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文档简介

1 6 5广义积分初步 称这类有限区间上有界函数的定积分为正常积分或常义积分 实际中还经常会遇到无限区间或无界函数的积分问题 这两类积分统称为广义积分 其中前者称为无穷限积分 后者称为瑕积分 常义积分讨论是否可积 广义积分讨论是否收敛 对于广义积分的计算是以极限为工具来解决的 即先将广义积分转化为定积分 再对该定积分求极限 2 一 无穷限积分 无穷区间上广义积分 3 定义 设函数f x 在区间 a 上连续 对任意实数b 其中b a 称 为函数f x 在区间 a 上的广义积分 1 若 1 中极限存在 则称广义积分 若 1 中极限不存在 则称广义积分 即 收敛 发散 类似地 结果为一值 结果不为数值 仅是一个记号 无穷限积分 记作 4 注1 结果与c的选取无关 注2 判断广义积分的敛散性时要用定义进行判定 5 例 判断广义积分的敛散性 解 例 判断广义积分的敛散性 解 不存在 所以该广义积分发散 6 解 例 判断广义积分的敛散性 PP243 7 解 例 判断广义积分的敛散性 8 例 判断广义积分的敛散性 证 时 时 9 例 计算广义积分 解 注 广义积分也可以使用前面的换元法和分部积分法 10 二 瑕积分 无界函数的广义积分 11 定义 设f x 在区间 a b 上连续 x a为f x 的瑕点 若 类似地 12 例 讨论广义积分的敛散性 解 13 例 讨论广义积分的敛散性 解 14 例 讨论广义积分 的敛散性 解 发散 收敛 默认p 0 p 0 15 例 讨论广义积分的敛散性 解 错误做法 发散 因为 16 17 解因为x a为瑕点 例 讨论瑕积分 的敛散性 例 讨论瑕积分 的敛散性 默认p 0 18 解 19 解 20 三 函数 一个重要的广义积分 1 函数的定义 含参变量t的广义积分 称为 函数 注1 t 是一个广义积分 注2 t 是收敛的 注3 t 中三个x要保持一致 t 1 t t 特别 n 1 n 2 函数的重要性质 21 t 1 t t 证明 22 函数表 1 2 区间上的 函数值可通过 函数表查表得到 而对于t 0的其它 函数值均可由下面递推公式转化到 1 2 区间内 23 3 其他形式的 函数 24 例计算下列各式的值 例计算下列积分 25 26 小结 无穷限的广义积分 无界函数的广义积分 瑕积分 注意 不
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