医药数理统计-6ppt课件

通常是指与随机变量有关的 虽然不能完整地刻划随机变量 但却能较为集中地反映随机变量某些方面的重要特征的一些数值 3 1随机变量的数学期望 3 2随机变量的方差 本章内容 数字特征 第三章随机变量的数字特征 定义设离散型随机变量X的概率分布为 P X xk pk k 1 2 3 若级数 则称级数和 为随机变量X的数学期望 或均值 记作E X 随机变量X的数学期望完全是由它的概率分布确定的 而不应受X的可能取值的排列次序的影响 因此要求 否则 称随机变量的数学期望不存在 解易知 例1设随机变量X的分布列为 求 若将此例视为甲 乙两队 比赛 甲队赢的概率为0 6 输的概率为0 4 并且甲队每赢一次得3分 每输一次扣1分 则E X 1 4是指甲队平均每次可得分 定义设连续型随机变量X的概率密度为f x 若积分 说明 如果积分不收敛 则称随机变量X的数学期望不存在 收敛 则称积分值为X的数学期望 或均值 记作E X 2 连续型随机变量的数学期望 试证X的数学期望不存在 证因为 例2设随机变量X服从柯西分布 其密度函数为 即不收敛 所以X的数学期望不存在 求X的数学期望 page56 例3设随机变量X的概率密度函数为 解 3 随机变量函数的数学期望 定理3设X是随机变量 Y g X 是X的连续函数 则有 1 若为离散型变量 其概率函数为 2 如果X为连续型随机变量 其概率密度为f x 如果积分收敛 则有 求E X2 及E 2X 1 例3 5设随机变量X的概率密度函数为 证可将C看成离散型随机变量 分布律为P X C 1 故由定义即得E C C 2 设C为常数 X为随机变量 则有E CX CE X 证设X的密度函数为 则有 3 设为任意两个随机变量 都有 1 设C为常数 则有E C C 4 数学期望的性质 4 设X Y为相互独立的随机变量 则有 注 3 4可以推广到有限个的情形 解 二项分布的均值 Poisson分布 解 解 均匀分布 指数分布 解 常见随机变量的数学期望 例 为简单计 设n是k的倍数 设共分成n k组 第i组需化验的次数为Xi 解 若 则EX n 例如 中位数 众数和分位点 定义 定义 定义 例 例 解 解 双侧 分位数的概念 设X为连续型随机变量 其概率密度函数为f x 则对于满足0 1 2的 则称x 2为X所服从的分布的双侧 分位数 若 标准正态分布的上 分位数z 常用数字 u 2 u1 2 四分位数指 例 page63例3 11 若E X E X 2存在 则称其为随机 方差的定义 定义1 即V X E X E X 2 变量X的方差 记为V X 或Var X D X 描述随机变量X的取值偏离平均值的平均偏离程度 数 若X为离散型随机变量 分布律为 若X为连续型随机变量 概率密度为f x 计算方差的常用公式 1 V C 0 2 V aX a2V X 3 若X Y相互独立 则 方差的性质 则 常见随机变量的方差 P 70 区间 a b 上的均匀分布 E N 2 例1设X P 求V X 解 方差的计算 例2设X B n p 求V X 解引入随机变量 相互独立 故 例3设X N 2 求V X 解 仅知r v 的期望与方差并不能确定其分布 与 有相同的期望方差但是分布