2020版高中数学人教A版必修4 导学案 《二倍角的正弦余弦正切公式》 （含答案解析）.doc

3.1.3二倍角的正弦、余弦、正切公式学习目标1.会从两角和的正弦、余弦、正切公式推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式.2.能熟练运用二倍角的公式进行简单的恒等变换并能灵活地将公式变形运用.知识点一二倍角公式的推导思考1二倍角的正弦、余弦、正切公式就是用的三角函数表示2的三角函数的公式.根据前面学过的两角和与差的正弦、余弦、正切公式，你能推导出二倍角的正弦、余弦、正切公式吗？答案为：sin 2=sin()=sin cos cos sin =2sin cos ；cos 2=cos()=cos cos - sin sin =cos2- sin2；tan 2=tan()=.思考2根据同角三角函数的基本关系式sin2cos2=1，你能否只用sin 或cos 表示cos 2？答案为：cos 2=cos2- sin2=cos2- (1- cos2)=2cos2- 1；或cos 2=cos2- sin2=(1- sin2)- sin2=1- 2sin2.知识点二二倍角公式的变形1.公式的逆用2sin cos =sin 2， sin cos =sin 2，cos2- sin2=cos 2， =tan 2.2.二倍角公式的重要变形升幂公式和降幂公式升幂公式1cos 2=2cos2，1- cos 2=2sin2，1cos =2cos2，1- cos =2sin2 .降幂公式cos2=，sin2=.类型一给角求值例1.求下列各式的值：(1)cos 72cos 36；(2)- cos215；(3)；(4) - .反思与感悟对于给角求值问题，一般有两类：(1)直接正用、逆用二倍角公式，结合诱导公式和同角三角函数的基本关系对已知式子进行转化，一般可以化为特殊角.(2)若形式为几个非特殊角的三角函数式相乘，则一般逆用二倍角的正弦公式，在求解过程中，需利用互余关系配凑出应用二倍角公式的条件，使得问题出现可以连用二倍角的正弦公式的形式.跟踪训练1求下列各式的值：(1)cos cos cos ； (2).类型二给值求值例2.(1)若sin - cos =，则sin 2= .(2)若tan =，则cos22sin 2等于()A. B. C.1 D.引申探究在本例(1)中，若改为sin cos =，求sin 2.反思与感悟(1)条件求值问题常有两种解题途径：对题设条件变形，把条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论.(2)一个重要结论：(sin cos )2=1sin 2.跟踪训练2已知tan =2.(1)求tan的值； (2)求的值.类型三利用倍角公式化简例3.化简.反思与感悟(1)对于三角函数式的化简有下面的要求：能求出值的应求出值；使三角函数种数尽量少；使三角函数式中的项数尽量少；尽量使分母不含有三角函数；尽量使被开方数不含三角函数.(2)化简的方法：弦切互化，异名化同名，异角化同角.降幂或升幂.一个重要结论：(sin cos )2=1sin 2.跟踪训练3（1），则= ；(2)为第三象限角，则- = .1.sin cos 的值等于()A. B. C. D.2.sin4- cos4等于()A.- B.- C. D.3.计算= .4.设sin 2=- sin ，则tan 2的值是 .5.已知sin=，0x，求的值.1.对于“二倍角”应该有广义上的理解，如：8是4的二倍；6是3的二倍；4是2的二倍；3是的二倍；是的二倍；是的二倍；=(nN*).2.二倍角余弦公式的运用在二倍角公式中，二倍角的余弦公式最为灵活多样，应用广泛.二倍角的常用形式：1cos 2=2cos2；cos2=；1- cos 2=2sin2；sin2=.课时作业一、选择题1.已知是第三象限角，cos =- ，则sin 2等于()A.- B. C.- D.2.若tan =- ，则cos 2等于()A.- B.- C. D.3.已知x(- ，0)，cos x=，则tan 2x等于()A. B.- C. D.- 4.已知sin 2=，则cos2等于()A. B. C. D.5.如果|cos |=，3，则sin 的值是()A.- B. C.- D.6.已知为第二象限角，sin cos =，则cos 2等于()A.- B.- C. D.7.若cos=，则sin 2等于()A. B. C.- D.- 二、填空题8.计算2sin222.5- 1= .9.计算sin 6sin 42sin 66sin 78= .10.设是第二象限角，P(x，4)为其终边上的一点，且cos =x，则tan 2= .11.已知tan x=2，则tan 2(x- )= .12.若tan =，则sin2cos cos2= .三、解答题13.已知角在第一象限且cos =，求的值.四、探究与拓展14.等腰三角形一个底角的余弦值为，那么这个三角形顶角的正弦值为 .15.已知，化简：.答案解析例1.解：(1)cos 36cos 72=.(2)- cos215=- (2cos215- 1)=- cos 30=- .(3)=2=2=- 2.(4)- =4.跟踪训练1解：(1)原式=.(2)原式=4.例2.答案为：；解析：(sin - cos )2=sin2cos2- 2sin cos =1- sin 2=2sin 2=1- 2=.(2)答案为：A；解析：cos22sin 2=.把tan =代入，得cos22sin 2=.故选A.引申探究解：由题意，得(sin cos )2=，12sin cos =，即1sin 2=，sin 2=- .跟踪训练2解：(1)tan=- 3.(2)=1.例3.解：方法一：原式=1.方法二原式=1.跟踪训练3答案为：0；解析： (2)为第三象限角，cos 0，sin 0，- =- =- =0.1.答案为：B；解析：原式=sin =.2.答案为：B；解析:原式=- =- cos =- .3.答案为：1- ;解析：=tan 15=1- .4.答案为：解析:sin 2=- sin ，sin (2cos 1)=0，又，sin 0，2cos 1=0即cos =- ，sin =，tan =- ，tan 2=.5.解:原式=2sin.sin=cos=，且0x，x，sin= =，原式=2=.课时作业1.答案为：D;解析:由是第三象限角，且cos =- ，得sin =- ，所以sin 2=2sin cos =2=，故选D.2.答案为：D；解析：tan =- ，则cos 2=cos2- sin2=.3.答案为：D；解析：由cos x=，x(- ，0)，得sin x=- ，所以tan x=- ，所以tan 2x=- ，故选D.4.答案为：A；解析因为cos2=，所以cos2=，故选A.5.答案为：C；解析：3，|cos |=，cos 0，cos =- .又，sin 0.sin2=，sin =- .6.答案为：A；解析：由题意得(sin cos )2=，1sin 2=，sin 2=- .为第二象限角，cos - sin 0，cos 0，且|cos |sin |，cos 2=cos2- sin20，cos 2=- =- =- =- ，故选A.7.答案为：D；解析：因为sin 2=cos=2cos2- 1，又因为cos=，所以sin 2=2- 1=- ，故选D.8.答案为：- ；解析：原式=- cos 45=- .9.答案为：；解析原式=sin 6cos 48cos 24cos 12=.10.答案为：；解析：cos =，x2=9，x=3.又是第二象限角，x=- 3，cos =- ，sin =，tan =- ，tan 2=.11.答案为：；12.答案为：0；解析：由tan =，得tan =或tan =3.又，tan =3.sin =，cos = .sin2cos cos2=sin 2cos cos 2sin 2cos cos2=2sin cos (2cos2- 1)cos2=sin cos 2cos2- =22- =- =0.13.解：cos =且在第一象限，sin =.cos