波动率的估计(ARCH模型)

金融时间序列模型 第五章 波动率的估计 金融时间序列模型 ARCH模型概念 波动率模型 金融衍生市场 计算期权等衍生工具的价格需要了解股票的波动率金融风险管理 度量金融风险的大小 计算VaR 异方差性 heteroscedasticity 经典线性回归模型的一个重要假定是 总体回归函数中的随机误差项满足同方差性 即它们都有相同的方差 如果这一假定不满足 则称线性回归模型存在异方差性 异方差性例子 在实际经济问题中 随机扰动项Ui往往是异方差的 例如 1 调查不同规模公司的利润 发现大公司的利润波动幅度比小公司的利润波动幅度大 2 分析家庭支出时发现高收入家庭支出变化比低收入家庭支出变化大 在分析家庭支出模型时 我们会发现高收入家庭通常比低收入家庭对某些商品支出有更大的方差 异方差性破坏了古典模型的基本假定 如果我们直接应用最小二乘法估计回归模型 将得不到准确 有效的结果 异方差性 异方差性另一例子 波动率据聚类性 资本市场的波动性通常用收益率的标准差来度量 也称为波动率 大量研究表明股票收益率表现为在某个时间段波动大 而在另一个时间段收益率波动又比较小的现象 这种现象被称为波动率聚类性 对金融资产的收益率作折线图 P14图1 3 3 波动率的重要性 股票 期权 定价P193 公式 5 1 货币政策制定证券管理风险分析 估计波动率的几种方法 历史波动率HistoricalVolatility滑动平均movingaverage指数加权滑动平均ExponentiallyWeightedMovingAverages隐含波动率ImpliedVolatility实现的波动率realizedvolatility自回归条件异方差类模型 数据 以上证日收益率为例r1 r2 r3 rT实际波动率计算公式波动率年度化 2501 2 100 历史波动率的估计 历史波动率 滑动平均波动率 滑动平均 滑动平均波动率 30 60 120 240天滑动平均 滑动平均波动率 30天与240天 滑动平均波动率 关于n的选择 n越大 曲线越平滑 n越小曲线越不平滑 如果市场没有什么异常变换 n的选择对波动率预测影响不大 n大时如果在某个时刻收益率出现异常 那么计算的波动率就会在今后一段时间都大 持续的时间长度是n的大小 指数滑动平均 EWMA 计算公式等价于如下形式 指数滑动平均 可以选择的范围是0 25 0 02之间 如果使用EWMA模型进行短期预测选择较大的 否则选择较小的 指数滑动平均计算结果 波动率的特性 P194 1 6 实现的波动率 使用日内数据计算样本方差做为一天内波动率的估计 假设一天内收集到价格计算日内收益率实际波动率估计公式 用计算出的实际波动率来建立AR模型对未来波动率进行预测 自回归条件异方差 几个主要的自回归条件异方差模型Engle 1982 ARCHBollerslev 1986 GARCHNelson 1991 EGARCHGJR模型ARCH M ARCH 自回归条件异方差 模型的基本思想ARCH模型的基本思想是指在以前信息集下 某一时刻一个噪声的发生是服从正态分布 该正态分布的均值为零 方差是一个随时间变化的量 即为条件异方差 并且这个随时间变化的方差是过去有限项噪声值平方的线性组合 即为自回归 这样就构成了自回归条件异方差模型 ARCH q Vt是独立白噪声过程 0 0 j 0 j 1 q 1 2 q 1 ARCH过程的特点 t 是ARCH 1 过程 ARCH 1 过程的无条件均值 条件均值 无条件方差和条件方差 ARCH 1 过程的无条件均值无条件方差 ARCH 1 过程的条件均值条件方差 ARCH过程的性质 该过程表明 如果 t 1异常的偏离他的条件期望0 那么 t的条件方差要比通常情况下大 所以有理由预期 t会比较大 这样使得ht 1比较大 反之 如果 t 1异常的小 那么条件方差要比通常情况下小 所以有理由预期 t会比较小 这样使得ht 1比较小 虽然方差大或小会持续一端时间 但是不会一直持续下去 会回到无条件方差上去 数学表达 Yt Xt t 1 其中 Yt为被解释变量 Xt为解释变量 t为误差项 的特点令即 重新表述ARCH 1 模型 能够证明是白噪声过程 即 因此服从AR 1 过程 如果误差项的平方服从AR q 过程 t独立同分布 并满足E t 0 D t 常数 则称上述模型是自回归条件异方差模型 ARCH 1 过程的四阶矩特点 P197 5 13 AR 1 ARCH过程 正态分布 与 相互独立 特点 P199 ARCH模型的性质总结 P201 ARCH过程缺点总结 不能反应波动率的非对称特点约束强 要求系数非负 如果要求高阶矩存在 还有更多的约束不能解释为什么存在异方差 只是描述了条件异方差的行为 金融时间序列模型 建立ARCH模型 建立ARCH模型 1 建立收益率序列的计量模型 去掉任何线性关系 使用估计的残差检验ARCH效果2 估计模型3 检验ARCH模型 根据情况修改模型 建立模型 1 建立一个计量模型ARCH过程最常见的应用是首先对收益率建立一个AR模型 该方程被称为均值方程 建立模型 ARCH过程的平方是AR过程 建立模型 检验残差是否存在条件异方差观察残差平方的偏自相关函数 如果q步截尾 则阶数为q对残差平方使用Q检验 判断是否存在自相关使用LM检验法 LM检验 零假设H0 i 0 i 1 2 q 即不存在条件异方差性检验统计量 LM TR2 T是样本点个数 LM服从 2 q 分布 建立模型 如果残差存在ARCH效果 对残差建立ARCH模型 ARCH模型被称为方差方差 整体模型可以称为AR ARCH模型使用极大似然估计法估计AR ARCH模型 建立模型 检验模