一元多项式环的概念及其通用性质ppt课件

1 7 1一元多项式环的概念及其通用性质 一 多项式定义 设x是一个变量 文字 n是非负整数 表示式anxn an 1xn 1 a1x a0 其中an an 1 a1 a0全属于数域K 称为系数在数域K中的一元多项式 简称数域K上的一元多项式 注 1 一元多项式指只含一个变量 2 n是非负整数 3 多项式常用f x g x 等表示 或简记作f g等 设数域K上的多项式f x anxn an 1xn 1 a1x a0 1 an an 1 a1 a0称为f x 的系数 系数全为0的多项式称为零多项式 记作0 2 akxk k n n 1 1 0 称为f x 的k次项 ak称为f x 的k次项系数 3 零次项a0也称为f x 的常数项 5 非零常数是零次多项式 6 零多项式是唯一无法确定次数的多项式 7 只有f x 0 degf x 才有意义 4 若an 0 称anxn为f x 的首项 an称为f x 的首项系数 n称为f x 的次数 常记作degf x 或 二多项式的运算 设f x anxn an 1xn 1 a1x a0 g x bmxm bm 1xm 1 b1x b0 1 相等 f x g x 若f x 与g x 的所有同次项系数全相等 2 加 减 法 f x g x 将f x 与g x 的所有同次项系数相加 减 若m n时 为方便 可设bm 1 bm 2 bn 1 bn 0 f x g x an bn xn an 1 bn 1 xn 1 a1 b1 x a0 b0 3 乘法 f x g x 将f x g x 的各个项分别相乘后合并同类项 f x g x anxn an 1xn 1 a1x a0 bmxm bm 1xm 1 b1x b0 注 1 乘积f x g x 中xk 0 k n m 的系数是a0bk a1bk 1 ak 1b1 akb0其中 若i n 则ai 0 若j m 则bj 0 2 乘法运算式可按竖式进行 乘法运算式 例1 设f x 2x2 3x 1 g x x3 2x2 3x 2 则f x 2x2 3x 1 g x x3 2x2 3x 2 2x5 3x4 x34x4 6x3 2x2 6x3 9x2 3x4x2 6x 2 f x g x 2x5 7x4 x3 7x2 9x 2 一些性质 1 数域K上的两个多项式经过加 减 乘运算后 所得的结果仍然是数域K上的多项式2 deg f x g x max degf x degg x deg f x g x degf x degg x 3 若f x 0 g x 0 则f x g x 0 而且f x g x 的首项就等于f x 的首项与g x 的首项之积 f x g x 的首项系数等于f x 的首项系数与g x 的首项系数之积 运算规律 1 加法交换律2 加法结合律3 乘法交换律4 乘法结合律5 乘法对加法的分配律6 乘法消去律定义所有系数在数域K中的一元多项式全体 称为数域K上的一元多项式环 记作K x P称为K x 的系数域 设 2 在复数域上