第二章 三类典型的偏微分方程ppt课件

三类典型的偏微分方程 一根紧拉着的均匀柔软弦 长为l 两端固定在X轴上O L两点 当它在平衡位置附近做垂直于OL方向的微小横向振动时 求这根弦上各点的运动规律 2 1波动方程 一维波动方程 最典型的一维波动问题是均匀弦的横向振动问题 讨论如何将这一物理问题转化为数学上的定解问题 要确定弦的运动方程 需要明确 确定弦的运动方程 2 被研究的物理量遵循哪些物理定理 牛顿第二定律 3 按物理定理写出数学物理方程 即建立泛定方程 要研究的物理量是什么 弦沿垂直方向的位移 条件 均匀柔软的细弦 在平衡位置附近产生振幅极小的横振动 不受外力影响 简化假设 由于弦是柔软的 弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向 在弦上任取一小段它的弧长为 由于假定弦在平衡位置附近做微小振动 很小 从而 可以认为这段弦在振动中没有伸长 由胡克定律可知 弦上每一点所受张力在运动过程中保持不变 与时间无关 即点处的张力记为 由于振幅极小 张力与水平方向的夹角很小 横向 其中 作用在这段弦上的力有张力和惯性力 下面根据牛顿运动定律 写出它们的表达式和平衡条件 也就是说 张力是一个常数 横向 由中值定理 纵向 一维波动方程 令 非齐次方程 自由项 齐次方程 忽略重力作用 a就是弦的振动传播速度 假设外力在处外力密度为 方向垂直于轴 等号两边用中值定理 并令 为单位质量在点处所受外力 当存在外力作用时 等号两边除以 弦振动方程中只含有两个自变量 由于它描写的是弦的振动 因而它又称为一维波动方程 类似可以导出二维波动方程 如膜振动 和三维波动方程 它们的形式分别为 二维波动方程 三维波动方程 建立数学物理方程是一个辩证分析的过程 由于客观事物的复杂性 要求对所研究的对象能够抓住事物发展的主要因素 摈弃次要因素 使问题得到适度的简化 总结 均匀杆的纵振动 考虑一均匀细杆 沿杆长方向作微小振动 假设在垂直杆长方向的任一截面上各点的振动情况 即偏移平衡位置位移 完全相同 试写出杆的振动方程 在任一时刻t 此截面相对于平衡位置的位移为u x t 在杆中隔离出一小段 x x dx 分析受力 通过截面x 受到弹性力P x t S的作用通过截面x dx受到弹性力P x dx t S的作用P x t 为单位面积所受的弹性力 应力 沿x方向为正 根据Newton第二定律 就得到 根据胡克定律 静止空气中一维微小压力波的传播 设 为空气的密度 u为压力诱导的速度 由一维欧拉方程 动力学方程 连续性方程 物态方程 考虑到微小压力波 u是一阶小量 是二阶小量 代入 得 对t求导 得 利用 得 一维声波方程 静止空气中三维声波方程 微幅水波动方程 式中 水面波高为 为声波速度 水波速度为 2 2扩散方程 问题 一根长为l的均匀导热细杆 截面为一个单位面积 侧面绝热 内部无热源 其热传导系数为k 比热为c 线密度为 求杆内温度变化的规律 一维热传导方程的推导 热传导现象 当导热介质中各点的温度分布不均匀时 有热量从高温处流向低温处 所要研究的物理量 分析 设杆长方向为x轴 考虑杆上从 到 的一段 代表 设杆中温度分布为 满足的物理规律 各向同性 物体的比热和热传导系数均为常数 假设条件 利用Fourier热力学定律和能量守恒定律来建立热传导方程 由Fourier热力学定律 单位时间内通过A端面的热量为 单位时间内通过B端面的热量为 在dt时段内通过微元的两端流入的热量 在任意时段 内 同时在此时段内 微元内各点的温度由 流入微元的热量 升高为 为此所需的热量为 由能量守恒定律可得 由 和 的任意性可得 即 其中 内部有热源的情况 其中 分析 设热源强度 单位时间在单位长度中产生的热量 为F x t 代表段的吸热为Fdxdt 根据热学中的傅立叶定律 在dt时间内从dS流入V的热量为 从时刻t1到t2通过S流入V的热量为 高斯公式 矢量散度的体积分等于该矢量的沿着该体积的面积分 三维热传导方程的推导 流入的热量导致V内的温度发生变化 流入的热量 温度发生变化需要的热量为 三维热传导方程 有热源三维热传导方程 一维浓度扩散方程 动量输运方程 C为物质浓度 为扩散系数 u为速度 fx为流体体积力 为流体粘性系数 显然 热传导 物质扩散 动量输运这些过程属于同一类物理现象 可用同一类型方程来描述 2 3稳态方程 调和方程 稳态问题也是自然界中普遍存在的一类物理现象 表征物理过程达到平衡状态的情况 因此物理量不随时间变化 但随空间发生变化 因此 稳态问题描述物理量的空间分布状态或场的空间分布 热传导问题 控制方程为 设场内热源为稳态的 即为f x y z 流场温度不随时间变化 即T T x y z 则有 这就是稳态方程 称为泊松方程 如果场内无热源 g x y z t 0 则有 这个方程又称为拉普拉斯方程 其中 又如在理想势流场中 存在速度势 x y z 速度与 x y z 的关系为 带入连续方程中