2021版高考数学一轮复习选修4_4坐标系与参数方程第2讲参数方程教学案理北师大版.docx

第2讲参数方程一、知识梳理1参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式，一般地，可以通过消去参数，从参数方程得到普通方程(2)如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如xf(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系yg(t)，那么就是曲线的参数方程，在参数方程与普通方程的互化中，必须使x，y的取值范围保持一致2直线、圆和圆锥曲线的参数方程名称普通方程参数方程直线yy0k(xx0)(t为参数)圆(xx0)2(yy0)2R2(为参数且0b0)(t为参数且0t0)(t为参数)常用结论1直线参数方程的三个应用及一个易错点(1)三个应用：已知直线l经过点M0(x0，y0)，倾斜角为，点M(x，y)为l上任意一点，则直线l的参数方程为(t为参数)若M1，M2是直线l上的两个点，对应的参数分别为t1，t2，则| |t1t2|，|t2t1|；若线段M1M2的中点为M3，点M1，M2，M3对应的参数分别为t1，t2，t3，则t3；若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0，y0)，则t1t20，t1t20.(2)一个易错点：在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值否则参数不具备该几何含义2掌握圆的参数方程的两种应用(1)解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题，通常可以转化为点与圆、直线与圆的位置关系(2)求距离的问题，通过设圆的参数方程，就转化为求三角函数的值域问题二、教材衍化1曲线(为参数)的对称中心()A在直线y2x上B在直线y2x上C在直线yx1上 D在直线yx1上解析：选B.由得所以(x1)2(y2)21.曲线是以(1，2)为圆心，1为半径的圆，所以对称中心为(1，2)，在直线y2x上2在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(为参数)的右顶点，则常数a的值为_解析：直线l的普通方程为xya0，椭圆C的普通方程为1，所以椭圆C的右顶点坐标为(3，0)，若直线l过点(3，0)，则3a0，所以a3.答案：3一、思考辨析判断正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)参数方程中的x，y都是参数t的函数()(2)过M0(x0，y0)，倾斜角为的直线l的参数方程为(t为参数)参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段M0M的数量()(3)方程(为参数)表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆()(4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t，点O为原点，则直线OM的斜率为.()答案：(1)(2)(3)(4)二、易错纠偏(1)不注意互化的等价性致误；(2)直线参数方程中参数t的几何意义不清致误；(3)交点坐标计算出错致错1若曲线C的参数方程为(为参数)，则曲线C上的点的轨迹是()A直线x2y20B以(2，0)为端点的射线C圆(x1)2y21D以(2，0)和(0，1)为端点的线段解析：选D.将曲线C的参数方程化为普通方程得x2y20(0x2，0y1)故选D.2已知直线(t为参数)上两点A，B对应的参数值是t1，t2，则|AB|()A|t1t2| B|t1t2|C.|t1t2| D解析：选C.依题意，A(x0at1，y0bt1)，B(x0at2，y0bt2)，则|AB|t1t2|.故选C.3在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线C1的极坐标方程为(cos sin )2，曲线C2的参数方程为(t为参数)，则C1与C2交点的直角坐标为_解析：由(cos sin )2，得xy2.又消去t，得y28x.联立得即交点坐标为(2，4)答案：(2，4)参数方程与普通方程的互化(自主练透)1将下列参数方程化为普通方程(1)(t为参数)；(2)(为参数)解：(1)由t210t1或t10x1或1x0，t20，所以|PA|PB|t1t27.2在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)(1)若a1，求C与l的交点坐标；(2)若C上的点到l距离的最大值为，求a.解：(1)曲线C的普通方程为y21.当a1时，直线l的普通方程为x4y30.由解得或从而C与l的交点坐标为(3，0)，.(2)直线l的普通方程为x4ya40，故C上的点(3cos ，sin )到l的距离为d，满足tan .当a40，即a4时，d的最大值为 .由题设得，所以a8；当a40，即a0即2sin (2cos sin )0，可知tan 0，解得tan ，所以直线l的斜率为.(1)涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程(2)数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用和的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的 1(2020河南省第五次测评)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(为参数)以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2：24cos 3.(1)求C1的普通方程和C2的直角坐标方程；(2)若曲线C1与C2交于A，B两点，A，B的中点为M，点P(0，1)，求|PM|AB|的值解：(1)曲线C1的普通方程为x2(y2)25.由2x2y2，cos x，得曲线C2的直角坐标方程为x2y24x30.(2)将两圆的方程x2(y2)25与x2y24x30作差得直线AB的方程为xy10.点P(0，1)在直线AB上，设直线AB的参数方程为(t为参数)，代入x2y24x30化简得t23t40，所以t1t23，t1t24.因为点M对应的参数为，所以|PM|AB|t1t2|3.2(2019高考全国卷)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上的点到l距离的最小值解：(1)因为11，且x21，所以C的直角坐标方程为x21(x1)l的直角坐标方程为2xy110.(2)由(1)可设C的参数方程为(为参数，)C上的点到l的距离为.当时，4cos11取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为.基础题组练1(2020安徽巢湖模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：(t为参数)以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4sin()(1)求曲线C的直角坐标方程(2)设点M的直角坐标为(0，3)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|MB|的值解：(1)把4sin，展开得2sin 2 cos ，两边同乘得22sin 2cos .将2x2y2，cos x，sin y代入，即得曲线C的直角坐标方程为x2y22x2y0.(2)将代入式，得t23t30，点M的直角坐标为(0，3)设这个方程的两个实数根分别为t1，t2，则t1t23，t1t23，所以t10，t20)(1)求直线l过点(2，4)的参数方程；(2)已知直线l与曲线C交于N，Q两点，M(2，4)，且|NQ|2|MN|MQ|，求实数P的值解：(1)将xcos ，ysin 代入直线l的极坐标方程，得直线l的直角坐标方程为xy20.所以直线l过点(2，4)的参数方程为(t为参数)(2)由sin22Pcos (P0)，得(sin )22Pcos (P0)，将cos x，sin y代入，得y22Px(P0)将直线l的参数方程与曲线C的直角坐标方程联立，得t22(4P)t8(4P)0，(*)8P(4P)0.设点N，Q分别对应参数t1，t2，恰好为上述方程的根，则|MN|t1，|MQ|t2，|NQ|t1t2|.由题设得(t1t2)2|t1t2|，即(t1t2)24t1t2|t1t2|.由(*)得t1t22(4P)，t1t28(4P)0，则有(4P)25(4P)0，得P1或P4.因为P0，所以P1.3(2020栖霞模拟)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数，a0)，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线l的极坐标方程为cos4.(1)设P是曲线C上的一个动点，当a2时，求点P到直线l的距离的最小值；(2)若曲线C上所有的点都在直线l的右下方，求实数a的取值范围解：(1)由cos4，得到(cos sin )8，因为cos x，sin y，所以直线l的普通方程为xy80.设P(2cos t，2sin t)，则点P到直线l的距离d2|sin2|，当sin1时，dmin2，所以点P到直线l的距离的最小值为2.(2)设曲线C上任意点P(acos t，2sin t)，由于曲线C上所有的点都在直线l的右下方，所以acos t2sin t80对任意tR恒成立sin(t)8，其中cos ，sin .从而0，解得0a2.即a(0，2)4在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(t为参数)，在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为cos().(1)求圆C的普通方程和直线l的直角坐标方程；(2)设直线l与x轴，y轴分别交于A，B两点，点P是圆C上任意一点，求A，B两点的极坐标和PAB面积的