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文档简介

一 可分离变量的微分方程 二 齐次方程 四 变量代换法解方程 第二节一阶微分方程 三 一阶线性微分方程 一 可分离变量的微分方程 如果一阶微分方程可以化为下列形式 则称原方程为可分离变量的微分方程 运用积分方法即可求得可分离变量方程的通解 其中C为积分后出现的任意常数 3 例1求微分方程 解 分离变量 两端积分 4 解 两边同时积分 得 故所求通解为 5 6 7 二 齐次方程 变量代换 代入原方程 得 形如 8 解 于是 原方程化为 两边积分 得 即 9 例4求解微分方程 微分方程的通解为 解 10 例5求解微分方程 解 11 微分方程的解为 12 三 一阶线性微分方程 形如 的方程称为一阶线性微分方程 方程称为一阶齐次线性方程 方程称为一阶非齐次线性方程 习惯上 称 为方程 所对应的齐次方程 13 一阶齐次线性方程的解 运用分离变量法 得 两边积分 得 故 14 的解存在 且唯一 其通解为 15 解 故该一阶齐线性方程的通解为 套公式 16 解 先求此一阶齐线性方程的通解 故该初值问题的解为 17 一阶非齐次线性方程的解 比较两个方程 请问 你有什么想法 请问 你有什么想法 行吗 18 故 即 19 上式两边积分 求出待定函数 20 21 解 例6 第一步 求相应的齐次方程的通解 22 解 例6 第二步 常数变易法求非齐次方程的通解 23 解 所以 方程的通解为 套公式 24 解 原方程可以改写为 这是一个以y为自变量的一阶非齐线性方程 其中 故原方程的通解为 25 四 利用变量代换求微分方程的解 26 四 利用变量代换求微分方程的解 解 代入原方程 原方程的通解为 27 例11用适当的变量代换解下列微分方程 解 所求通解为 28 解 分离变量法得 所求通解为 29 解 代入原式 分离变量法得 所求通解为 另解 一阶线性微分方程 30 五 小结 1 可分离变量的微分方程 分离变量法 1 分离变量 2 两端积分 隐式通解 可分离变量的微分方程解法 31 3 线性
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