2019-2020学年师范大学第二附属中学高三模拟（三模）数学试题（解析版）

2019-2020学年上海市华东师范大学第二附属中学高三模拟（三模）数学试题一、单选题1若集合则“”是“”的( )A充要条件B必要不充分条件C充分不必要条件D既不充分也不必要条件【答案】C【解析】化简A，B，根据，列出不等式，解得，然后根据充要条件的定义判断即可【详解】，要使，解得，所以“”是“”的充分不必要条件，故选C【点睛】本题考查充要条件的判定，正确把握充要条件的判定是解题的关键，属于基础题2实数a，b满足ab0且ab，由a、b、按一定顺序构成的数列（）A.可能是等差数列，也可能是等比数列B.可能是等差数列，但不可能是等比数列C.不可能是等差数列，但可能是等比数列D.不可能是等差数列，也不可能是等比数列【答案】B【解析】由实数a，b满足ab0且ab，分a，b0和a，b0，两种情况分析根据等差数列的定义和等比数列的定义，讨论a、b、按一定顺序构成等差（比）数列时，是否有满足条件的a，b的值，最后综合讨论结果，可得答案【详解】（1）若ab0则有ab若能构成等差数列，则a+b=+，得=2，解得a=b（舍），即此时无法构成等差数列若能构成等比数列，则ab=，得，解得a=b（舍），即此时无法构成等比数列（2）若ba0，则有若能构成等差数列，则，得2=3a-b于是b3a4ab=9a2-6ab+b2得b=9a，或b=a（舍）当b=9a时这四个数为-3a，a，5a，9a，成等差数列于是b=9a0，满足题意但此时b0，a0，不可能相等，故仍无法构成等比数列故选B【点睛】本题考查的知识点是等差数列的确定和等比数列的确定，熟练掌握等差数列和等比数列的定义和性质是解答的关键3已知双曲线（，）的两条渐近线与抛物线（）的准线分别交于、两点，为坐标原点，若，的面积为，则（ ）A.1B.C.2D.3【答案】C【解析】求出双曲线的渐近线，利用三角形面积建立方程即可求解【详解】由，即渐近线为，与抛物线的准线交于，所以的面积为，解得故选：C【点睛】本题考查抛物线，双曲线的几何性质，属于基础题型4若函数f（x）满足：f（|x|）|f（x）|，则称f（x）为“对等函数”，给出以下三个命题：定义域为R的“对等函数”，其图象一定过原点；两个定义域相同的“对等函数”的乘积一定是“对等函数”；若定义域是D的函数yf（x）是“对等函数”，则y|yf（x），xDy|y0；在上述命题中，真命题的个数是（）A.0B.1C.2D.3【答案】B【解析】由对等函数的定义可判断，举反例说明错误【详解】定义域为R的“对等函数”，可令x0，即f（0）|f（0）|，解得f（0）0，或f（0）1，故错误；两个定义域相同的“对等函数”，设yf（x）和yg（x）均为“对等函数”，可得f（|x|）|f（x）|，g（|x|）|g（x）|，设F（x）f（x）g（x），即有F（|x|）f（|x|）g（|x|）|f（x）g（x）|F（x）|，则乘积一定是“对等函数，故正确”；若定义域是D的函数yf（x）是“对等函数”，可得f（|x|）|f（x）|，可取f（x）x|x|，xR，可得x0时，f（x）0；x0时，f（x）0，故错误故选：B【点睛】本题考查函数的新定义问题，理解题意是关键，是基础题二、填空题5若复数z满足1+2i，则z等于_【答案】1+i【解析】由题得iz+i1+2i，利用复数的乘除运算化简即可【详解】iz+iiz+i1+2iz1+i故答案为：1+i【点睛】本题考查行列式，复数的运算，准确计算是关键，是基础题6计算：_【答案】【解析】由二项式定理得，再求极限即可【详解】；故答案为：【点睛】本题考查极限，考查二项式定理，是基础题7某人5次上班途中所花的时间（单位：分钟）分别为x，y，10,11,9，已知这组数据的平均数为10，方差为2，则的值为 .【答案】【解析】【详解】因为这组数据的平均数为10，方差为2，所以x+y20，（x10）2+（y10）28，解得则x2+y2208，故答案为：2088关于x，y的二元一次方程的增广矩阵为若Dx5，则实数m_【答案】-2【解析】由题意，Dx5，即可求出m的值【详解】由题意，Dx5，m-2，故答案为-2【点睛】本题考查x，y的二元一次方程的增广矩阵，考查学生的计算能力，比较基础9已知实数x、y满足不等式组，则的取值范围是_【答案】【解析】画出不等式对应的平面区域，利用线性规划的知识，利用w的几何意义即可得到结论【详解】作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）的几何意义为阴影部分的动点（x，y）到定点P（1，1）连线的斜率的取值范围由图象可知当点与OB平行时，直线的斜率最大，当点位于A时，直线的斜率最小，由A（1，0），AP的斜率k又OB的斜率k1w1则的取值范围是：故答案为： 【点睛】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法10在展开式中，含x的负整数指数幂的项共有_项【答案】4【解析】先写出展开式的通项：由0r10及5为负整数，可求r的值，即可求解【详解】展开式的通项为其中r0，1，210要使x的指数为负整数有r4，6，8，10故含x的负整数指数幂的项共有4项故答案为：4【点睛】本题主要考查了二项展开式的通项的应用，解题的关键是根据通项及r的范围确定r的值11一个圆柱的轴截面是正方形，其侧面积与一个球的表面积相等，那么这个圆柱的体积与这个球的体积之比为_【答案】【解析】试题分析：设圆柱的高为2，由题意圆柱的侧面积为22=4，圆柱的体积为，则球的表面积为4，故球的半径为1；球的体积为，这个圆柱的体积与这个球的体积之比为，故填【考点】本题考查了球与圆柱的体积、表面积公式点评：此类问题主要考查学生的计算能力，正确利用题目条件，面积相等关系，挖掘题设中的条件，解题才能得心应手12连续投骰子两次得到的点数分别为m，n，作向量（m，n），则与（1，1）的夹角成为直角三角形内角的概率是_【答案】【解析】根据分步计数原理可以得到试验发生包含的所有事件数，满足条件的事件数通过列举得到即可求解【详解】由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件数66，m0，n0，（m，n）与（1，1）不可能同向夹角0（0，0，mn0，即mn当m6时，n6，5，4，3，2，1；当m5时，n5，4，3，2，1；当m4时，n4，3，2，1；当m3时，n3，2，1；当m2时，n2，1；当m1时，n1满足条件的事件数6+5+4+3+2+1概率P故答案为：【点睛】本题考查古典概型，考查向量数量积，考查分类讨论思想，准确计算是关键13已知集合A（x，y）|xa|+|y1|1，B（x，y）|（x1）2+（y1）21，若AB，则实数a的取值范围为_【答案】1，3【解析】先分别画出集合A（x，y）|xa|+|y1|1，B（x，y）|（x1）2+（y1）21，表示的平面图形，集合A表示是一个正方形，集合B表示一个圆再结合题设条件，欲使得AB，只须A或B点在圆内即可，将点的坐标代入圆的方程建立不等式求解即可【详解】分别画出集合A（x，y）|xa|+|y1|1，B（x，y）|（x1）2+（y1）21，表示的平面图形，集合A表示是一个正方形，集合B表示一个圆如图所示其中A（a+1，1），B（a1，1），欲使得AB，只须A或B点在圆内即可，（a+11）2+（11）21或（a11）2+（11）21，解得：1a1或1a3，即1a3故答案为：1，3【点睛】本小题主要考查二元一次不等式（组）与平面区域、集合关系中的参数取值问题、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想属于基础题14在中，以为边作等腰直角三角形（为直角顶点，两点在直线的两侧），当变化时，线段长的最大值为_【答案】3【解析】【详解】设，则在三角形BCD中，由余弦定理可知，在三角形ABC中，由余弦定理可知，可得，所以，令，则， 所以，线段长的最大值为3.15如图，B是AC的中点，P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，且有以下结论：当x0时，y2，3；当P是线段CE的中点时，；若x+y为定值1，则在平面直角坐标系中，点P的轨迹是一条线段；xy的最大值为1；其中你认为正确的所有结论的序号为_【答案】【解析】利用向量共线的充要条件判断出错，对；利用向量的运算法则求出，求出x，y判断出对,利用三点共线解得对【详解】对于当，据共线向量的充要条件得到P在线段BE上，故1y3，故错对于当P是线段CE的中点时，故对对于x+y为定值1时，A，B，P三点共线，又P是平行四边形BCDE内（含边界）的一点，故P的轨迹是线段，故对对，令，则，当共线，则，当平移到过B时，xy的最大值为1，故对故答案为【点睛】本题考查向量的运算法则、向量共线的充要条件,考查推理能力，是中档题16对任意和，恒有，则实数的取值范围是_.【答案】或【解析】利用的形式进行放缩，最终化简为或，利用函数单调性，基本不等式即可求得最值【详解】先给出公式：，证明如下，即则原式可变形为即， 或，由得或当且仅当时取等号，所以的最小值为，显然当为减函数（由对勾函数性质可得），由此可得，即综上所述：或【点睛】本题考查函数恒成立问题，恒成立问题转化为最值问题是常规处理方式，本题解题关键在于通过对不等式的等价变形去掉，变形为关于的恒等式进行处理三、解答题17在中，角对应的三边长分别为，若，（1）求的值；（2）求函数的值域【答案】（1）；（2）【解析】试题分析：（1）利用平面向量的数量积的运算，化简，再利用余弦定理列出关系式，将化简结果及的值代入计算即可求出的值；（2）由基本不等式求出的范围，根据，得出，进而利用余弦函数的性质求出角的范围，再化简，即可求出的值域试题解析：（1）因为，所以，由余弦定理得因为，所以（2）因为，所以，所以，因为，所以，因为，由于，所以所以的值域为【考点】正弦定理；余弦定理18如图，三棱锥PABC中，PC平面ABC，PCAC2，ABBC，D是PB上一点，且CD平面PAB（1）求证：AB平面PCB；（2）求二面角CPAB的大小的余弦值【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】（ 1）由题设条件，易证得PCAB，CDAB，故可由线面垂直的判定定理证得AB平面PCB；（2）由图形知，取AP的中点O，连接CO、DO，可证得COD为二面角CPAB的平面角，在CDO中求COD即可【详解】（1）证明：PC平面ABC，AB平面ABC，PCABCD平面PAB，AB平面PAB，CDAB又PCCDC，AB平面PCB（2）取AP的中点O，连接CO、DOPCAC2，COPA，CO，CD平面PAB，由三垂线定理的逆定理，得DOPACOD为二面角CPAB的平面角由（1）AB平面PCB，ABBC，又ABBC，AC2，求得BCPB，CDcosCOD【点睛】本题考查用线面垂直的判定定理证明线面垂直，求二面角，空间角解决的关键是做角，由图形的结构及题设条件正确作出平面角，是求角的关键19某环线地铁按内、外环线同时运行，内、外环线的长均为30千米（忽略内、外环线长度差异）（1）当9列列车同时在内环线上运行时，要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，求内环线列车的最小平均速度；（2）新调整的方案要求内环线列车平均速度为25千米/小时，外环线列车平均速度为30千米/小时现内、外环线共有18列列车全部投入运行，要使内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟，向内、外环线应各投入几列列车运行？【答案】（1）20千米/小时；（2）内环线投入10列列车运行，外环线投入8列列车.【解析】（1）设内环线列车的平均速度为v千米/小时，根据内环线乘客最长候车时间为10分钟，可得，从而可求内环线列车的最小平均速度；（2）设内环线投入x列列车运行，则外环线投入（18x）列列车运行，分别求出内、外环线乘客最长候车时间，根据，解不等式，即可求得结论【详解】（1）设内环线列车的平均速度为v千米/小时，则要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，可得v20要使内环线乘客最长候车时间为10分钟，内环线列车的最小平均速度是20千米/小时；（2）设内环线投入x列列车运行，则外环线投入（18x）列列车运行，内、外环线乘客最长候车时间分别为t1，t2分钟，则，xN+，x10当内环线投入10列列车运行，外环线投入8列列车时，内外环线乘客的最长候车时间之差不超过1分钟【点睛】本题考查函数模型的构建，考查利用数学模型解决实际问题，解题的关键是正确求出乘客最长候车时间20已知抛物线的顶点在原点，焦点在轴正半轴上，点到其准线的距离等于（）求抛物线的方程；（）如图，过抛物线的焦点的直线从左到右依次与抛物线及圆交于、四点，试证明为定值.（）过、分别作抛物的切线、，且、交于点，求与面积之和的最小值【答案】（）；（）见解析；（）.【解析】（）设抛物线的方程为，根据已知条件得出的值，可得出抛物线的方程；（）解法一：求出抛物线的焦点的坐标，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，并列出韦达定理，利用抛物线的定义并结合韦达定理证明出是定值；解法二：设直线的方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，并列出韦达定理，并利用弦长公式并结合韦达定理证明是定值；（）利用导数求出切线、的方程，并将两切线方程联立得出交点的坐标，并计算出点到直线的距离，可计算出和的面积和，换元，利用导数法求出和的面积和的最小值.【详解】（）设抛物线方程为，由题意得，得，所以抛物线的方程为；（） 解法一：抛物线的焦点与的圆心重合，即为.设过抛物线焦点的直线方程为，设点、，将直线的方程与抛物线的方程联立，消去并整理得，由韦达定理得，.由抛物线的定义可知，.，即为定值；解法二：设过抛物线焦点的直线方程为，设点、，不妨设，.将直线的方程与抛物线的方程联立，消去并整理得，由韦达定理得，.， ，即为定值；（），所以切线的方程为，即，同理可得，切线的方程为，联立两切线方程，解得，即点，所以点到直线的距离为设，令，则，所以在上是增函数，当时，即当时，即和面积之和的最小值为.【点睛】本题考查抛物线的方程的求解、抛物线中弦长的计算以及三角形面积和的最值问题，常用的方程就是将直线方程与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理设而不求法求解，在求最值时，则需建立某个变量的函数来求解，难点在于计算量大，容易出错.21已知数列是以为公差的等差数列，数列是以为公比的等比数列.（1）若数列的前项和为，且，求整数的值；（2）若，试问数列中是否存在一项，使得恰好可以表示为该数列中连续项的和？请说明理由；（3）若，（其中，且是的约数）