高等数学二重积分的计算ppt课件

三 二重积分的换元法 第二节 一 利用直角坐标计算二重积分 二 利用极坐标计算二重积分 机动目录上页下页返回结束 二重积分的计算法 一 利用直角坐标计算二重积分 且在D上连续时 由曲顶柱体体积的计算可知 若D为X 型区域 则 若D为Y 型区域 则 机动目录上页下页返回结束 当被积函数 均非负 在D上变号时 因此上面讨论的累次积分法仍然有效 由于 机动目录上页下页返回结束 说明 1 若积分区域既是X 型区域又是Y 型区域 为计算方便 可选择积分序 必要时还可以交换积分序 则有 2 若积分域较复杂 可将它分成若干 X 型域或Y 型域 则 机动目录上页下页返回结束 例1 计算 其中D是直线y 1 x 2 及 y x所围的闭区域 解法1 将D看作X 型区域 则 解法2 将D看作Y 型区域 则 机动目录上页下页返回结束 例2 计算 其中D是抛物线 所围成的闭区域 解 为计算简便 先对x后对y积分 及直线 则 机动目录上页下页返回结束 例3 计算 其中D是直线 所围成的闭区域 解 由被积函数可知 因此取D为X 型域 先对x积分不行 说明 有些二次积分为了积分方便 还需交换积分顺序 机动目录上页下页返回结束 例4 交换下列积分顺序 解 积分域由两部分组成 视为Y 型区域 则 机动目录上页下页返回结束 例5 计算 其中D由 所围成 解 令 如图所示 显然 机动目录上页下页返回结束 对应有 二 利用极坐标计算二重积分 在极坐标系下 用同心圆r 常数 则除包含边界点的小区域外 小区域的面积 在 内取点 及射线 常数 分划区域D为 机动目录上页下页返回结束 即 机动目录上页下页返回结束 设 则 特别 对 机动目录上页下页返回结束 若f 1则可求得D的面积 思考 下列各图中域D分别与x y轴相切于原点 试 答 问 的变化范围是什么 1 2 机动目录上页下页返回结束 例6 计算 其中 解 在极坐标系下 原式 的原函数不是初等函数 故本题无法用直角 由于 故 坐标计算 机动目录上页下页返回结束 注 利用例6可得到一个在概率论与数理统计及工程上 非常有用的反常积分公式 事实上 当D为R2时 利用例6的结果 得 故 式成立 机动目录上页下页返回结束 例7 求球体 被圆柱面 所截得的 含在柱面内的 立体的体积 解 设 由对称性可知 机动目录上页下页返回结束 定积分换元法 三 二重积分换元法 满足 一阶导数连续 雅可比行列式 3 变换 则 定理 变换 是一一对应的 机动目录上页下页返回结束 证 根据定理条件可知变换T可逆 用平行于坐标轴的 直线分割区域 任取其中一个小矩 形 其顶点为 通过变换T 在xoy面上得到一个四边 形 其对应顶点为 则 机动目录上页下页返回结束 同理得 当h k充分小时 曲边四边形M1M2M3M4近似于平行四 边形 故其面积近似为 机动目录上页下页返回结束 因此面积元素的关系为 从而得二重积分的换元公式 例如 直角坐标转化为极坐标时 机动目录上页下页返回结束 例8 计算 其中D是x轴y轴和直线 所围成的闭域 解 令 则 机动目录上页下页返回结束 例9 计算由 所围成的闭区域D的面积S 解 令 则 机动目录上页下页返回结束 例10 试计算椭球体 解 由对称性 令 则D的原象为 的体积V 机动目录上页下页返回结束 内容小结 1 二重积分化为累次积分的方法 直角坐标系情形 若积分区域为 则 若积分区域为 则 机动目录上页下页返回结束 则 2 一般换元公式 且 则 极坐标系情形 若积分区域为 在变换 下 机动目录上页下页返回结束 3 计算步骤及注意事项 画出积分域 选择坐标系 确定积分序 写出积分限 计算要简便 域边界应尽量多为坐标线 被积函数关于坐标变量易分离 积分域分块要少 累次积好算为妙 图示法 不等式 先积一条线 后扫积分域 充分利用对称性 应用换元公式 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 1 设 且 求 提示 交换积分顺序后 x y互换 机动目录上页下页返回结束 2 交换积分顺序 提示 积分域如图 机动目录上页下页返回结束 作业 P951 2 4 2 3 4 5 6 2 4 11 2 4 13 3 4 14 2 3 15 1 4 19 1 20 2 第三节目录上页下页返回结束 解 原式 备用题 1 给定 改变积分