微积分基础知识幻灯片

1 第0章基本知识 一 什么是高等数学 初等数学 研究对象为常量 以静止观点研究问题 高等数学 研究对象为变量 运动和辩证法进入了数学 数学中的转折点是笛卡儿的变数 有了变数 运动进入了数学 有了变数 辩证法进入了数学 有了变数 微分和积分也就立刻成为必要的了 恩格斯 2 1 分析基础 函数 极限 连续 2 微积分学 一元微积分 上册 下册 3 向量代数与空间解析几何 4 无穷级数 5 常微分方程 二 主要内容 多元微积分 3 三 如何学习高等数学 1 认识高等数学的重要性 培养浓厚的学习兴趣 会运用数学能力 2 学数学最好的方式是做数学 聪明在于学习 天才在于积累 学而优则用 学而优则创 由薄到厚 由厚到薄 马克思 一门科学 只有当它成功地运用数学时 才能达到真正完善的地步 华罗庚 4 3 极限的思维方法1 计算圆的周长 5 6 3 计算曲边梯形面积 曲边梯形面积为 7 4 无穷级数 8 具备的数学素质 从实际问题抽象出数学模型的能力计算与分析的能力了解和使用现代数学语言和符号的能力使用数学软件学习和应用数学的能力 9 一 基本概念 1 集合 具有某种特定性质的对象的全体 组成集合的事物称为该集合的元素 P x 表示元素具有性质 第0章基本知识 10 2 邻域 11 二 函数 12 函数类别 显函数y f x 隐函数F x y 0参量函数初等代数函数 只含代数运算显函数 分段表达函数单值函数多值函数 基本初等函数 幂函数 指数函数 对数函数 三角函数和反三角函数 13 1 符号函数 几个特殊的函数举例 14 2 取整函数y x x 表示不超过的最大整数 阶梯曲线 15 3 狄利克雷函数 16 4 取最值函数 在自变量的不同变化范围中 对应法则 用不同的式子来表示的函数 称为分段函数 17 复合函数 定义 设函数y f u u U 函数u x x X 其值域为 X u u x x X U 则称函数y f x 为x的复合函数 代入法 18 复合函数 则 设有函数链 称为由 确定的复合函数 复合映射的特例 u称为中间变量 注意 构成复合函数的条件 不可少 例如 函数链 函数 但函数链 不能构成复合函数 可定义复合 19 注 复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成 复合函数 代入法 20 初等函数 定义 由基本初等函数经过有限次四则运算及有限次复合运算所构成并可用一个式子表示的显函数 称为初等函数 例 不是初等函数 为初等函数 不是初等函数 为初等函数 可表为 故为初等函数 21 双曲函数与反双曲函数 奇函数 偶函数 双曲函数 22 奇函数 有界函数 23 双曲函数常用公式 24 2 反双曲函数 奇函数 25 26 奇函数 27 三 函数的几种特性 设函数 且有区间 1 有界性 使 称 A为上界 B为下界 2 单调性 为有界函数 当 时 称 为I上的 单调增函数 称 为I上的 单调减函数 28 3 奇偶性 且有 若 则称f x 为偶函数 若 则称f x 为奇函数 说明 若 在x 0有定义 为奇函数时 则当 必有 例如 偶函数 双曲余弦 记 29 例1判断函数的奇偶性 解 f x 是奇函数 例2设f x 在R上定义 证明f x 可分解为一个奇函数与一个偶函数的和 证明 设 显然g x 是偶函数 h x 是奇函数 而 故命题的证 30 4 周期性 且 则称 为周期函数 若 称l为周期 一般指最小正周期 周期为 周期为 注 周期函数不一定存在最小正周期 例如 常量函数 狄里克雷函数 x为有理数 x为无理数 31 四 反函数 若函数 为单射 则存在逆映射 习惯上 的反函数记成 称此映射 为f的反函数 其反函数 减 减 1 y f x 单调递增 且也单调递增 性质 32 2 函数 与其反函数 的图形关于直线 对称 例如 对数函数 互为反函数 它们都单调递增 指数函数 33 例1证明若函数y f x 是奇函数且存在反函数x f 1 y 则反函数也是奇函数 证明 反函数是奇函数 例2 解 当x 0时 y 1 当x 0时 y 1 x y 1 34 几何解释 数列的极限 P6 数列xn当n无限变大时 xn能无限制的接近唯一确定常数a 35 n 5 n 7 n 11 n 20 36 如 唯一性 有界性 局部保号性 夹挤规则 两边夹 37 证 用反证法 及 且 取 因 故存在N1 从而 同理 因 故存在N2 使当n N2时 有 收敛数列的极限唯一 使当n N1时 假设 从而 矛盾 因此收敛数列的极限必唯一 则当n N时 故假设不真 满足的不等式 38 两边夹准则 证 由条件 2 当 时 当 时 令 则当 时 有 由条件 1 即 故 39 两边夹法则 若 则 40 例 证明数列 是发散的 证 用反证法 假设数列 收敛 则有唯一极限a存在 取 则存在N 但因 交替取值1与 1 内 而此二数不可能同时落在 长度为1的开区间 使当n N时 有 因此该数列发散 41 例 P10 证明若X2k 1 a X2k a k 则数列 Xn 收敛于a 证 对任 0 K1 当k K1时X2k落在 a a 即满足 2k a 1 K2当k K2时X2k 1落在 a a 即满足 2k 1