部审湘教版八年级数学下册课堂同步教学课件第1章 小结与复习

第1章直角三角形小结与复习 一 直角三角形的性质1 直角三角形的两个锐角 2 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 3 在直角三角形中 30 角所对的直角边等于斜边的 4 勾股定理 如果直角三角形的两条直角边长分别为a b 斜边长为c 那么 互余 一半 一半 a2 b2 c2 二 直角三角形的判定1 有一个角是 的三角形是直角三角形 2 勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a b c满足 那么这个三角形是直角三角形 直角 a2 b2 c2 思维诊断 打 或 1 有两个角互余的三角形是直角三角形 2 任何一个三角形都具有两条边长的平方和等于第三条边长的平方 3 一个三角形中 30 角所对的边等于最长边的一半 热点考向一直角三角形的性质 例1 如图 在Rt ABC中 ACB 90 AB的垂直平分线DE交AC于点E 交BC的延长线于F 若 F 30 DE 1 则BE的长是 思路点拨 根据直角三角形的两个锐角互余 求得 DBF 从而求得 A的度数 在直角三角形中 30 角所对的直角边等于斜边的一半 求得AE的长 再由线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等 即可求得BE的长 自主解答 在Rt FDB中 F 30 DBF 60 在Rt ABC中 ACB 90 ABC 60 A 30 在Rt AED中 A 30 DE 1 AE 2 DE垂直平分AB BE AE 2 答案 2 规律方法 直角三角形斜边上中线的作用1 直角三角形斜边上的中线与斜边的数量关系是研究线段倍 分问题的重要依据之一 2 联想到直角三角形斜边上的中线 可以沟通角与角或线段与线段之间的关系 把题设与结论有机地结合起来 使问题得以圆满的解决 3 重要辅助线 1 遇直角三角形斜边的中点 添加斜边上的中线为辅助线 2 构造直角三角形 凸显斜边上的中线 真题专练 1 如图 一副分别含有30 角和45 角的两个直角三角板 拼成如图所示图形 其中 C 90 B 45 E 30 则 BFD的度数是 A 15 B 25 C 30 D 10 2 如图 在 ABC中 AB AC 10 BC 8 AD平分 BAC交BC于点D 点E为AC的中点 连接DE 则 CDE的周长为 A 20B 18C 14D 13 知识拓展 直角三角形的两个结论 1 在直角三角形中 如果一条直角边等于斜边的一半 那么这条直角边所对的锐角等于30 2 如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半 那么这个三角形是直角三角形 热点考向二勾股定理 例2 如图 在Rt ABC中 ABC 90 AB 3 AC 5 点E在BC上 将 ABC沿AE折叠 使点B落在AC边上的点B 处 则BE的长为 思路点拨 利用勾股定理求出BC 4 设BE x 则CE 4 x 在Rt B EC中 利用勾股定理解出x的值即可 自主解答 由折叠的性质得BE B E AB AB 设BE x 则B E x CE 4 x B C AC AB AC AB 2 在Rt B EC中 B E2 B C2 EC2 即x2 22 4 x 2 解得 x 答案 规律方法 勾股定理的应用1 在直角三角形中 已知一边长和另外两边的关系时 常借助勾股定理列出方程求解 在解决折叠问题时 边长的计算经常用到上述方法 2 作长度为 n为正整数 的线段 注意 在直角三角形中 已知两边利用勾股定理求第三边时 必须分清直角边和斜边 在条件不明确的条件下 要分类讨论 真题专练 1 如图 点E在正方形ABCD内 满足 AEB 90 AE 6 BE 8 则阴影部分的面积是 A 48B 60C 76D 80 2 如图 有两棵树 一棵高12m 另一棵高6m 两树相距8m 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢 小鸟至少飞行m 热点考向三勾股定理的逆定理 例3 如图 点E是正方形ABCD内的一点 连接AE BE CE 将 ABE绕点B顺时针旋转90 到 CBE 的位置 若AE 1 BE 2 CE 3 则 BE C 度 解题探究 1 BE 是由BE旋转多少度得到 BE 与BE什么关系 提示 BE 是由BE旋转90 得到的 BE BE且BE BE 2 若连接EE 得到的 EBE 是一个什么特殊的三角形 提示 EBE 是等腰直角三角形 3 EE C是直角三角形吗 若是 是怎样得到的 提示 EE C是直角三角形 根据勾股定理的逆定理得之 规律方法 运用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的三个步骤1 确定三角形的最长边 2 计算最长边的平方以及其他两边的平方和 3 判断最长边的平方是否与其他两边的平方和相等 若相等 则此三角形为直角三角形 否则不是直角三角形 知识归纳 判定直角三角形的两种方法 1 当已知条件是 三条边 或三边的比时 利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是否是直角三角形 2 如果三角形某一边的中线等于这边的一半 那么这个三角形是直角三角形 命题新视角用勾股定理解展开与折叠问题 例 如图 在矩形纸片ABCD中 AB 12 BC 5 点E在AB上 将 DAE沿DE折叠 使点A落在对角线BD上的点A 处 则AE的长为 审题视点 规律方法 解图形折叠问题的思路1 寻找出折叠前后的不变量 即相等线段 相等角 2 发现图形中直角三角形 并能灵活应用勾股定理 3 利用勾股定理建立方程求解 巧思妙解 巧用面积 事半功倍 典例 在Rt ABC中 C 90 AC 9 BC 12 则点C到AB的距离是 A B C D 解法对比 本题的 常规解法 既证明相似三角形 又两次用到勾股定理 并且在求CD时计算比较复杂 容易出错 巧