小学六年级数学竞赛讲座 第14讲 数论总复习

第十四讲第十四讲 数论总复习数论总复习 模块一 数的整除 例 1 对于自然数 N 如果在 1 9 这九个自然数中至少有 6 个可以整除 N 则称 N 是一个 六合数 则在 大于 2000 的自然数中最小的 六合数 是 2016 解 如果这个数有 6 个约数 1 2 3 4 6 8 那么它只要被 24 整除即可 2016 就符合要求 例 2 试找出这样的最大的五位正整数 它不是 11 的倍数 通过划去它的若干数字也不能得到可被 11 整除 的数 解 根据题义 所求的五位数不能有相同的数字 且奇数位数之和不能和偶数位数之和相同 可得 98765 满足 并且是最大的 模块二 质合因倍 例 3 已知 a b c 是三个自然数 且 a 与 b 的最小公倍数是 60 a 与 c 的最小公倍数是 270 求 b 与 c 的 最小公倍数 解 60 22 3 5 270 2 33 5 a 是这两个数的公因数 60 270 2 3 5 不论 a 取哪一个因数 因为 a b 60 所以 b 的因数中一定有 22 4 a c 270 所以 c 的因数中一定有 33 27 即 b c 最小值是 4 27 108 若 b c 中至少有一个含有因子 5 则最小公倍数 b c 5 108 540 解 2 60 22 3 5 270 2 33 5 a 是这两个数的公因数 60 270 2 3 5 当 a 1 b 60 c 270 时 b c 的最小公倍数是 2 3 5 2 3 3 540 当 a 2 b 60 c 135 时 b c 的最小公倍数是 540 当 a 3 b 20 c 270 时 b c 的最小公倍数是 540 当 a 6 b 20 c 135 时 b c 的最小公倍数是 540 当 a 5 b 2 2 3 12 c 3 3 3 2 54 时 b c 的最小公倍数是 2 3 2 3 3 108 当 a 2 5 10 b 4 3 12 c 3 3 3 27 时 b c 的最小公倍数是 2 2 3 3 3 108 当 a 3 5 15 b 2 2 4 c 3 3 3 2 54 时 b c 的最小公倍数是 2 3 2 3 3 108 当 a 2 3 5 30 b 4 c 33 27 时 b c 的最小公倍数是 4 27 108 答 b 与 c 的最小公倍数是 540 或 108 例 4 A 和 B 是两个非零自然数 A 是 B 的 24 倍 A 的因数的个数是 B 的 4 倍 那么 A 与 B 的和的最小值 是 解 A 24 B 24 23 3 所以 24 有 4 2 8 个因数 设 B 2m 3n cp 则 A 2 m 3 3 n 1 cp A 的因数的个数是 m 4 n 2 p 1 B 的因数的个数是 m 1 n 1 p 1 由题意 m 4 n 2 p 1 4 m 1 n 1 p 1 所以 m 4 n 2 4 m 1 n 1 mn 2m 4n 8 4mn 4m 4n 4 3mn 2m 4 取 n 0 m 2 有 6 2 4 3 1 满足条件 此时 B 的最小值是 4 有 3 个因数 A 96 25 3 有 12 个因数 A B 96 4 100 模块三 综合问题 例 5 设六位数abcdef满足fabcdefabcdef 请写出这样的六位数 解 设abcde x 则 f 105 x f 10 x f 52 10 101 ff x f 442 10 101 10 101 ff f 所以 x 22 4 10 10 10 101 ff f 这样为了使 x 是整数 只有 f 1 4 当 f 1 时 11abcdeabcde 得到 a b c d e 1 所以abcdef 111111 当 f 4 时 444abcdeabcde 得到 x 104 256 10256 所以abcdef 102564 所以abcdef 111111 或 102564 例 6 有一个四位数 它和 6 的积是一个完全立方数 它和 6 的商是一个完全平方数 那么这个四位数是 解 在这个四位数的因数中有 63m 1 同时满足 3m 2 是偶数 所以 m 2 即一定含有 65 7776 这个因数 而它是一个四位数 就是 7776 例 7 如果 2 38能表示成 k 个连续正整数的和 则 k 的最大值为 解 设 k 个连续正整数中最小的正整数为 n 则 k 个连续正整数的和为 8 1 2 3 2 nnkk 整理得 k 2n 1 k 22 38 明显 k 必然为 2p 3q的形式 其中 p 0 1 2 q 0 1 2 3 4 5 6 7 8 又因为 2n 1 0 所以 22 38 k 2n 1 k k k 所以 k 2 34 所以 k 的最大值为 22 33 108 将 k 108 代入得到 n 68 于是 68 69 70 175 13122 2 38 例 8 有一列正整数 其中第 1 个数是 1 第 2 个数是 1 2 的最小公倍数 第 3 个数是 1 2 3 的最小公 倍数 第 n 个数是 1 2 n 的最小公倍数 那么这列数的前 100 个数中共有 个不同的值 解 第 1 个数是 1 第 2 个数是 1 2 的最小公倍数 2 第 3 个数是 1 2 3 的最小公倍数 6 第 4 个数是 1 2 3 4 的最小公倍数 12 第 5 个数是 1 2 3 4 5 的最小公倍数 60 第 6 个数是 1 2 3 4 5 6 的最小公倍数 60 我们发现 n 是一个质数 那么 1 2 n 的最小公倍数就是前面没有出现的 或者 n 的因数中含有某个因数的平方 立方 且在前面出现该数的方次中是最高的一个 那么 1 2 n 的最小公倍数也是前面没有出现的 所以不同的 n 1 2 3 5 7 11 13 97 这样的数有 26 个 在加上 n 22 23 26 32 33 34 52 72 共 10 个 26 10 36 所以这列数的前 100 个数中共有 36 个不同的值 随随 堂堂 练练 习习 1 已知1 87 2aa是 2008 的倍数 则 a 的值是多少 解 由题意 108702 10010a 是 2008 的倍数 108702 2008 54 270 10010 2008 4 1978 即 108702 10010a 270 1978a mod 2008 270 2008 1978 a mod 2008 270 30a mod 2008 当 a 9 时 270 30a 0 所以 a 9 满足题意 2 将自然数 1 2 3 依次写下去组成一个数 12345678910111213 写到某个自然数时 所组成 的数恰好第一次被 72 整除 那么这个自然数是多少 解 72 23 32 要求这个数能被 8 和 9 整除 能被 9 整除 要求所有数字的和能被 9 整除 任意 9 个连续自然数的数字和能被 9 整除 所以任意 9 个连续自然数所组成的多位数一定能被 9 整除 123456789 123456789101112131415161718 当写到 9 18 27 36 45 时都能被 9 整除 因为 9 18 27 36 45 本身又都是 9 的倍数 所以写到 8 17 26 35 44 时也都能被 9 整除 被 8 整除的数的特征是 末三位所组成的数能被 8 整除 考察 678 789 718 819 526 627 435 等都不能被 8 整除 而 536 能被 8 整除 又 12345678910111213 3536 可以被 72 整除 所以这个自然数是 36 3 将一个数的所有因数两两求和 在所有的和中 若最小的是 4 最大的是 180 则这个数是 解 一个数的所有因数中最小的是 1 最大的是本身 设这个数为 x 则它的所有因数中两个最小的和为 1 a 4 解得 a 3 所以一定有一个因数为 3 有因数是成对出现的 最大的因数是 x 倒数第二大的因数是 3 x 3 x x 180 解得 x 135 4 两个整数的最小公倍数是 1925 这两个整数分别除以它们的最大公因数 得到两个商的和是 16 写出这 两个数 解 设这两个数分别是 a mp b np 其中 m n 互质 由题意 m n 16 mnp 1925 1925 52 7 11 其中 5 11 16 可取 m 5 n 11 p 35 于是 a 5 35 175 b 11 35 385 5 已知正整数 A 分解质因数可以写成 A 2 3 5 其中 是自然数 如果 A 的二分之一是完全平方 数 A 的三分之一是完全立方数 A 的五分之一是某个自然数的五次方 那么 的最小值是 解 A 2 3 5 2 A 2 1 3 5 是完全平方数 所以 1 都是 2 的倍数 3 A 2 3 1 5 是完全立方数 所以 1 都是 3 的倍数 5 A 2 3 5 1是自然数的五次方 所以 1 都是 5 的倍数 当 15 10 6 时满足要求 所以 15 10 6 31 6 请写出所有各位数字互不相同的三位奇数 使得它能被它的每一数位上的数字整除 解 该数是奇数 所以个位数字是奇数 1 3 5 7 9 又这个数能被每一位数字整除 所以这些数字都不会是偶数 只能从 1 3 5 7 9 中选取 且各不相同 其中取 3 个数字 任何 3 个数字的和都不能被 9 整除 所以排除 9 如果选取 3 则只有 1 3 5 三个数的和能被 3 整除 或 3 5 7 三个数的和能被 3 整除 有 135 和 315 能被 1 3 5 整除 或 735 能被 3 5 7 整除 如果不取 3 只剩下 1 5 7 其中 175 能被 1 7 5 整除 所以三位数是 135 315 175 735 7 三个两位奇数 它们的最大公约数是 1 但是两两均不互质 且三个数的最小公倍数共有 18 个约数 求 所有满足要求的情况 解 18 1 18 2 9 3 6 2 3 3 所以这个最小公倍数可能的形式是 a b8 a2 b5 a b2 c2 其中只有 a b2 c2最合理 且 a b c 中不能有 2 且都是质数 最好是 3 5 7 11 又三个数两两均不互质 其中至少有两个平方 不妨设为 a2 b2 若 a 3 a2 9 32 5 45 32 7 63 32 11 99 只有这三种形式 若 b 5 b2 25 b2 3 75 只有这一种形式 三个数可以是 a2 c b2 a b c 取 a 3 b 5 c 7 时 可以得到 b c 35 a2 c 63 a b2 75 取 a 3 b 5 c 11 时 可以得到 b c 55 a2 c 99 a b2 75 所以三个两位奇数分别是 35 63 75 和 55 75 99 8 有些数既能表示成 5 个连续自然数的和 又能表示成 6 个自然数的和 还能表示成 7 个自然数的和 例 如 105 就满足上述要求 105 19 20 21 22 23 105 15 16 17 18 19 20 105 12 13 14 15 16 17 18 请问 在 1 1000 中一共有多少个满足上述要求的数 解 能表示成 5 个连续自然数的和 等于中间数的 5 倍 意味着此数能被 5 整除 能表示