专题26与三角函数有关的应用题版.doc

专题26 与三角函数有关的应用题题型一、与正余弦定理有关的应用题运用正余弦定理有关的应用题的解题关键就是在图形中选择条件尽量多的三角形,也要注意合理的设角,设角的原则就是更容易表示其它的角,然后运用正余弦定理解决.例1、(2017南通学情调研)如图2,某住宅小区的平面图呈圆心角为120的扇形AOB,C是该小区的一个出入口,且小区里有一条平行于AO的小路CD.已知某人从O沿OD走到D用了2分钟,从D沿着DC走到C用了3分钟.若此人步行的速度为每分钟50米,则该扇形的半径为_米.【答案】【解析】依题意得OD=100米,CD=150米,连接OC,易知ODC=180AOB=60,因此由余弦定理有OC2=OD2+CD22ODCDcosODC,即OC2=10000+225002100150OC2=17 500,OC=50 (米).例2、(2019南京、盐城二模)某公园内有一块以O为圆心、半径为20米的圆形区域为丰富市民的业余文化生活,现提出如下设计方案：如图,在圆形区域内搭建露天舞台,舞台为扇形OAB区域,其中两个端点A,B分别在圆周上；观众席为梯形ABQP内且在圆O外的区域,其中APABBQ,PABQBA120,且AB,PQ在点O的同侧,为保证视听效果,要求观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米设OAB,.问：对于任意,上述设计方案是否均能符合要求？ 规范解答 过O作OH垂直于AB,垂足为H.在RtOHA中,OA20,OAH,所以AH20cos,因此AB2AH40cos.(4分)由图可知,点P处观众离点O处最远(5分)在OAP中,由余弦定理可知OP2OA2AP22OAAPcos(7分)400(40cos)222040cos(cossin)400(6cos22sincos1)400(3cos2sin24)800sin1600.(10分)因为,所以当2时,即时,(OP2)max8001600,即(OP)max2020.(12分)因为202060,所以观众席内每一个观众到舞台O处的距离都不超过60米,(13分)答：对于任意,上述设计方案均能符合要求(14分)例3、(2019泰州期末)如图,三个小区分别位于扇形OAB的三个顶点上,点Q是弧的中点现欲在线段OQ上找一处开挖工作坑P(不与点O,Q重合),为小区铺设三条地下电缆管线PO,PA,PB.已知OA2千米,AOB.记APQrad,地下电缆管线的总长度为y千米(1) 将y表示为的函数,并写出的范围；(2) 请确定工作坑P的位置,使地下电缆管线的总长度最小 (1) 在OAP中,运用正弦定理用表示出PA和OP,从而得到y关于的函数,再根据AOQAPQOQA确定的范围,也就是函数的定义域(2) 运用导数法,求得函数最小值规范解答 (1) 因为点Q是弧AB的中点,所以AOP,PAPB,因为APQ,所以APO,PAO,在OPA中,由正弦定理,得,即,所以PA,OP,(4分)所以yPOPAPB,.(7分)(2) 因为y,所以y,令y0,得,(10分)当时,y0,所以当时,y有极小值,且是最小值,此时OP.(13分)答：(1) y,.(2) 当OP为千米时,地下电缆管线的总长度最小(14分)题型二、几何体中三角问题有关的应用题几何体中三角问题有关的应用题往往与几何体的面积、体积等有关,关键就是构造恰当的直角三角形,然后设角,表示其它的量.运三角函数表示函数的解析式.例4、(2019苏州三市、苏北四市二调)一栋新农村别墅,它由上部屋顶和下部主体两部分组成如图,屋顶由四坡屋面构成,其中前后两坡屋面ABFE和CDEF是全等的等腰梯形,左右两坡屋面EAD和FBC是全等的三角形点F在平面ABCD和BC上的射影分别为H,M.已知HM5 m,BC10 m,梯形ABFE的面积是FBC面积的2.2倍设FMH.(1) 求屋顶面积S关于的函数关系式；(2) 已知上部屋顶造价与屋顶面积成正比,比例系数为k(k为正的常数),下部主体造价与其高度成正比,比例系数为16k.现欲造一栋上、下总高度为6 m的别墅,试问：当为何值时,总造价最低？,) (1)先通过线面垂直得到FHHM,放在RtFHM中,求出FM,根据三角形的面积公式求出FBC的面积,根据已知条件就可以得到所求S关于的函数关系式(2)先求出主体高度,进而建立出别墅总造价y关于的函数关系式,再通过导数法求函数的最小值(1)规范解答 由题意FH平面ABCD,FMBC,又因为HM平面ABCD,得FHHM.(2分)在RtFHM中,HM5,FMH,所以FM.(4分)因此FBC的面积为10.从而屋顶面积S2SFBC2S梯形ABFE222.2.所以S关于的函数关系式为S.(6分)(2)在RtFHM中,FH5tan,所以主体高度为h65tan.(8分)所以别墅总造价为ySkh16kkk96k80k96k.(10分)记f(),0,所以f(),令f()0,得sin,又00,f()单调递增；2当时,f()0,f()单调递减所以当0时,f()取得最大值(13分)答：当cos时,可使市民活动广场和停车场的面积总和最大(14分)例6、(2019通州、海门、启东期末)如图,某公园内有一块矩形绿地区域ABCD,已知AB100米,BC80米,以AD,BC为直径的两个半圆内种花草,其它区域种植苗木现决定在绿地区域内修建由直路BN,MN和弧形路MD三部分组成的观赏道路,其中直路MN与绿地区域边界AB平行,直路为水泥路面,其工程造价为每米2a元,弧形路为鹅卵石路面,其工程造价为每米3a元,修建的总造价为W元,设NBC.(1) 求W关于的函数关系式；(2) 如何修建道路,可使修建的总造价最少？并求最少总造价 第1问,注意到成本与线路的长度有关,因此,本题的本质就是将线段BN,MN以及弧DM表示为的函数,BN可以在直角三角形内求得,MN可以用AB减去2倍的点N到BC的距离,难点在于求弧DM的长,注意到图形的对称性,可知弧DM所对的圆心角为2,从而根据弧长公式求得第2问,注意到所求的函数中即有三角函数形式,又有的一次形式,因此,应用导数求它的最值(1)连NC,AM,设AD的中点为O,连结MQ,过N作ENBC,垂足为E.由BC为直径知,BNC90,又BC80米,NBC,所以BN80 cos米,NEBN sin80 sincos,因为MNAB,AB100米,所以MNAB2NE100160sincos米,由于DOM2MAD2,OM40米所以4020800米,(4分)因为直路的工程造价为每米2a元,弧形路的工程造价为每米3a元,所以总造价为W2a(BNMN)3a2a(80cos100160sincos)3a8040a(4cos8sincos65)40a(4cos4sin265).(8分)所以W关于的函数关系式为W40a(4cos8sincos65).(2)设f()4cos8sincos65,0.则f()4sin8cos28sin2616sin24sin22(4sin1)(2sin1)(10分)令f()0,得,列表如下：f()0f()极小值f所以,当时,f()取得最小值(14分)此时,总造价W最少,最少总造价为(20040)a元答：(1)W关于的函数关系式为W40a(4cos8sincos605)；(2) 当时,修建的总造价最少,最少总造价为(20040)a元(16分)例7、(2017年盐城模拟) 在一水域上建一个演艺广场演艺广场由看台,看台,三角形水域ABC,及矩形表演台BCDE四个部分构成(如图)看台,看台是分别以AB,AC为直径的两个半圆形区域,且看台的面积是看台的面积的3倍；矩形表演台BCDE中,CD10米；三角形水域ABC的面积为400平方米设BAC(1)求BC的长(用含的式子表示)；(2)若表演台每平方米的造价为0.3万元,求表演台的最低造价解析：(1)因为看台的面积是看台的面积的3倍,所以ABAC在ABC中,SABCABACsin400,所以AC2 3分由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos,4AC22AC2 cos(42cos) ,即BC 40 所以 BC40 ,(0,) 7分(2)设表演台的总造价为W万元因为CD10m,表演台每平方米的造价为0.3万元,所以W3BC120 ,(0,) 9分记f(),(0,)则f () 11分由f ()0,解得当(0,)时,f ()0；当(,)时,f ()0故f()在(0,)上单调递减,在(,)上单调递增,从而当 时,f()取得最小值,最小值为f()1 所以Wmin120(万元) 答：表演台的最低造价为120万元 14分2、 达标训练1、(2019镇江期末)某房地产商建有三栋楼宇A,B,C,三楼宇间的距离都为2千米,拟准备在此三楼宇围成的区域ABC外建第四栋楼宇D,规划要求楼宇D对楼宇B,C的视角为120,如图所示,假设楼宇大小高度忽略不计(1) 求四栋楼宇围成的四边形区域ABDC面积的最大值；(2) 当楼宇D与楼宇B,C间距离相等时,拟在楼宇A,B间建休息亭E,在休息亭E和楼宇A,D间分别铺设鹅卵石路EA和防腐木路ED,如图,已知铺设鹅卵石路、防腐木路的单价分别为a,2a(单位：元/千米,a为常数)记BDE,求铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用的最小值 规范解答 (1)因为三楼宇间的距离都为2千米,所以ABACBC2.(1分)因为楼宇D对楼宇B,C的视角为120,所以BDC120.(2分)在BDC中,由BC2BD2DC22BDDCcosBDC,得(3分)22BD2CD22BDCDcos120BD2CD2BDCD2BDCDBDCD3BDCD.则BDCD,(4分)当且仅当BDCD时取等号,此时DBCDCB30,BDCD.(5分)区域ABDC的面积SSABCSBCD22sin60BDCDsin120(平方千米)(7分)(或者：由上可得ABD,ACD为全等的直角三角形,区域最大面积为SSABDSACD2SABD2ABBD(平方千米)所以区域ABDC面积的最大值为.(7分)(2)设铺设此鹅卵石路和防腐木路的总费用为y元在RtBDE中,由(1)知,BDCD,BDE,(8分)则DE,BEtan,AEABBE2tan,(9分)所以y2aEDaAE2aaa2a,.(10分)记f(),令f()0,解得.(11分)当时,f()0,函数f()为增函数所以当时,f()取最小值,此时ymin4a(元)(14分)2、(2019扬州期末)为了美化环境,某公园欲将一块空地规划建成休闲草坪,休闲草坪的形状为如图所示的四边形ABCD.其中AB3百米,AD百米,且BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形拟修建两条小路AC,BD(路的宽度忽略不计),设BAD,.(1) 当cos时,求小路AC的长度；(2) 当草坪ABCD的面积最大时,求此时小路BD的长度 规范解答 (1)在ABD中,AB3,AD,cos.由余弦定理得,BD2AB2AD22ABADcos146cos14620,所以BD2.(2分)因为,所以sin.由正弦定理得,即,解得sinADB.因为BCD是以D为直角顶点的等腰直角三角形,所以CDB且CDBD2,所以cosADCcossinADB.(5分)在ACD中,由余弦定理得,AC2AD2DC22ADDCcosADC()2(2)22237,解得AC.(7分)(2)由(1)得,BD2146cos,SABCDSABDSBCD3sinBD27sin3cos7(sin2cos)7sin(),此时sin,cos,且.(10分)当时,四边形ABCD的面积最大,即,此时sin,cos,所以BD2146cos14626,即BD.(13分)答：(1)当cos时,小路AC的长度为百米；(2)草坪ABCD的面积最大时,小路BD的长度为百米(14分)3、(2019苏北三市期末)如图,某公园内有两条道路AB,AP,现计划在AP上选择一点C,新建道路BC,并把ABC所在的区域改造成绿化区域已知BAC,AB2 km.(1) 若绿化区域ABC的面积为1 km2,求道路BC的长度；(2) 若绿化区域ABC改造成本为10万元/km2,新建道路BC成本为10万元/km.设ABC,当为何值时,该计划所需总费用最小？. 规范解答 (1)因为在ABC中,已知BAC,AB2 km,所以由ABC的面积SABACsin1,解得AC2. (2分)在ABC中,由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcos2222222cos84,(4分)所以BC() km.(5分)(2)由ABC,则ACB,0.在ABC中,BAC,AB2 km,由正弦定理得,所以BC,AC.(7分)记该计划所需费用为F(),则F()21010.(10分)令f(),则f(). (11分)由f()0,得.所以当时,f()0,f()单调递增. (12分)所以时,该计划所需费用最小(14分) 1. BC或都算对；2. 定义域端点要小心验证；3. 求导要小心,单调性要说清楚；4、(2017南通一模)如图,某机械厂要将长6m