probability 统计学双语

1 Chapterthree ProbabilityandItsDistributions 2 Mainpoints Section1 概率及概率分布的有关概念和性质Section2 离散型随机变量的概率分布 二项分布概率函数 绘图及计算Section3 连续型随机变量的概率分布 正态分布概率密度函数 绘图及计算 3 Section1 GeneralIntroductionofProbabilityandItsDistribution 有关概念概率及概率分布离散型及连续型随机变量期望值及方差性质计算 4 几个基本概念 随机现象 即事物发展的结果事先不能确定的现象 又称偶然现象或不确定性现象 随机试验 为掌握随机现象的统计规律性 对随机现象进行试验或观察 观察的过程叫试验 随机事件 随机试验的每一次可能结果 简称事件 若一个随机事件不可能再分 就称基本事件 概率 衡量随机事件发生可能性大小的数值 不可能事件 必然事件 5 计算概率的法则古典法 在古典概率型中某一事件A发生的概率 是该事件所包含的基本事件个数m与样本空间中基本事件总数n的比值 记作p A m n试验法 在相同情况下重复进行n次试验 事件A发生m次 m n 随着试验次数n的增大 事件A发生的频率m n围绕某一常数p上下波动的幅度越来越小 且逐步趋于稳定 则称p为事件A的概率 记作p A pm n主观法 人们根据自己的经验和所掌握的有关信息 对事件发生的可能性大小给以主观的估计 称为主观概率 详看21世纪教材chapter4 p58 59 6 InterpretationsofProbability TheRelativeFrequencyInterpretationofProbability Insituationsthatwecanimaginerepeatingmanytimes wedefinetheprobabilityofaspecificoutcomeastheproportionoftimesitwouldoccuroverthelongrun calledtherelativefrequencyofthatparticularoutcome 7 AssigningProbabilities Aprobabilityisavaluebetween0and1andiswritteneitherasafractionorasadecimalfraction Aprobabilitysimplyisanumberbetween0and1thatisassignedtoapossibleoutcomeofarandomcircumstance Forthecompletesetofdistinctpossibleoutcomesofarandomcircumstance thetotaloftheassignedprobabilitiesmustequal1 8 Probabilitydistributions概率分布 Randomvariablesx isanumericaldescriptionoftheoutcomeofanexperiment Itcanbeclassifiedasbeingeitherdiscreteorcontinuousdependingonitscharacter Acontinuousrandomvariablecantakeanyvalueinanintervalorcollectionofintervals Adiscreterandomvariablecantakeoneofacountablelistofdistinctvalues 9 概率分布 将随机变量及其相应的概率描述出来 即为概率分布 可用函数式 表格或图形表示 据它可以掌握随机变量的变动规律 写出一随机变量的概率分布必须知道x的所有可能取值计算出每一种可能结果的概率p参见教材P179 182 Probabilitydistributions概率分布 10 ExpectationsforRandomVariables TheexpectedvalueofarandomvariableisthemeanvalueofthevariableXinthesamplespace orpopulation ofpossibleoutcomes IfXisarandomvariablewithpossiblevaluesx1 x2 x3 occurringwithprobabilitiesp1 p2 p3 thentheexpectedvalueofXiscalculatedas Discreterandomvariables Continuousrandomvariables 11 Examplefortheexpectedvalue 某公司考虑在一个设计中的郊区林荫道上投标 这个公司有两种基本被选方案 对每一个方案都进行了分析 估计了净利润及其实现的主观概率 方案A 包括食品批发和土特产品店 一个公园 一个室外就餐中心的投资 其净利润分别是150000元 200000元 300000元 其概率分别为0 4 0 2 0 4 方案B 投资于药店和康复中心 其净利润分别是120000元 225000元 成功的机会各为50 假定净利润数字考虑了每个项目所需要的资本投资 从预期经济收益的观点看 哪个方案是可取的 12 Resultoftheexample E A 150000 0 4 200000 0 2 300000 0 4 220000 元 E B 120000 0 5 225000 0 5 172500 元 计算结果表明 选择方案A将获得较高的期望净利润 13 某保险公司向一位45岁的男子提供数额为1000元 期限一年的保险单 保险费为每年12元 假如这个年龄组的死亡数是每1000人中为一人 这个保险公司在这类保险单上的收益是多少 Self testfortheexpectedvalue 14 Propertiesofexpectedvalue 当随机变量X Y相互独立时 15 varianceandstandarddeviation 方差和标差 反映随机变量的分散程度 IfXisarandomvariablewithpossiblevaluesx1 x2 x3 occurringwithprobabilitiesp1 p2 p3 andexpectedvalueE X m then Thestandarddeviationofarandomvariableisessentiallytheaveragedistancetherandomvariablefallsfromitsmeanoverthelongrun Discreterandomvariables 16 EXAMPLE X thenumberofheadsoccurringastossingacoin1 ShowtheprobabilitydistributionofX X01P x 0 50 5 2 E X 0 0 5 1 0 5 0 53 V X 17 当随机变量X Y相互独立时 Propertiesofvariance 18 常用的典型随机变量的概率分布 常用的离散型随机变量的典型概率分布 binomialdistribution二项分布 hypergeometricdistribution超几何分布 poissondistribution普哇松分布常用的连续型随机变量的典型概率分布 normalprobabilitydistribution正态分布Standardnormalprobabilitydistribution 19 Section2 BinomialDistribution 二项试验以及其特点二项变量二项分布的概率函数二项分布的应用二项分布的分布形态 20 binomialexperiment 二项试验 1 Therearen trials wherenisdeterminedinadvanceandisnotarandomvalue 2 Twopossibleoutcomesoneachtrial called success and failure anddenotedSandF 3 Outcomesareindependentfromonetrialtothenext 4 Probabilityofa success denotedbyp remainssamefromonetrialtothenext Probabilityof failure is1 p 21 binomialvariables 二项变量 AbinomialrandomvariableisdefinedasX numberofsuccessesinthentrialsofabinomialexperiment 22 probabilitydistributionofbinomialdistribution二项分布的概率分布 X服从二项分布 成功经验的概率为则记为Xb n 大写的X表示随机变量小写的x表示随机变量的具体取值 23 Example1 设想在一个盒子里有10个小球 其中6个是红球 4个是白球 现在把随机抽取一个球视为一次试验 试验后把球放回盒子里 如果连续进行了三次试验 求三次试验中出现红球次数的概率 解 这里满足二项分布的条件n 3 0 6b 0 3 0 6 C 0 6 0 0 4 3 0 064b 1 3 0 6 C 0 6 1 0 4 2 0 288b 2 3 0 6 C 0 6 2 0 4 1 0 432b 3 3 0 6 C 0 6 3 0 4 0 0 216 24 n 3 0 6的二项分布图 0 0 25 0 5 0123x 0 064 0 288 0 432 0 216 25 UsingTablesofBinomialProbabilities参见教材P194 195 Example2 一计算机公司生产某种256K动态RAM集成电路块供微机使用 这种集成块有15 是不合格品 现在随机抽选10块进行检查 查表计算下列不同情况下的概率 1 不合格品数在3个以内的概率 2 不合格品数恰为3个的概率 3 不合格品数超过4个的概率 4 不合格品数从3个到5个的概率 26 ExpectedValueandStandardDeviationforaBinomialRandomVariable ExpectedValueE X nE X n VarianceV X n 1 V X n V X n2 1 nExample textbook P196MartinClothingStore 27 Example3ExtraterrestrialLife 50 oflargepopulationwouldsay yes ifasked Doyoubelievethereisextraterrestriallife Sampleofn 100istaken X numberinthesamplewhosay yes isapproximatelyabinomialrandomvariable Inrepeatedsamplesofn 100 onaverage50peoplewouldsay yes Theamountbywhichthatnumberwoulddifferfromsampletosampleisabout5 Exercise P197 27 28 二项分布的分布形态 n值越小 偏斜度越大 29 正态左偏右偏的图示 X X X P P P 正态 左偏 右偏 30 0 0735 0 0043 2 7 1 37 SelfTest 参照二项分布表中参数n 9 p 0 3的数据 1 作出概率分布图 观察其是左偏还是右偏 2 用公式计算P x 5 和P x7 3 求此二项分布的期望值和标准差 31 DiscreteprobabilitydistributionwithEXCEL MartinClothingStore 32 Section3 normaldistributionandstandardnormaldistribution 连续型随机变量及其概率分布normaldistribution正态分布standardnormaldistribution标准正态分布特点应用用正态分布逼近离散型概率分布 33 ContinuousRandomVariables 连续型变量往往是测量的结果 理论上讲是不可点数的 可以取两个规定界限之间的任何数值 例如 身高 体重 产品的使用寿命等 连续型随机变量取一个值的概率为0 即 P axb P a x b P ax b P a xb Continuousrandomvariable theoutcomecanbeanyvalueinanintervalorcollectionofintervals 34 频数多边形与密度函数 密度函数可以看作是当组距逐渐缩小时 0 频数多边形的极限形式 记作f x x P x x f x a 组距 b 连续型随机变量的密度函数 f x 密度函数 35 由于我们用矩形面积表示概率 所以连续型随机变量x在区间 a b 的概率近似等于矩形面积之和 即 当时 即可得到为 1 f x 02 ProbabilitydensityfunctionforacontinuousrandomvariableXisacurvesuchthattheareaunderthecurveoveranintervalequalstheprobabilitythatXisinthatinterval P a X b areaunderdensitycurveovertheintervalbetweenthevaluesaandb 36 在连续型随机概率分布中 有一种非常重要的概率分布称为正态分布 normaldistribution 理论上 满足正态分布的随机变量的取值范围可以从负无穷大到正无穷大 其概率密度函数为 公式中的x为正态随机变量 3 1416 e 2 71828 和 为正态分布的两个参数 用N 表示平均数为 标准差为 的正态分布 NormalRandomVariables 37 NormalRandomVariables Ifapopulationofmeasurementsfollowsanormalcurve andifXisthemeasurementforarandomlyselectedindividualfromthatpopulation thenXissaidtobeanormalrandomvariableXisalsosaidtohaveanormaldistributionAnynormalrandomvariablecanbecompletelycharacterizedbyitsmean m andstandarddeviation s 38 连续型随机变量的典型概率分布 正态分布normaldistribution 正态分布在统计学中的地位正态分布的特点正态分布的概率密度函数标准正态分布standardnormaldistribution标准正态分布表正态分布的的应用 39 正态分布在统计学中的地位是统计和抽样的理论基础 客观世界中许多随机现象都服从或近似服从正态分布 正态分布具有很好的数学特征 尽管经济管理活动中的有些变量是偏斜的 但这丝毫不影响正态分布在抽样应用中的地位 40 Characteristicsofthenormalprobabilitydistribution 正态随机变量X的取值域为整个X轴 X轴为正态曲线的渐近线 正态曲线与X轴围成的面积为1 正态分布是对称分布 其对称轴位置为期望值 mean median和mode三者合一 其概率密度曲线为钟型 且偏态系数等于0及峰度系数为3 正态曲线的形状由随机变量的标准差决定 标准差越大 正态曲线矮胖 标准差越小 正态曲线高瘦 Referencetop219 220 41 正态分布图形的特点 42 一般正态分布的概率密度函数 x X服从正态分布记为 N E X V X 2 43 正态分布下方的面积集中在中心部分而向两边逐渐减少 任何正态曲线下 在 左右一个标准差范围内 包含总体单位总数的68 3 即随机变量取值在这个范围内的概率P x 为68 3 在 2 范围内约为95 0 在 3 范围内约为99 7 f x x 2 2 0 3415 0 1360 0 1360 6 质量管理 44 标准正态分布的概率密度函数 0 Z z Z为标准正态变量ZN 0 1 E Z 0 V Z 1 45 46 3 2 10123 0 6826 0 9544 0 9972 P229methods8 13 47 Example1CollegeWomen sHeights Datasuggestthedistributionofheightsofcollegewomenmodeledbyanormalcurvewithmeanm 65inchesandstandarddeviations 2 7inches Note Tickmarksgivenatthemeanandat1 2 3standarddeviationsaboveandbelowthemean EmpiricalRulevaluesareexactcharacteristicsofanormalcurvemodel 48 Example2 某企业生产日光灯 日光灯的使用寿命服从正态分布 其均值为1000小时 标准差为200小时 试求使用寿命在下列范围内的概率 1 使用寿命在800 1200小时之间 2 使用寿命在600 1400小时之间 3 使用寿命在400 1600小时之间 4 使用寿命小于920小时 49 Resultofexample2 50 书中标准正态分布附表数字为0到右边Z的面积 P223 226 51 Exercise 某旅行社在春季每天接待的海外旅游者的人数x服从正态分布 平均数 1000人 标准差 200人 求下列概率 1 每天接待人数在850人至1000人之间的概率 2 每天接待人数在800人至1100人之间的概率 3 每天接待人数在1200人至1300人之间的概率 4 每天接待人数超过1330人的概率 52 正态曲线所示概率 8501000 0 750 100012001300 80010001100 100 5 011 5 10001330 01 65 53 ApproximatingBinomialDistributionProbabilities IfXisabinomialrandomvariablebasedonntrialswithsuccessprobabilityp andnislarge thentherandomvariableXisalsoapproximatelynormal withmeanandstandarddeviationgivenas Conditions Bothnpandn 1 p areatleast10 54 Example