2021版高考数学一轮复习第十一章统计与统计案例第2讲用样本估计总体教学案理北师大版.docx

第2讲用样本估计总体一、知识梳理1统计图表(1)频率分布直方图的画法步骤求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)；决定组距与组数；将数据分组；列频率分布表；画频率分布直方图(2)频率分布折线图频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图 (3)茎叶图的画法步骤第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两部分；第二步：将最小茎与最大茎之间的数按大小次序排成一列；第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的两侧2样本的数字特征(1)众数：一组数据中出现次数最多的那个数据，叫做这组数据的众数(2)中位数：把n个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据(或最中间两个数据的平均数)叫做这组数据的中位数(3)平均数：把称为a1，a2，an这n个数的平均数(4)标准差与方差：设一组数据x1，x2，x3，xn的平均数为，则这组数据的标准差和方差分别是s s2(x1)2(x2)2(xn)2常用结论1频率分布直方图的特点(1)频率分布直方图中相邻两横坐标之差表示组距，纵坐标表示，频率组距.(2)在频率分布直方图中，各小长方形的面积总和等于1，因为在频率分布直方图中组距是一个固定值，所以各小长方形高的比也就是频率比(3)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，后者直观2平均数、方差的公式推广(1)若数据x1，x2，xn的平均数为，那么mx1a，mx2a，mx3a，mxna的平均数是ma.(2)数据x1，x2，xn的方差为s2.数据x1a，x2a，xna的方差也为s2；数据ax1，ax2，axn的方差为a2s2.二、教材衍化1一个容量为32的样本，已知某组样本的频率为0.25，则该组样本的频数为()A4B8C12D16解析：选B.设频数为n，则0.25，所以n328.2.若某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是()A91.5和91.5 B91.5和92C91和91.5 D92和92解析：选A.因为这组数据由小到大排列为87，89，90，91，92，93，94，96，所以中位数是91.5，平均数91.5.3如图是100位居民月均用水量的频率分布直方图，则月均用水量为2，2.5)范围内的居民数有_人解析：由频率分布直方图可知，月均用水量为2，2.5)范围内的居民所占频率为0.50.50.25，所以月均用水量为2，2.5)范围内的居民数为1000.2525.答案：254甲、乙两台机床同时生产一种零件，10天中，两台机床每天出的次品数分别是：甲0102203124乙2311021101则机床性能较好的为_解析：因为甲1.5，乙1.2，s1.65，s0.76，所以ss，所以乙机床性能较好答案：乙一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大()(2)在频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间内的频率越大()(3)茎叶图中的数据要按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次()(4)频率分布表和频率分布直方图是一组数据频率分布的两种形式，前者准确，后者直观()(5)在频率分布直方图中，最高的小长方形底边中点的横坐标是众数的估计值()答案：(1)(2)(3)(4)(5)二、易错纠偏(1)平均数与方差的性质理解出错；(2)中位数、众数、平均数的求法不清导致出错1若数据x1，x2，x3，xn的平均数5，方差s22，则数据3x11，3x21，3x31，3xn1的平均数和方差分别为()A5，2 B16，2C16，18 D16，9解析：选C.因为x1，x2，x3，xn的平均数为5，所以5，所以135116，因为x1，x2，x3，xn的方差为2，所以3x11，3x21，3x31，3xn1的方差是32218.故选C.2为了普及环保知识，增强环保意识，某大学随机抽取30名学生参加环保知识测试，得分(十分制)如图所示，假设得分的中位数为m，众数为n，平均数为，则m，n，的大小关系为_(用“”连接)解析：由题图可知，30名学生得分的中位数为第15个数和第16个数(分别为5，6)的平均数，即m5.5；又5出现次数最多，故n5；(233410566372829210)5.97.故nm.答案：nm0.5，而前4组的频率之和为0.040.080.150.200.470.5，所以2m2.5.所以0.50(m2)0.50.47，解得m2.06.故可估计该社区退休老人每人每天的平均户外活动时间的中位数为2.06时(3)由题意得平均户外活动时间在1，1.5)，1.5，2)内的人数分别为15，20.按分层抽样的方法在1，1.5)，1.5，2)内分别抽取3人，4人，从7人中随机抽取2人，共有C21种方法，抽取的两人恰好都在同一个组有CC9种方法，故抽取的2人恰好在同一个组的概率P.频率、频数、样本容量的计算方法频率，样本容量，样本容量频率频数提醒制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确 1在某中学举行的环保知识竞赛中，将三个年级参赛学生的成绩进行整理后分为5组，绘制如图所示的频率分布直方图，图中从左到右依次为第一、第二、第三、第四、第五小组，已知第二小组的频数是40，则成绩在80100分的学生人数是()A15B18 C20D25解析：选A.根据频率分布直方图，得第二小组的频率是0.04100.4，因为频数是40，所以样本容量是100，又成绩在80100分的频率是(0.010.005)100.15，所以成绩在80100分的学生人数是1000.1515.故选A.2(2020安徽淮南二模)某乡镇为了打赢脱贫攻坚战，决定盘活贫困村的各项经济发展要素，实施了产业、创业、就业“三业并举”工程在实施过程中，引导某贫困村农户因地制宜开展种植某经济作物该类经济作物的质量以其质量指标值来衡量，质量指标值越大表明质量越好，记其质量指标值为k，其质量指标的等级划分如表：质量指标值k产品等级k90优秀80k90良好75k80合格k75不合格为了解该类经济作物在当地的种植效益，当地引种了甲、乙两个品种并随机抽取了甲、乙两个不同品种的各10 000件产品，测量了每件产品的质量指标值，得到下面产品质量指标值频率分布直方图(图甲和图乙)(1)若将频率视为概率，从乙品种产品中有放回地随机抽取3件，记“抽出乙品种产品中至少有1件优等品(质量指标值k80为优等品)”为事件A，求事件A发生的概率P(A)；(结果保留小数点后3位)(2)若甲、乙两个品种的销售利润率y与质量指标值k满足下表：质量指标值kk9080k9075k80k75销售利润率y3t5t2t2t其中t.试分析，从长期来看，种植甲、乙哪个品种的平均利润率较大？解：(1)设“从乙品种产品中抽取1件为优等品”的概率为P，则根据频率分布直方图可得P(0.030.080.040.02)50.85，则P(A)1C(1P)310.1530.997.(2)由频率分布直方图可得，甲品种产品的利润率的分布列为y3t5t2t2P0.20.70.1Ey甲0.23t0.75t20.1t23.6t20.6t；乙品种产品的利润率的分布列为y3t5t2t2tP0.30.550.10.05Ey乙0.33t0.555t20.1t20.05(t)2.85t20.85t.Ey甲E(y)乙3.6t20.6t(2.85t20.85t)0.75t20.25t0.25t(3t1)，由于t，所以Ey甲Ey乙0，即Ey甲s，可知乙的成绩较稳定从折线图看，甲的成绩基本呈上升状态，而乙的成绩上下波动，可知甲的成绩在不断提高，而乙的成绩则无明显提高(1)众数、中位数、平均数及方差的意义平均数与方差都是重要的数字特征，是对总体的一种简明地描述；平均数、中位数、众数描述其集中趋势，方差和标准差描述波动大小(2)在计算平均数、方差时可利用平均数、方差的有关结论 1甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则()A甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数B甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数C甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差D甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差解析：选C. 甲(45678)6，乙(5369)6，甲的成绩的方差为(222122)2，乙的成绩的方差为(123321)2.4.甲的成绩的中位数为6，乙的成绩的中位数为5，甲的成绩的极差为4，乙的成绩的极差为4，故选C.2(2020贵阳市监测考试)在某校科普知识竞赛前的模拟测试中，得到甲、乙两名学生的6次模拟测试成绩(百分制)的茎叶图(如图)若从甲、乙两名学生中选择一人参加该知识竞赛，你会选哪位？请运用统计学的知识说明理由解：学生甲的平均成绩甲82，学生乙的平均成绩乙82，又s(6882)2(7682)2(7982)2(8682)2(8882)2(9582)277，s(7182)2(7582)2(8282)2(8482)2(8682)2(9482)2，则甲乙，ss，说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，即乙发挥更稳定，故可选择学生乙参加知识竞赛 基础题组练1(2019高考全国卷)演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分，7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是()A中位数 B平均数C方差 D极差解析：选A.记9个原始评分分别为a，b，c，d，e，f，g，h，i(按从小到大的顺序排列)，易知e为7个有效评分与9个原始评分的中位数，故不变的数字特征是中位数，故选A.2(2020陕西商洛质检)在一次53.5千米的自行车个人赛中，25名参赛选手成绩(单位：分钟)的茎叶图如图所示，现将参赛选手按成绩由好到差编为125号，再用系统抽样的方法从中选取5人，已知选手甲的成绩性为85分钟，若甲被选取，则被选取的其余4名选手的成绩的平均数为()A95B96C97D98解析：选C.由系统抽样法及已知条件可知被选中的其他4人的成绩分别是88，94，99，107，故平均数为97，故选C.3(2020广东珠海摸底)某班级在一次数学竞赛中设置了一等奖、二等奖、三等奖以及参与奖，各个奖品的单价分别为一等奖20元，二等奖10元，三等奖5元，参与奖2元，获奖人数的分配情况如图所示，则以下说法不正确的是()A获得参与奖的人数最多B各个奖项中三等奖的总费用最高C购买奖品的平均费用为9.25元D购买奖品的费用的中位数为2元解析：选C.设全班人数为a.由扇形统计图可知一等奖占5%，二等奖占10%，三等奖占30%，参与奖占55%，获得参与奖的人数最多，故A正确；一等奖的总费用为5%a20a.二等奖的总费用为10%a10a，三等奖的总费用为30%a5a，参与奖的总费用为55%a2a，所以各个奖项中三等奖的总费用最高，故B正确；购买奖品的平均费用为5%2010%1030%555%24.6(元)，故C错误；参与奖占55%，所以购买奖品的费用的中位数为2元，故D正确故选C.4(2020安徽六安毛坦厂中学月考)某位教师2017年的家庭总收入为80 000元，各种用途占比统计如下面的折线图.2018年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2018年的就医费用比2017年增加了4 750元，则该教师2018年的家庭总收入为()A100 000元 B95 000元C90 000元 D85 000元解析：选D.由已知得，2017年的就医费用为80 00010%8 000(元)故2018年的就医费用为8 0004 75012 750(元)，所以该教师2018年的家庭总收入为85 000(元)故选D.5甲、乙两名同学6次考试的成绩统计如图所示，甲、乙两组数据的平均数分别为甲，乙，标准差分别为甲，乙，则()A甲乙，甲乙 B甲乙C甲乙，甲乙，甲乙解析：选C.由题图可知，甲同学除第二次考试成绩略低于乙同学外，其他考试成绩都远高于乙同学，可知甲乙，题图中数据显示甲同学的成绩比乙同学稳定，故甲乙6某中学奥数培训班共有14人，分为两个小组，在一次阶段测试中两个小组成绩的茎叶图如图所示，其中甲组学生成绩的平均数是88，乙组学生成绩的中位数是89，则nm的值是_解析：由甲组学生成绩的平均数是88，可得88，解得m3.由乙组学生成绩的中位数是89，可得n9，所以nm6.答案：67已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图甲和图乙所示为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为_、_解析：由题图甲可知学生总人数是10 000，样本容量为10 0002%200，抽取的高中生人数是2 0002%40，由题图乙可知高中生的近视率为50%，所以抽取的高中生的近视人数为4050%20.答案：200208为了了解某校高三美术生的身体状况，抽查了部分美术生的体重，将所得数据整理后，作出了如图所示的频率分布直方图已知图中从左到右的前3个小组的频率之比为135，第2个小组的频数为15，则被抽查的美术生的人数是_解析：设被抽查的美术生的人数为n，因为后2个小组的频率之和为(0.037 50.012 5)50.25，所以前3个小组的频率之和为0.75.又前3个小组的频率之比为135，第2个小组的频数为15，所以前3个小组的频数分别为5，15，25，所以n60.答案：609我国是世界上严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x(吨)，月用水量不超过x的部分按平价收费，超出x的部分按议价收费为了了解全市居民用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月均用水量(单位：吨)，将数据按照0，0.5)，0.5，1)，4，4.5分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图(1)求频率分布直方图中a的值；(2)已知该市有80万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数，并说明理由；(3)若该市政府希望使85%的居民每月的用水量不超过标准x(吨)，估计x的值，并说明理由解：(1)由频率分布直方图，可得(0.080.16a0.400.52a0.120.080.04)0.51，解得a0.30.(2)由频率分布直方图知，100位居民每人月均用水量不低于3吨的频率为(0.120.080.04)0.50.12.由以上样本频率分布，可以估计全市80万居民中月均用水量不低于3吨的人数为800 0000.1296 000.(3)因为前6组的频率之和为(0.080.160.300.400.520.30)0.50.880.85，前5组的频率之和为(0.080.160.300.400.52)0.50.730.85，所以2.5x3.由0.3(x2.5)0.850.73，解得x2.9.因此，估计月用水量标准为2.9吨时，85%的居民每月的用水量不超过标准10有A，B，C，D，E五位工人参加技能竞赛培训现分别从A，B二人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次用茎叶图表示这两组数据：(1)A，B二人预赛成绩的中位数分别是多少？(2)现要从A，B中选派一人参加技能竞赛，从平均状况和方差的角度考虑，你认为派哪位工人参加合适？请说明理由；(3)若从参加培训的5位工人中选2人参加技能竞赛，求A，B二人中至少有一人参加技能竞赛的概率