高等代数第一章ppt课件

作业 P73 7 谢谢 一 映射的概念及例 定义1设A B是两个非空的集合 A到B的一个映射指的是一个对应法则 通过这个法则 对于集合A中的每一个元素x 有集合B中一个唯一确定的元素y与它对应 用字母f g 表示映射 用记号表示f是A到B的一个映射 如果通过映射f 与A中元素x对应的B中元素是y 那么就写作 这时y叫做x在f之下的象 记作 1 2映射 注意 A与B可以是相同的集合 也可以是不同的集合 对于A的每一个元素x 需要B中一个唯一确定的元素与它对应 一般说来 B中的元素不一定都是A中元素的象 A中不相同的元素的象可能相同 二 映射的相等及像 设是一个映射 对于 x的象 一切这样的象作成B的一个子集 用表示 叫做A在f之下的象 或者叫做映射f的象 设 都是A到B的映射 如果对于每一x 都有 那么就说映射f与g是相等的 记作 设是A到B的一个映射 是B到C的一个映射 那么对于每一个 是C中的一个元素 因此 对于每一 就有C中唯一的确定的元素与它对应 这样就得到A到C的一个映射 这映射是由和所决定的 称为f与g的合成 乘积 记作 于是有 对于一切 f与g的合成可以用下面的图示意 A B C 三 映射的合成 设给映射 有 但是 一般情况下 设A是非空集合 称为A上的恒等映射 四单射 满射 双射 定义2设f是A到B的一个映射 如果 那么说称f是A到B上的一个映射 这时也称f是一个满映射 简称满射 是满射必要且只要对于B中的每一元素y 都有A中元素x使得 关于映射 只要求对于A中的每一个元素x 有B中的一个唯一确定的元素y与它对应 但是A中不同的元素可以有相同的象 定义3设是一个映射 如果对于A中任意两个元素和 只要 就有 那么就称f是A到B的一个单映射 简称单射 定义3 如果f既是满射 又是单射 即如果f满足下面两个条件 对于一切 那么就称f是A到B的一个双射或一一映射 f是一个双射 存在B到A的一个映射g 使得 再者 当条件 成立时 映射g是由f唯一确定的 一个有限集合A到自身的双射叫做A的一个置换 作业 P143 4 9 10 谢谢 1 3数学归纳法 内容分布最小数原理数学归纳法的依据教学目的掌握最小数原理 并能熟练应用数学归纳法 重点 难点最小数原理的理解 数学归纳法原理的证明 一 最小数原理 数学归纳法的理论依据 最小数原理 正整数的一个最基本的性质 1 最小数原理并不是对于任意数集都成立的 2 设c是任意一个整数 令 注意 那么其代替正整数集 最小数原理对于仍然成立 也就是说 的任意一个非空子集必含有一个最小数 特别 N的任意一个非空了集必含有一个最小数 二 数学归纳法原理 定理1 3 1 数学归纳法原理 设有一个与正整数n有关的命题 如果 当n 1时 命题成立 假设当n k时命题成立 当n k 1时命题也成立 那么这个命题对于一切正整数n都成立 定理1 3 2 第二数学归纳法 设有一个与正整数n有关的命题 如果 当n 1时命题成立 假设命题对于一切小于k的自然数来说成立 则命题对于k也成立 那么命题对于一切自然数n来说都成立 作业 P171 2 3 谢谢 1 4整数的一些整除性质 一 内容分布整除与带余除法最大公因数互素素数的简单性质二 教学目的1 理解和掌握整除及其性质 2 掌握最大公因数性质 求法 3 理解互素 素数的简单性质 三 重点 难点整除 最大公因数性质 互素有关的证明 一 整除与带余除法 设a b是两个整数 如果存在一个整数d 使得b ad 那么就说a整除b 或者说b被a整除 用符号a b表示a整除b 这时a叫作b的一个因数 而b叫做a的一个倍数 如果a不整除b 那么就记作 定理1 4 1 带余除法 设a b是整数且 那么存在一对整数q和r 使得 满足以上条件整数q和r的唯一确定的 所以 这是与r是S中最小数的事实矛盾 因此 假设还 使得 由此或者 或者 不论是哪一种情形 都将导致矛盾 这样必须 从而 也就是说 二 最大公因数 设a b是两个整数 满足下列条件的整数d叫作a与b的最大公因数 定理1 4 2任意个整数都有最大公因数 如果d是的一个最大公因数 那么 d也是一个最大公因数 的两个最大公因数至多只相差一个符号 现证 任意n个整数有最大公因数 如果果 那么0显然就是的最大公因数 I显然不是空集 因为对于每一个i 证由最大公因数的定义和整除的基本性质 最后一个论断是明显的 设不全为零 考虑Z的子集 又因为不全为零 所以I含有非零整数 因此 是正整数集的一个非空子集 于是由最小数原理 有一个最小数d 下证明 d就是的一个最大公因数 首先 因为 所以d 0并且d有形式 又由带余除法 有 如果某一 如 那么 而 这与d是中的最小数的事实矛盾 这样 必须所有 即 另一方面 如果 那么 这就证明了d是的一个最大公因数 定理1 4 3设d是的一个最大公因数 那么存在整数 使得 三 互素的定义及其性质 设a b是两个整数 如果 a b 1 那么就说a与b互素 一般地 是n个整数 如果 那么就说这n个整数互素 1 定理1 4 4n个整数互素的充分且必要条件是存在整数 使得 证如果互素 那么由定理1 4 2立即得到等式 1 成立 反过来 设等式 1 成立 令那么c能整除 1 式中的左端 所以c 1 因此c 1 即 四 素数的定义及其简单性质 定义一个正整数p 1叫作一个素数 如果除 1和 p外 没有其它因数 四 素数的定义及其简单性质 定理1 4 5一个素数如果整除两个整数a与b的乘积 那么它至少整除a与b中的一个 证设p是一个素数 如果p ab 但 由上面所指出的素数的性质 必定有 p a 1 于是由定理1 4 4 存在整数s和t使得sp ta 1两边同乘以b spb tab b 左边的第一项自然能被p整除 又因为p ab 所以左边第二项也能被p整除 于是p整除左边两项的和 从而p b 作业 P231 2 4 5 谢谢 1 5数环和数域 定义1 设S是复数集C的一个非空子集 如果对于S中任意两个数a b来说 a b a b ab都在S内 那么就称S是一个数环 例1取定一个整数a 令那么S是一个数环 如取a 2 那么S就是全体偶数所组成的数环 一 数环和数域的定义 证明 S显然不是空集 设 那么 所以S是一个数环 定义2设F是一个数环 如果 F含有一个不等于零的数 如果 那么就称F是一个数域 例2令 证明S是数环 证明 S显然不是空集 设 那么 所以S是一个数环 例3令 则F是一个数域 这就证明了F是一个数域 证明 易知F是一个数环 并且 所以 成立 现设 那么 否则当d 0时 c 0 这与矛盾 当的时 矛盾 因此 二 数环与数域的性质 1 任何数环都含有数零 2 任何数域都含有数零和数1 3 两个数环的交还是数环 4 两个数域的交还是数域 4 定理1 5 1任何数域都包含有理数域Q 证设F是一个数域 那么由条件 F含有一个不等于0的数a 再由条件 用1和它自己重复相加