定积分的概念及性质PPT课件

第五章 积分学 不定积分 定积分 定积分 第一节 一 定积分问题举例 二 定积分的定义 三 定积分的性质 定积分的概念及性质 第五章 教学目的与要求 理解定积分的概念了解定积分的几何意义重点 定积分的概念 一 定积分问题举例 1 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 求其面积A 矩形面积 梯形面积 用矩形面积近似取代曲边梯形面积 显然 小矩形越多 矩形总面积越接近曲边梯形面积 四个小矩形 九个小矩形 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 播放 曲边梯形如图所示 曲边梯形面积的近似值为 曲边梯形面积为 解决步骤小结 1 分割 大化小 在区间 a b 中任意插入n 1个分点 用直线 将曲边梯形分成n个小曲边梯形 2 以直代曲 常代变 在第i个窄曲边梯形上任取 作以 为底 为高的小矩形 并以此小 梯形面积近似代替相应 窄曲边梯形面积 得 3 求和 近似和 4 取极限 令 则曲边梯形面积 元素法 1分割 化整为零 2以直代曲 以常代变 3求和 积零为整 y f x 分法越细 越接近精确值 曲边梯形的面积 f i 元素法 4取极限 y f x 令分法无限变细 分法越细 越接近精确值 1分割 化整为零 2以直代曲 以常代变 3求和 积零为整 曲边梯形的面积 f i 元素法 4取极限 y f x 令分法无限变细 分法越细 越接近精确值 1分割 化整为零 2以直代曲 以常代变 3求和 积零为整 曲边梯形的面积 f i S S 2 变速直线运动的路程 设某物体作直线运动 且 求在运动时间内物体所经过的路程s 已知速度 思路 把整段时间分割成若干小段 每小段上速度看作不变 求出各小段的路程再相加 便得到路程的近似值 最后通过对时间的无限细分过程求得路程的精确值 解决步骤 1 分割 大化小 将它分成 在每个小段上物体经 2 以直代曲 常代变 得 n个小段 过的路程为 3 求和 近似和 4 取极限 上述两个问题的共性 解决问题的方法步骤相同 分割 大化小 以直代曲 常代变 求和 近似和 取极限 所求量极限结构式相同 特殊乘积和式的极限 二 定积分的定义 1 定义 记为 积分上限 积分下限 积分和 注意 定理1 定理2 2 可积的充分条件 曲边梯形的面积 曲边梯形的面积的负值 3 定积分的几何意义 各部分面积的代数和 几何意义 例1利用定义计算定积分 解 注 利用 得 两端分别相加 得 即 例2利用定义计算定积分 解 例3 用定积分表示下列极限 解 说明 根据定积 分定义可得如下近似计算方法 将 a b 分成n等份 左矩形公式 右矩形公式 梯形公式 为了提高精度 还可建立更好的求积公式 例如辛普森 公式 复化求积公式等 并有现成的数学软件可供调用 证明 利用对数的性质得 极限运算与对数运算换序得 故 对定积分的补充规定 说明 在下面的性质中 假定定积分都存在 且不考虑积分上下限的大小 1 基本内容 三 定积分的性质 证 此性质可以推广到有限多个函数作和的情况 性质1 证 性质2 补充 不论的相对位置如何 上式总成立 例若 性质3 定积分对于积分区间具有可加性 则 证 性质4 性质5 解 令 于是 性质5的推论 证 1 证 说明 可积性是显然的 性质5的推论 2 证 此性质可用于估计积分值的大致范围 性质6 解 解 例4 试证 证 设 即 故 即 证 由闭区间上连续函数的介值定理知 性质7 定积分中值定理 积分中值公式 使 即 积分中值公式的几何解释 说明 可把 故它是有限个数的平均值概念的推广 积分中值定理对 因 例5 计算从0秒到T秒这段时间内自由落体的平均 速度 解 已知自由落体速度为 故所求平均速度 解 由积分中值定理知有 使 五 小结 定积分的实质 特殊和式的极限 定积分的思想和方法 求近似以直 不变 代曲 变 取极限 3 定积分的性质 注意估值性质 积分中值定理的应用 4 典型问题 估计积分值 不计算定积分比较积分大小 思考题1 将和式极限 表示成定积分 思考题1解答 原式 思考题2 思考题2解答 例 3 P233题3 4 P233题8 2 4 题8 4 解 设 则 即 练习题1 练习题1答案 练习题2 练习题2答案 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积的关系 观察下列演示过程 注意当分割加细时 矩形面积和与曲边梯形面积