（浙江专用）备战2020版高考数学考点一遍过考点08函数与方程（含解析）.docx

考点08函数与方程了解函数零点的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法.1函数零点的概念对于函数，我们把使成立的实数x叫做函数的零点2函数的零点与方程的根之间的联系函数的零点就是方程的实数根，也就是函数的图象与x轴的交点的横坐标即方程有实数根函数的图象与x轴有交点函数有零点【注】并非所有的函数都有零点，例如，函数f(x)=x21，由于方程x21=0无实数根，故该函数无零点3二次函数的零点二次函数的图象与x轴的交点(x1，0)，(x2，0)(x1，0)无交点零点个数2104函数零点的判定如果函数在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数在区间内有零点，即存在c(a，b)，使得，这个也就是方程的根.【注】上述定理只能判断出零点存在，不能确定零点个数.5常用结论(1)若连续不断的函数是定义域上的单调函数，则至多有一个零点；(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号；(3)函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点；(4)函数有零点方程有实数根函数与的图象有交点，其中为常数.考向一确定函数零点所在的区间函数零点的判定方法(1)定义法（定理法）：使用零点存在性定理，函数必须在区间a，b上是连续的，当时，函数在区间(a，b)内至少有一个零点(2)方程法：判断方程是否有实数解(3)图象法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如，作出和的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点.典例1 函数的一个零点所在的区间是A(0,1)B(1,2)C(2,3)D(3,4)【答案】C【解析】是连续的减函数，又，可得f（2）f（3）0，函数f（x）的其中一个零点所在的区间是(2,3)，故选：C.【名师点睛】本题考查了函数零点的判定定理，若函数单调，只需端点的函数值异号即可判断零点所在区间，是一道基础题典例2 在用二分法求方程的一个近似解时，现在已经将根锁定在区间(1,2)内，则下一步可以断定该根所在区间为_.【答案】【解析】令，故下一步可以断定根所在区间为，故填.1已知函数的零点在区间内，则的取值范围是ABCD2已知函数（1）证明方程f（x）=0在区间（0，2）内有实数解；（2）请使用二分法，取区间的中点两次，指出方程f（x）=0，x0，2的实数解x0在哪个较小的区间内考向二函数零点的个数判断函数零点个数的方法(1)解方程法：令f(x)=0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理法：利用定理不仅要求函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点或零点值所具有的性质(3)数形结合法：转化为两个函数的图象的交点个数问题，先画出两个函数的图象，看其交点个数，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点.典例3已知函数是定义在上的偶函数，当时，则函数的零点个数为ABCD【答案】B【解析】函数有零点即有解，即，由题意可知，当时，当时，所以当时，此时的取值范围为；当时，此时的取值范围为，时，；当时，此时的取值范围为，时，；当时，此时的取值范围为，所以当时，有两解，即当时函数有两个零点，因为函数是定义在上的偶函数，所以当时，也有两解，所以函数共有四个零点，故选B.【名师点睛】本题考查了函数的相关性质，主要考查分段函数的相关性质以及偶函数的相关性质，考查通过函数性质求函数解析式，考查化归与转化思想，考查函数的值域的求解，体现了综合性，是难题.3函数的零点个数是A1B2C3D4考向三函数零点的应用高考对函数零点的考查多以选择题或填空题的形式出现，有时也会出现在解答题中常与函数的图象及性质相结合，且主要有以下几种常见类型及解题策略1已知函数零点所在区间求参数或参数的取值范围根据函数零点或方程的根求解参数的关键是结合条件给出参数的限制条件，此时应分三步：判断函数的单调性；利用零点存在性定理，得到参数所满足的不等式；解不等式，即得参数的取值范围在求解时，注意函数图象的应用2已知函数零点的个数求参数或参数的取值范围一般情况下，常利用数形结合法，把此问题转化为求两函数图象的交点问题3借助函数零点比较大小或直接比较函数零点的大小关系要比较f(a)与f(b)的大小，通常先比较f(a)、f(b)与0的大小若直接比较函数零点的大小，则可有以下三种常用方法：求出零点，直接比较大小；确定零点所在区间；同一坐标系内画出函数图象，由零点位置关系确定大小.典例4对任意实数a，b定义运算“”：,设，若函数恰有三个零点，则实数k的取值范围是A(2,1) B0,1C2,0) D2,1)【答案】D【解析】由新定义可得，即.其图象如图所示，所以由恰有三个零点可得，1k2，所以2k1.故选D.4已知若方程有唯一解，则实数的取值范围是ABCD1下列函数中，既是偶函数又存在零点的是ABCD2函数在的零点个数为A2B3C4D53命题，命题函数在上有零点，则是的A充分必要条件B充分不必要条件C必要不充分条件D既不充分也不必要条件4已知函数，若函数存在零点，则实数a的取值范围是ABCD5已知是定义在上的奇函数，且，当时，则函数在区间上的所有零点之和为A2B4C6D86若函数f(x)=e-x-ln(x+a)在(0,+)上存在零点，则实数a的取值范围是ABCD7已知函数，若方程恰有三个不同的实数根，则实数的取值范围为ABCD8已知定义域为的函数既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当时，则函数在区间上的零点个数是_9已知函数，则函数的零点个数为_.10已知函数.（1）若，判断函数的零点个数；（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的零点，求实数的取值范围；（3）已知且，求证：方程在区间上有实数根.1（2019年高考浙江）已知，函数若函数恰有3个零点，则Aa1，b0 Ba0Ca1，b1，b02（2019年高考全国卷理数）设函数的定义域为R，满足，且当时，若对任意，都有，则m的取值范围是ABCD3（2019年高考天津文数）已知函数若关于x的方程恰有两个互异的实数解，则a的取值范围为ABCD4（2018年高考新课标I卷理科）已知函数若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是A1，0）B0，+）C1，+）D1，+）5（2017年高考新课标卷理科）设函数，则下列结论错误的是A的一个周期为 B的图象关于直线对称C的一个零点为 D在(,)单调递减6（2017年高考新课标卷理科）已知函数有唯一零点，则a=ABCD17(2016年高考天津卷理科)已知函数(a0，且a1)在R上单调递减，且关于x的方程恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是ABCD8（2015年高考安徽卷文科）下列函数中，既是偶函数又存在零点的是Ay=ln xBCy=sin xDy=cos x9（2015年高考天津卷文科）已知函数，函数，则函数的零点个数为A2 B3 C4D510（2019年高考江苏）设是定义在R上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，其中k0.若在区间(0，9上，关于x的方程有8个不同的实数根，则k的取值范围是11（2018年高考新课标卷理科）函数在的零点个数为12（2018年高考浙江卷）已知R，函数f(x)=，当=2时，不等式f(x)1时，令y0得x(a+1，+），此时函数单调递增，令y0得x0，a+1），此时函数单调递减，则函数最多有2个零点.根据题意，函数yf（x）axb恰有3个零点函数yf（x）axb在（，0）上有一个零点，在0，+）上有2个零点，如图：b1-a0且-b013(a+1)3-12(a+1)(a+1)2-b0，解得b0，1a0，b-16（a+1）3，则a1，b0.故选C【名师点睛】本题考查函数与方程，导数的应用.当x0时，yf（x）axbxaxb（1a）xb最多有一个零点；当x0时，yf（x）axb=13x3-12（a+1）x2b，利用导数研究函数的单调性，根据单调性画出函数的草图，从而结合题意可列不等式组求解2【答案】B【解析】，时，；时，；时，如图：当时，由解得，若对任意，都有，则.则m的取值范围是.故选B.【名师点睛】本题考查了函数与方程，二次函数.解题的关键是能够得到时函数的解析式，并求出函数值为时对应的自变量的值.3【答案】D【解析】作出函数的图象，以及直线，如图，关于x的方程恰有两个互异的实数解，即为和的图象有两个交点，平移直线，考虑直线经过点和时，有两个交点，可得或，考虑直线与在时相切，由，解得（舍去），所以的取值范围是.故选D.【名师点睛】根据方程实数根的个数确定参数的取值范围，常把其转化为曲线的交点个数问题，特别是其中一个函数的图象为直线时常用此法.4【答案】C【解析】画出函数的图象，在y轴右侧的图象去掉，再画出直线，之后上下移动，可以发现当直线过点（0,1）时，直线与函数图象有两个交点，并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图象有两个交点，即方程有两个解，也就是函数有两个零点，此时满足，即，故选C【名师点睛】该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图象以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.即：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图象，再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.5【答案】D【解析】函数的最小正周期为，则函数的周期为，取，可得函数的一个周期为，选项A正确；函数图象的对称轴为，即，取，可得y=f(x)的图象关于直线对称，选项B正确；，函数的零点满足，即，取，可得的一个零点为，选项C正确；当时，函数在该区间内不单调，选项D错误.故选D.【名师点睛】（1）求最小正周期时可先把所给三角函数式化为或的形式，则最小正周期为；奇偶性的判断关键是看解析式是否为或的形式.（2）求的对称轴，只需令，求x即可；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令即可.6【答案】C【解析】函数的零点满足，设，则，当时，；当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，当时，函数取得最小值，为.设，当时，函数取得最小值，为，若，函数与函数没有交点；若，当时，函数和有一个交点，即，解得.故选C.【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用.7【答案】C 【解析】当时，f(x)单调递减，必须满足0，故0a，此时函数f(x)在0，)上单调递减，若f(x)在R上单调递减，还需，即，所以结合函数图象，当x0时，函数y=|f(x)|的图象和直线y=2x有且只有一个公共点，即当x0时，方程|f(x)|=2x只有一个实数解因此，只需当x0时，方程|f(x)|=2x恰有一个实数解根据已知条件可得，当x0时，f(x)0，即只需方程f(x)=2x恰有一个实数解，即，即在(，0)上恰有唯一的实数解，判别式，因为，所以当3a20，即a时，方程有一个正实根、一个负实根，满足要求；当3a2=0，即a=时，方程的一个根为0，一个根为，满足要求；当3a20，即a时，因为 (2a1)0，此时方程有两个负实根，不满足要求；当a=时，方程有两个相等的负实根，满足要求综上可知，实数a的取值范围是故选C8【答案】D 【解析】选项A：的定义域为(0,+)，故不具备奇偶性，故A错误；选项B：是偶函数，但无解，即不存在零点，故B错误；选项C：是奇函数，故C错；选项D：是偶函数，且，故D项正确.9【答案】A 【解析】方法一：分别画出函数的草图，观察发现有2个交点.方法二：当时，,所以,此时函数的小于零的零点为 ;当时，,函数无零点;当时, ,函数大于2的零点为.综上可得函数的零点的个数为2.故选A.10【答案】【解析】作出函数，的图象，如图：由图可知，函数的图象与的图象仅有2个交点，即在区间(0，9上，关于x的方程有2个不同的实数根，要使关于的方程有8个不同的实数根，则与的图象有2个不同的交点，由到直线的距离为1，可得，解得，两点连线的斜率，综上可知，满足在(0,9上有8个不同的实数根的k的取值范围为.【名师点睛】本题考查分段函数，函数的图象，函数的性质，函数与方程，点到直线的距离，直线的斜率等，考查知识点较多，难度较大.正确作出函数，的图象，数形结合求解是解题的关键因素.11【答案】【解析】，由题可知或，解得或，故有3个零点.【名师点睛】本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题.解题时，首先求出的范围，再由函数值为零，得到的取值可得零点个数.12【答案】(1,4) 【解析】由题意得或，所以或，即，故不等式f(x)0的解集是当时，此时，即在上有两个零点；当时，由在上只能有一个零点得.综上，的取值范围为.【名师点睛】根据分段函数，转化为两个不等式组，分别求解，最后求并集.先讨论一次函数零点的取法，再对应确定二次函数零点的取法，即得参数的取值范围.已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解13【答案】【解析】分类讨论：当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则；当时，方程即，整理可得：，很明显不是方程的实数解，则.令，其中，则原问题等价于函数与函数有两个不同的交点，求的取值范围.结合对勾函数和函数图象平移的规律绘制函数的图象，同时绘制函数的图象如图所示，考查临界条件，结合观察可得，实数的取值范围是.【名师点睛】本题的核心是考查函数的零点问题，由题意分类讨论和两种情况，然后绘制函数图象，数形结合即可求得最终结果.函数零点的求解