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第一章 二 极限的四则运算法则 三 复合函数的极限运算法则 一 无穷小运算法则 第五节 机动目录上页下页返回结束 极限运算法则 一 无穷小运算法则 定理1 有限个无穷小的和还是无穷小 证明思路 先考虑两个无穷小的和 类似可证 有限个无穷小之和仍为无穷小 机动目录上页下页返回结束 说明 无限个无穷小之和不一定是无穷小 例如 定理2 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 推论1 常数与无穷小的乘积是无穷小 推论2 有限个无穷小的乘积是无穷小 机动目录上页下页返回结束 二 极限的四则运算法则 则有 定理3 若 机动目录上页下页返回结束 定理4 若 则有 说明 定理3和4均可推广到有限个函数的情形 推论1 C为常数 推论2 n为正整数 例 设n次多项式 试证 证 机动目录上页下页返回结束 定理5 若 且B 0 则有 说明 指数为自然数的幂函数与多项式函数的连续性 定理6 若 则有 提示 因为数列是一种特殊的函数 故此定理可由 定理3 4 5直接得出结论 机动目录上页下页返回结束 x 3时分母为0 例 设有分式函数 其中 都是 多项式 试证 证 说明 若 不能直接用商的运算法则 例4 若 机动目录上页下页返回结束 例 求 解 x 1时 分母 0 分子 0 但因 机动目录上页下页返回结束 例 求 解 时 分子 分子分母同除以 则 分母 抓大头 原式 机动目录上页下页返回结束 一般有如下结果 为非负常数 如P47例5 如P47例6 如P47例7 机动目录上页下页返回结束 定理7 设 且x满足 时 又 则有 说明 若定理中 则类似可得 机动目录上页下页返回结束 三 复合函数的极限运算法则 分步求极限 例 求 解 令 已知 原式 机动目录上页下页返回结束 例 求 解 机动目录上页下页返回结束 例 求 原式 解 内容小结 1 极限运算法则 1 无穷小运算法则 2 极限四则运算法则 3 复合函数极限运算法则 注意使用条件 2 求函数极限的方法 1 分式函数极限求法 时 用代入法 分母不为0 时 对 型 约去公因子 时 分子分母同除最高次幂 抓大头 2 复合函数极限求法 设中间变量 Th1 Th2 Th3 Th4 Th5 Th7 机动目录上页下页返回结束 思考及练习 1 是否存在 为什么 答 不存在 否则由 利用极限四则运算法则可知 存在 与已知条件 矛盾 解 原式 2 问 机动目录上页下页返回结束 3 试确定常数a使 解 令 则 故 机动目录上页下页返回结束 因此 作业 P481 5 7 9 12 2 3 第六节目录上
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