复合函数及抽象函数的单调性ppt课件

复合函数的单调性 复合函数的单调性 复合函数的单调性由两个函数共同决定 引理1 已知函数y f g x 若u g x 在区间 a b 上是增函数 其值域为 c d 又函数y f u 在区间 c d 上是增函数 那么 原复合函数y f g x 在区间 a b 上是增函数 证明 在区间 a b 内任取两个数x1 x2 使a x1 x2 b 因为u g x 在区间 a b 上是增函数 所以g x1 g x2 记u1 g x1 u2 g x2 即u1 u2 且u1 u2 c d 因为函数y f u 在区间 c d 上是增函数 所以f u1 f u2 即y f g x1 y f g x2 故函数y f g x 在区间 a b 上是增函数 复合函数的单调性 引理2 已知函数y f g x 若u g x 在区间 a b 上是减函数 其值域为 c d 又函数y f u 在区间 c d 上是减函数 那么 原复合函数y f g x 在区间 a b 上是增函数 证明 在区间 a b 内任取两个数x1 x2 使ag x2 记u1 g x1 u2 g x2 即u1 u2 且u1 u2 c d 因为函数y f u 在区间 c d 上是减函数 所以f u1 f u2 即y f g x1 y f g x2 故函数y f g x 在区间 a b 上是增函数 复合函数的单调性 规律 当两个函数的单调性相同时 其复合函数是增函数 当两个函数的单调性不相同时 其复合函数是减函数 同增异减 增函数 增函数 增函数 减函数 减函数 增函数 增函数 减函数 减函数 减函数 增函数 减函数 解 由1 9x2 0得 1 3 x 1 3当 1 3 x 0 x增大时 1 9x2增大 f x 减小当0 x 1 3 x增大时 1 9x2减小 f x 增大 函数的单调区间是 1 3 0 0 1 3 例2 已知f x x2 2x 8 g x f 2 x2 求g x 的单调增区间 讲解 很明显这是一个复合函数的单调性问题 所以应 分层剥离 为两个函数t x2 2 y f t t2 2t 8 1 x 1 时 函数 递增 且t 1 而t 1 时 函数 也递增 故 1 是所求的一个单调增区间 2 x 1 0 时 函数 递增 且t 1 2 而t 1 2 时 函数 递减 故 1 0 是g x 的单调减区间 3 x 0 1 时 函数 递减 且t 1 2 而t 1 2 函数 也递减 故 0 1 是g x 的单调增区间 4 x 1 时 函数 递减 且t 1 而t 1 时 函数 递增 故 1 是g x 的单调减区间 综上知 所求g x 的增区间是 和 例2 设f x 是定义在实数集R上的偶函数 且在区间 0 上是增函数 又f 2a2 a 1 f 3a2 2a 1 试求a的取值范围 问 设f x 是定义在实数集R上的奇函数 且在区间 0 上是增函数 问在区间 0 上f x 是增函数还是减函数 0 a 3 例1 设f x 是定义在实数集R上的奇函数 且在区间 0 上是增函数 又f 2a2 a 1 f 3a2 2a 1 试求a的取值范围 抽象函数 例4 例6 已知 是定义在 1 1 上的奇函数 则有 1 判断 2 解不等式 在 1 1 上的增减性 并证明你的结论 解 1 在 1 1 上增 证明 任取 则 故 在 1 1 上增 若 2 在 1 1 上增 不等式的解集为 是定义在 1 1 上的奇函数 则有 在 1 1 上的增减性 并证明你的结论 若 例6 已知 1 判断 复合函数的单调性小结 复合函数y f g x 的单调性可按下列步骤判断 1 将复合函数分解成两个简单函数 y f u 与u g x 其中y f u 又称为外层函数 u g x 称为内层函数 2 确定函数的定义域 3 分别确定分解成的两个函数的单调性 4 若两个函数在对应的区间上的单调性相同 即都是增函数 或都是减函数 则复合后的函数y f g x 为增函数 5 若两个函数在对应的区间上的单调性相异 即一个是增函数 而另一个是减函数 则