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文档简介

微分方程 第十二章 积分问题 微分方程问题 推广 微分方程的基本概念 机动目录上页下页返回结束 第一节 微分方程的基本概念 引例 几何问题 物理问题 第十二章 引例1 一曲线通过点 1 2 在该曲线上任意点处的 解 设所求曲线方程为y y x 则有如下关系式 C为任意常数 由 得C 1 因此所求曲线方程为 由 得 切线斜率为2x 求该曲线的方程 机动目录上页下页返回结束 引例2 列车在平直路上以 的速度行驶 制动时 获得加速度 求制动后列车的运动规律 解 设列车在制动后t秒行驶了s米 已知 由前一式两次积分 可得 利用后两式可得 因此所求运动规律为 说明 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住 以及制动后行驶了多少路程 即求s s t 机动目录上页下页返回结束 常微分方程 偏微分方程 含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程 本章内容 n阶显式微分方程 微分方程的基本概念 一般地 n阶常微分方程的形式是 的阶 分类 或 机动目录上页下页返回结束 使方程成为恒等式的函数 通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程 确定通解中任意常数的条件 n阶方程的初始条件 或初值条件 的阶数相同 特解 通解 特解 微分方程的解 不含任意常数的解 定解条件 其图形称为积分曲线 机动目录上页下页返回结束 例1 验证函数 是微分方程 的解 的特解 解 这说明 是方程的解 是两个独立的任意常数 利用初始条件易得 故所求特解为 故它是方程的通解 并求满足初始条件 机动目录上页下页返回结束 求所满足的微分方程 例2 已知曲线上点P x y 处的法线与x轴交点为Q 解 如图所示 令Y 0 得Q点的横坐标 即 点P x y 处的法线方程为 且线段PQ被y轴平分 第二节目录上页下页返回结束 P263 习题12 1 1 2 3 4 3 2 4 2 3 6 思考与练习
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