四川省眉山市2020届高三第三次诊断性考试 数学（文）试题（PDF版）

书书书 数学 文史类 试题 第 页 共 页 秘密 启用前 考试时间 年 月 日 眉山市高 级第三次诊断性考试 数 学 文史类 考试时间 分钟 试卷满分 分 注意事项 答卷前 考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上 回答选择题时 选出每小题答案后 用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需改 动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案标号 回答非选择题时 将答案写在答题卡上 写在本试 卷上无效 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 一 选择题 本题共 小题 每小题 分 共 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符 合题目要求的 已知集合 槡 则 已知 为虚数单位 复数 则 在复平面内对应的点位于 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 实数 是 的 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 既不充分也不必要条件 函数 其中 的图象如图 则此函数表达式为 已知 是两条不重合的直线 是一个平面 则下列命题中正确的是 若 则 若 则 若 则 若 则 已知实数 满足约束条件 则 的最大值为 已知 分别是 三个内角 的对边 槡 则 周易 是我国古代典籍 用 卦 描述了天地世间万象变化 右图是一 个八卦图 包含乾 坤 震 巽 坎 离 艮 兑八卦 每一卦由三个爻组 成 其中 表示一个阳爻 表示一个阴爻 若从含有两 个及以上阳爻的卦中任取两卦 这两卦的六个爻中恰有两个阴爻的 概率为 如图 平面四边形 中 槡 现将 沿 翻折 使点 移动至点 且 则三棱锥 的外接球的表面积为 槡 设 是双曲线 的左 右焦点 是坐标原点 过点 作 的一 条渐近线的垂线 垂足为 若 槡 则 的离心率为 槡 槡 函数 与 的图象上存在关于直线 对称的点 则 的取值范围是 已知抛物线 和点 直线 与抛物线 交于不同两点 直线 与抛物线 交于另一点 给出以下判断 直线 与直线 的斜率乘积为 轴 以 为直径的圆与抛物线准线相切 其中 所有正确判断的序号是 数学 文史类 试题 第 页 共 页 数学 文史类 试题 第 页 共 页 二 填空题 本题共 小题 每小题 分 共 分 已知平面向量 且 则向量 与 的夹角的大小为 某中学举行了一次消防知识竞赛 将参赛学生的成绩进行 整理后分为 组 绘制如图所示的频率分布直方图 记图 中从左到右依次为第一 第二 第三 第四 第五组 已知第 二组的频数是 则成绩在区间 的学生人数是 已知 且 则 的值为 已知 是定义在 上的偶函数 其导函数为 当 时 则不等式 的解集是 三 解答题 共 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 题为必考题 每个 试题考生都必须作答 第 题为选考题 考生依据要求作答 一 必考题 共 分 本小题满分 分 某商场为改进服务质量 在进场购物的顾客中随机抽取了 人进行问卷调查 调查后 就顾 客 购物体验 的满意度统计如下 满意不满意 男 女 是否有 的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关 若在购物体验满意的问卷顾客中按照性别分层抽取了 人发放价值 元的购物券 若 在获得了 元购物券的 人中随机抽取 人赠其纪念品 求获得纪念品的 人中仅有 人是女顾客的概率 附表及公式 本小题满分 分 已知等差数列 满足 公差 等比数列 满足 求数列 的通项公式 若数列 满足 求 的前 项和 本小题满分 分 如图 在四棱锥 中 底 面 是 菱 形 是边长为 的正三角形 槡 为线段 的中点 求证 平面 平面 是否存在满足 的点 使得 若存在 求出 的值 若不 存在 请说明理由 本小题满分 分 已知椭圆 的中心在坐标原点 其短半轴长为 一个焦点坐标为 点 在椭圆 上 点 在直线 槡 上的点 且 证明 直线 与圆 相切 求 面积的最小值 本小题满分 分 已知函数 为 的导数 函数 在 处取得最小值 求证 若 时 恒成立 求 的取值范围 二 选考题 共 分 请考生在第 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的第一题记分 本小题满分 分 选修 坐标系与参数方程 在直角坐标系 中 曲线 的参数方程为 以 为极点 轴正半轴为极轴建立 极坐标系 设点 在曲线 上 点 在曲线 上 且 为正 三角形 求点 的极坐标 若点 为曲线 上的动点 为线段 的中点 求 的最大值 本小题满分 分 选修 不等式选讲 已知函数 解不等式 求证 数学 文史类 试题 第 页 共 页 书书书 数学 文史类 试题答案 第 页 共 页 数学 文史类 参考答案 评分说明 本解答给出了一种或几种解法供参考 如果考生的解法与本解答不同 可根据试题的主要 考查内容比照评分参考制定相应的评分细则 对计算题 当考生的解答在某一步出现错误时 如果后继部分的解答未改变该题的内容和 难度 可视影响的程度决定后继部分的给分 但不得超过该部分正确解答应得分数的一半 如果 后继部分的解答有较严重的错误 就不再给分 解答右端所注分数 表示考生正确做到这一步应得的累加分数 只给整数分 选择题和填空题不给中间分 槡 解析 由题得 所以 有 的把握认为顾客购物体验的满意度与性别有关 分 获得了 元购物券的 人中男顾客有 人 记为 女顾客有 人 记为 分 从中随机抽取 人 所有基本事件有 共 个 分 其中仅有 人是女顾客的基本事件有 共 个 所以 获得纪念品的 人中仅有 人是女顾客的概率 分 解析 由题意知 公差 有 成等比数列 所以 解得 分 所以数列 的通项公式 数列 的公比 其通项公式 分 当 时 由 所以 分 当 时 由 数学 文史类 试题答案 第 页 共 页 两式相减得 所以 故 分 所以 的前 项和 分 解析 证明 因为 是正三角形 为线段 的中点 所以 分 因为 是菱形 所以 因为 所以 是正三角形 所以 分 所以 平面 分 又 所以 平面 分 因为 平面 所以平面 平面 分 解 由 知 分 所以 分 分 因此 的充要条件是 所以 分 即存在满足 的点 使得 此时 解析 由题意 椭圆 的焦点在 轴上 且 所以 槡 所以椭圆 的方程为 分 由点 在直线 槡 上 且 知 的斜率必定存在 当 的斜率为 时 槡 槡 于是 到 的距离为 直线 与圆 相切 分 当 的斜率不为 时 设 的方程为 与 联立得 所以 从而 数学 文史类 试题答案 第 页 共 页 而 故 的方程为 而 在 槡 上 故 槡 从而 于是 此时 到 的距离为 直线 与圆 相切 综上 直线 与圆 相切 分 由 知 的面积为 槡 槡 槡 槡 上式中 当且仅当 等号成立 所以 面积的最小值为 分 解析 由题 令 则 知 为 的增函数 因为 槡 所以 存在 使得 即 分 所以 当 时 为减函数 当 时 为增函数 故当 时 取得最小值 也就是 取得最小值 分 故 于是有 即 所以有 证毕 分 评分细则 直接用 在 处取得最小值 则 的 扣掉 分 有 的单 调性分析 说明取得最小值的点不是端点 从而得到 视为正确 即可不扣分 分段给分点建议这样把握 求出一阶导数 分 二阶导数 分 正确说明 分 得出结论 分 共 分 由 知 的最小值为 当 即 时 为 的增函数 所以 由 中 得 即 故 满足题意 分 数学 文史类 试题答案 第 页 共 页 当 即 时 有两个不同的零点 且 即 若 时 为减函数 若 时 为增函数 所以 的最小值为 注意到 时 且此时 当 时 所以 即 又 而 所以 即 分 由于在 下 恒有 所以 当 时 所以 所以由 知 时 为减函数 所以 不满足 时 恒成立 故舍去 故 满足条件 综上所述 的取值范围是 分 选考题 分 解析 因为点 在曲线 上 为正三角形 所以点 在曲线 上 分 又因为点 在曲线 上 所以点 的极坐标是 分 从而 点 的极坐标是 分 思路 由 可知 点 的直角坐标为 槡 设点 的直角坐标为 则点 的直角坐标为 槡 将此代入曲线 的方程 有 槡 分 数学 文史类 试题答案 第 页 共 页 即点 在以 槡 为圆心 为半径的圆上 计算可知 槡 所以 的