湖南省岳阳市2020届高三教学质量检测（二）数学（文科）（PDF版）

文科数学第 1页共 6 页 岳阳市 2020 届高三教学质量检测试卷 二 数学 文科 数学 文科 分值 150 分 时量 120 分钟 第 I 卷 选择题 共 60 分 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 12 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 60 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 把答案填在答题卡上对应题号后的框内 答在试卷上无效 分 在每小题给出的四个选项中 只有一项是符合题目要求的 把答案填在答题卡上对应题号后的框内 答在试卷上无效 1 已知复数 1 3 zii i 为虚数单位 则 的虚部为 A 2 B 2iC 4D 4i 2 已知集合 10Ax x Bx xa 若ABR U 则实数a的值可以为 A B 1 C 0D 2 3 命题2 mp 命题 q直线012 1 myxm与直线032 mymx垂 直 则p是q成立的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件 C 充要条件D 既不充分也不必要条件 4 若 2 log 3a 4 log 7b 4 0 7c 则实数 a b c的大小关系为 A abc B cab C bac D cba 5 已知数列 n a为等差数列 n S为其前n项和 3 536 aaa 则 7 S A 42B 21C 7D 3 6 已知向量1a r 若 abab rr rr 则实数m的值为 A 1 2 B 3 2 C 1 2 D 3 2 7 在正方体 1111 DCBAABCD 中 E为 1 BC的中点 则异面直线DE与 11B A所成角的 正切值为 A 6 2 B 6 3 C 2 2 D 2 z 2 1 mb r 文科数学第 2页共 6 页 8 若某程序框图如图所示 则该程序运行后输出的值是 A 5B 4 C 3D 2 9 设F为抛物线 2 2yx 的焦点 A B C为该抛物线上三 点 若 0FAFBFC uuu ruuu ruuu rr 则 FAFBFC uuu ruuu ruuu r A 9B 6 C 4D 3 10 三国时代吴国数学家赵爽所注 周髀算经 中给出了勾股定理的绝妙证明 下面是 赵爽的弦图及注文 弦图是一个以勾股形之弦为边的正方形 其面积称为弦实 图中包含 四个全等的勾股形及一个小正方形 分别涂成红 朱 色及黄 色 其面积称为朱实及黄实 利用2 勾 股 股 勾 24 朱实 黄实 弦实 化简得 勾 2 股2 弦2 设勾股中勾股比为 1 3 若向弦图内随机抛掷 1000 颗图钉 大小忽略不计 则落在黄色图形内的图钉数大约为 A 866B 500C 300D 134 11 已知函数 3 f xxx 则曲线 yf x 过点 1 0的切线条数为 A 3 B 2 C 1 D 0 12 关于函数 f xcos xsinx 有下述四个结论 fx的图象关于y轴对称 fx在 有 3 个零点 fx的最小值为 2 fx在区间 4 单调递减 其中所有正确结论的序号是 A B C D 文科数学第 3页共 6 页 第 卷第 卷 非选择题 共 非选择题 共 90 分 二 填空题 本大题共 分 二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 请将答案填在答题卡对应题号 的位置上 答错位置 书写不清 模棱两可均不得分 分 请将答案填在答题卡对应题号 的位置上 答错位置 书写不清 模棱两可均不得分 13 在ABC 中 内角CBA 的对边长分别为cba 若bcaA 2 60 o 则 CBsinsin 14 已知实数x y满足 3 220 1 xy xy y 则目标函数31zxy 的最大值为 15 直三棱柱 111 ABCABC 的顶点都在同一球面上 若2ABAC 1 3AA BAC 90 则此球的表面积等于 16 如图 在平面直角坐标系xOy中 已知点 2 4 2 0 2 0 0 4 0 4 0 0 HQPNMO 线 段OM上的动点A满足 1 0 OMOA 线段 HN上的动点B满足HNHB 直线PA与直线 QB交于点L 设直线PA的斜率为k 直线QB的斜 率为 k 则kk 的值为 当 变化时 动点L一定在 填 圆 椭圆 双 曲线 抛物线 之中的一个 上 本题第一空 2 分 第二空 3 分 三 解答题 共三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必 考题 题为必 考题 每个试题考生都必须作答 第每个试题考生都必须作答 第 22 23 为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 为选考题 考生根据要求作答 一 必考题 17 本小题满分 12 分 如图 在三棱锥PABC 中 PAC 为正三角形 M 为棱PA的中点 ABAC 1 2 ACBC 平面PAB 平面PAC 文科数学第 4页共 6 页 1 求证 AB 平面PAC 2 若2AC 求三棱锥PBMC 的体积 18 本小题满分 12 分 等差数列 n a的公差为 2 842 aaa 分别等于等比数列 n b的第 2 项 第 3 项 第 4 项 1 求数列 n a和 n b的通项公式 2 若数列 n c满足 1 2 2 1 1 n n n b a c a c a c L 求数列 n c的前 2020 项的和 19 本小题满分 12 分 新型冠状病毒肺炎疫情爆发以来 疫情防控牵挂着所有人的心 某市积极响应上级部 门的号召 通过沿街电子屏 微信公众号等各种渠道对此次战 疫 进行了持续 深入的 宣传 帮助全体市民深入了解新冠病毒 增强战胜疫情的信心 为了检验大家对新冠病 毒及防控知识的了解程度 该市推出了相关知识问卷 随机抽取了年龄在 15 75 岁之间 的 200 人进行调查 并按年龄绘制频率分布直方图如图所示 把年龄落在区间 15 35 和 35 75 内的人分别称为 青少年人 和 中老年人 经统计 青少年人 和 中老年人 的人 数之比为 19 21 其中 青少年人 中有 40 人对防控的相关知识了解全面 中老年人 中 对防控的相关知识了解全面和不够全面的人数之比是 2 1 1 求图中 a b的值 2 现采用分层抽样在 25 35 和 45 55 中随机抽取 8 名市民 从 8 人中任选 2 人 求 2 人中至少有 1 人是 中老年人 的概率 是多少 3 根据已知条件 完成下面的 2 2 列联 表 并根据此统计结果判断 能否有 99 9 的把握认为 中老年人 比 青少年人 更加 全面了解防控的相关知识 了解全面了解不够全面合计 青少年人 中老年人 合计 文科数学第 5页共 6 页 附表及公式 附表及公式 2 2 n adbc K abcdacbd 其中 其中nabcd 2 P Kk 0 150 100 050 0250 0100 0050 001 k2 0722 7063 8415 0246 6357 87910 828 20 本小题满分 12 分 已知椭圆C 22 22 1 xy ab 0ab 的左 右焦点分别是 1 F 2 F P是椭圆上 一点 I为 12 PFF 的内切圆圆心 11 22 2 PIFIF FPIF SSS 且 12 PFF 的周长为 6 1 求椭圆C的方程 2 已知过点 0 1的直线与椭圆C交于A B两点 若 23OPOAOB uuu ruuu ruuu r 求四 边形OAPB面积的最大值 21 本小题满分 12 分 已知函数 ln x e xxxf x 1 求 xf的最大值 2 若1 1 bxe x xxf x 恒成立 求实数b的取值范围 文科数学第 6页共 6 页 二 选考题 共 二 选考题 共 10 分 请考生在第分 请考生在第 22 23 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的 第一题计分 题中任选一题作答 如果多做 则按所做的 第一题计分 22 选修 4 4 坐标系与参数方程 本小题满分 10 分 在新中国成立 70 周年国庆阅兵典礼中 众多群众在脸上贴着一颗红心 以此表达对 祖国的热爱之情 在数学中 有多种方程都可以表示心型曲线 其中有著名的笛卡尔心型 曲线 如图 在直角坐标系中 以原点O为极点 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系图中的 曲线就是笛卡尔心型曲线 其极坐标方程为 sin1 0 20 由指数函数的性质及对数的性质 可得 40 44 0 70 71log 4log 7cb 5 答案 答案 B 解析 解析 217 3 3 474536 aSaaaaQ 6 答案 答案 D 解析 解析 Q abab rr rr 0abab rr rr 即 2 2 0ab r r 将1a r 和 2 22 1 2 bm r 代入 得出 2 3 4 m 所以 3 2 m 7 答案 答案 C 解析 解析 11 ABCD 则CDE 就是异面直线 DE 与 11 AB 所成角 或其补角 设正方体棱长为 1 E 为 1 BC的中点 就是 1 BC 与 1 BC的交点 则 2 2 CE 由正方体知DCCE 2 tan 2 CE CDE CD 8 答案 答案 B 解析 解析 模拟执行循环结构的程序框图 可得 6 1ni 文科数学答案第 2页共 9 页 第 1 次循环 3 2ni 第 2 次循环 4 3ni 第 3 次循环 2 4ni 此时满足判断框的条件 输出4i 9 答案 答案 D 解析 解析 设 1 A x 1 y 2 B x 2 y 3 C x 3 y抛物线焦点坐标 1 0 2 F 准线方 程 1 2 x Q 0FAFBFC uuu ruuu ruuu rr 点F是ABC 重心 则 123 3 2 xxx 123 0yyy 而 11 11 22 FAxx 22 11 22 FBxx 33 11 22 FCxx 123123 111333 3 222222 FAFBFCxxxxxx 10 答案 答案 D 解析 解析 如图 设勾为a 则股为 3a 弦为2a 则图中大四边形的面积为 2 4a 小四边形的面积为 222 31 42 3 aa 则由测度比为面积比 可得图钉落在黄色图形内的概率 为2 2 42 3 3 1 42 a a 落在黄色图形内的图钉数大约为 3 1000 1 134 2 11 答案 答案 B 解析 解析 设切点坐标 3 000 P x xx 由 3 f xxx 得 2 31xfx 切线斜率 2 0 31kx 所以过 3 000 P x xx 的切线方程为 32 0000 31 yxxxxx 即 23 00 31 2yxxx Q切线过点 1 0 故 32 00 2310 xx 令 32 000 231h xxx 则 2 000 66h xxx 由 0 0h x 解得 0 0 x 或 0 1x 当 0 0 2 x 时 0 0h x 当 0 0 2 x 时 0 0h x 1 0h 故其图像与 x 轴交点 2 个 也就是切线条数为 2 12 答案 答案 C 解析 解析 fxcosxsinxcoif xs xs nx 则函数 fx为R上 的偶函数 故 正确 文科数学答案第 3页共 9 页 当 0 x 时 cos2sin 4 f xxsinxx 令 0f x 4 xk 则 fx在区 间 0 的零点只有一个 所以 fx在 有 2 个零点 故 错误 fx在 0 的最小值为 52 2sin21 42 f 因为函数 22i 2s n ffxcosxsinxxxxcos 所以函数 fx的周期 为2 由对称性以及周期性可知 函数 fx的最小值为 1 故 错误 当 0 x 时 5 444 x 函数y sinx 在区间 4 2 上单调递增 在区间 5 24 上 单调递减 即 fx在区间0 4 上单调递增 在区间 4 上单调递减 故 正确 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 4 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 20 分 请将答案填在答题卡对应题号的位置上 答 错位置 书写不清 模棱两可均不得分 分 请将答案填在答题卡对应题号的位置上 答 错位置 书写不清 模棱两可均不得分 13 答案 答案 3 4 解析 解析 因为 60A o a bc 2 所以 2 sinsinsinABC 所以 2 33 24 sinBsinC 14 答案 答案 6 解析 解析 作出可行域 如图所示 由图可知最优解为 2 1 M 所以 max 3 2 1 16z 15 答案 答案 17 解析 解析 如图 取 11 BC BC的中点 12 O O 由条件可知 1 O 2 O是 ABC 和 111 ABC 的外接圆的圆心 连接 12 OO 取 12 OO的中点O 连接OB O是直三棱柱 111 ABCABC 外接球的球心 22 222 2BC 1 2O B 22 11 917 2 42 OBO BOO 17 2 R 文科数学答案第 4页共 9 页 此球的表面积等于 2 417SR 16 答案 答案 1 4 双曲线 解析 解析 01OAOM uuu ruuuu r A 4 0 又 P 0 2 21 42 k HB HN uuu ruuur B 4 2 2 22 2 402 k kk 1 4 设 L x y 则 2 2 22224 00 yyyyy kkkk xxxxx 2 2 41 4 y x 即 22 1 416 yx 故答案为 1 4 双曲线 三 解答题 共三 解答题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 第 17 21 题为必考题题为必考题 每个试 题考生都必须作答 第 每个试 题考生都必须作答 第 22 23 为选考题 考生根据要求作答 为选考题 考生根据要求作答 17 本小题满分 12 分 解析 解析 1 PAC Q为等边三角形 且M为PA的中点 CMPA Q平面PAB 平面PAC 平面PAB 平面PACPA CM 平面 PAC CM 平面PAB AB Q平面PAB ABCM 4 分 又ABAC CACCM I AC CM 平面PAC AB 平面PAC 6 分 2 ABAC Q 且2AC 24BCAC 22 2 3ABBCAC 又PAC 是边长为2的等边三角形 且M为PA的中点 则CMPA 且 sin603CMPC o PMC 的面积为 113 13 222 PMC SPM CM 9 分 文科数学答案第 5页共 9 页 因此 三棱锥PBMC 的体积为 113 2 31 332 P BMCB PMCPMC VVSAB 12 分 18 本小题满分 12 分 解析 解析 1 依题意得 2 324 bb b 所以 2 111 6 2 14 aaa 1 分 所以 22 1111 12361628 aaaa 解得 1 2 a 2 分 2 n an 3 分 设等比数列 n b的公比为 q 所以 34 22 8 2 4 ba q ba 4 分 又 2 22 4 422 nn n bab 5 分 2 由 1 知 2 2 n nn an b 因为 1 112 121 2n nn nn cccc aaaa 当2n 时 112 121 2n n n ccc aaa 6 分 由 得 2n n n c a 即 1 2n n cn 7 分 又当1n 时 3 11 2 2cab 不满足上式 1 8 1 2 2 n n n c nn 8 分 数列 n c的前 2020 项的和 342021 2020 82 23 22020 2S 2342021 4 1 22 23 22020 2 9 分 设 23420202021 2020 1 22 23 22019 22020 2T 则 34520212022 2020 21 2223 2201922020 2T 由 得 23420212022 2020 22222020 2T 10 分 22020 2022 2 12 20202 12 2022 420192 11 分 所以 2022 2020 2019 24T 所以 2020 S 2022 2020 42019 28T 12 分 19 本小题满分 12 分 文科数学答案第 6页共 9 页 解析 解析 1 由题意得 19 0 03 10 40 21 0 02 10 40 b a 解得 0 0325 0 0175 a b 2 分 2 由题意得在 25 35 中抽取 6 人 记为 A B C D E F 在 45 55 中抽取 2 人 记为1 2 则从 8 人中任取 2 人的全部基本事件 共 28 种 列举如下 1 2 AB AC AD AE AF A A 1 2 1 2 BC BD BE BF B BCD CE CF C CDE 1 2 1 2 1 2 12DF D DEF E EFF 4 分 记 2 人中至少有 1 个是 中老年人 的概率是P 则 13 28 P 6 分 3 2 2 列联表如下 8 分 了解全面了解不够全面合计 青少年人405595 中老年人7035105 合计11090200 2 2 200 40 3555 70 12 15710 828 95 105 110 90 K 10 分 所以有 99 9 的把握认为 中老年人 比 青少年人 更加非常全面了解防控的相关知识 12 分 20 本小题满分 12 分 解析 解析 1 11 22 2 PIFIF FPIF SSS 1212 2 PFPFFF 即2ac 2 分 又 12 PFF 的周长为 6 1212 6PFPFFF 即226ac 由 可得2a 1c 则 3b 椭圆方程为 22 1 43 xy 4 分 2 设直线AB的方程为 1ykx 11 A x y 22 B xy 则由 22 1 1 43 ykx xy 联立消 y 可得 文科数学答案第 7页共 9 页 22 34880kxkx 12 2 12 2 0 8 34 8 34 k xx k x x k 7 分 23OPOAOB uuu ruuu ruuu r 3 OABOAPB SS 四边形 8 分 2 2 12 22 16 126 336 6 21 223434 四边形 OAPB k k Sxx kk 令 2 211kt 9 分 2 2 1 2 t k 2 6 66 6 1 21 2 OAPB t S t t t 四边形 又 1 2yt t 在区间 1 上单调递增 11 分 3y 2 6 OAPB S 四边形 四边形OAPB的面积最大值为2 6 12 分 21 本小题满分 12 分 解析 解析 1 ln x e f xxx x 定义域 0 22 1 1 1 1 xx exxxe fx xxx 1 分 由1 x exx f x在 0 1 增 在 1 减 max 1 1f xfe 4 分 2 1 e1 x f xxbx x ee lne1 xx x xx