下边缘各点 例如b点 截面A上的上边缘各点 例如a点 解 3 计算危险点的正应力 进行强度校核 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 解 3 计算危险点的正应力 进行强度校核 截面B上的下边缘各点 例如d点 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 解 4 结论 上述结果说明 梁上所有危险截面的危险点的强度都是安全的 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 试计算 1 FP加在辅助梁的什么位置 才能保证两台吊车都不超载 2 辅助梁应该选择什么型号的工字钢 为了起吊重量为FP 300kN的大型设备 采用一台150kN和一台200kN的吊车 以及一根工字形轧制型钢作为辅助梁 组成临时的附加悬挂系统 如果已知辅助梁的长度l 4m 型钢材料的许用应力 160MPa 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 例题8 解 1 确定FP加在辅助梁的什么位置 力FP加在辅助梁的不同位置上 两台吊车所承受的力是不相同的 假设FP加在辅助梁的C点 这一点到150kN吊车的距离为x 将FP看作主动力 两台吊车所受的力为约束力 分别用FA和FB表示 由平衡方程 MA 0和 MB 0 可以解出 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 解 1 确定FP加在辅助梁的什么位置 令 由此解出 于是 得到FP加在辅助梁上作用点的范围为 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 解 2 确定辅助梁所需要的工字钢型钢号码 在这两种情形下 辅助梁都在FP作用点处弯矩最大 最大弯矩数值分别为 根据上述计算得到的FP加在辅助梁上作用点的范围 当x 2m时 辅助梁在B点受力为150kN 当x 2 667m时 辅助梁在A点受力为200kN 因此 应该以Mmax B 作为强度计算的依据 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 解 2 确定辅助梁所需要的工字钢型钢号码 因此 应该以Mmax B 作为强度计算的依据 于是 由强度条件 可以算出辅助梁所需要的弯曲截面模量 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 解 2 确定辅助梁所需要的工字钢型钢号码 由热轧普通工字钢型钢表中查得50a和50b工字钢的Wz分别为1 860 103cm3和1 940 103cm3 如果选择50a工字钢 它的弯曲截面模量比所需要的大约小 工程设计中最大正应力可以允许超过许用应力5 所以选择50a工字钢是可以的 但是 对于安全性要求很高的构件 最大正应力不允许超过许用应力 这时就需要选择No 50b工字钢 弯曲强度计算 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 结论与讨论 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 结论与讨论 正应力公式应用中的几个问题 关于中性轴的讨论 实心截面细长梁弯曲剪应力与弯曲正应力的量级比较 提高梁强度的措施 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 结论与讨论 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 正应力公式应用中的几个问题 屋顶大梁上的孔为什么开在中间 上 下两边各开一个半圆孔可以吗 关于弯曲正应力分布 结论与讨论 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 梁为什么做成变截面的 孔开在哪里最合理 关于弯曲正应力分布 梁为什么可以开孔 结论与讨论 第7章B弯曲强度 2 应力分析与强度计算 加载方向与加载范围 应用正应力公式时 要注意其中的FNx My Mz必须是分别作用在截面形