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25 映射的概念、指数函数【知识网络】1映射；2指数概念；3指数运算；4指数函数；5指数函数的图象及其性质【典型例题】例1（1）已知集合P=，Q=,下列各表达式中不表示从P到Q的映射的是（ C ）A B C D提示：当时，故答案为C（2）图中曲线、分别是指数函数、的图象，则、与1的大小关系是（ D ）A、1 B、1C、1 D、1提示：在第一象限内，指数函数图象的排列是“底大的在上”，增函数的底大于1，减函数的底大于0且小于1（3）函数的值域是（ A ）ABCDR提示：令，则，其值域为，答案为A（4）函数得单调递增区间是提示：由得：，以为底的指数函数是减函数，则二次函数()的减区间就是所给函数的增区间（5）已知，则三个数由小到大的顺序是提示：，又，故，所以，例2计算下列各式：（1）；（2）解：（1）原式（2）令，则：原式例3已知函数（1）判断函数的奇偶性；（2）求的值域；（3）证明在(，+)上是增函数解：（1）函数的定义域为R，所以是奇函数（2）由得：，由，得：，故，函数值域为(1，1).（3）设，则。=， 又，即， 函数在(，+)上是增函数例4已知函数在区间上的最大值是，求的值.解： ，则，对称轴方程为.当时，此时，关于单调增，当时，此时，关于单调增，综上：或【课内练习】1已知映射：AB，其中集合A=3，2，1，集合中的元素都是中元素在映射下的象，且对于任意的，在中和它对应的元素是，则集合中元素的个数是（A）提示：B2的值是（ D ）A1 B、 C、 D、提示：，答案为D3设m,nN*,，则下列各式中正确的有（ C ）个； ；A5 B4 C3 D2提示：正确，错误4.当时，函数和的图象只可能是（ A）提示：先考虑直线中的、的正负，再验证的单调性，易知，答案为A5在某种细菌培养过程中，每30分钟分裂一次（一个分裂为两个），经过4个小时，这种细菌由一个可繁殖成256个提示：经过4个小时，共有细菌（个）6若函数的定义域为，则函数的定义域为 提示：由得，7若，则 .提示：由得：， 原式8求函数的定义域. 解：要使函数有意义必须： 定义域为：9若，求函数的最大值与最小值.解：令， 当时，有最小值；当时，有最大值.10讨论函数的奇偶性与单调性及其值域.解：函数的定义域是 又，故函数为奇函数任取，且，则又为增函数 当时，而，即，所以是上的增函数函数的值域为（1，1）.作业本A组1在M到N的映射中，下列说法正确的是（ D ）AM中有两个不同的元素对应的象必不相同 BN中有两个不同的元素的原象可能相同CN中的每一个元素都有原象 DN中的某一个元素的原象可能不只一个提示：M中两个不同的元素对应的象可以相同， N中的元素可以没有原象答案为D2函数是指数函数，则有（ C）. A或 B C D且提示：得：，答案为C3已知，则下列关系中正确的是（ D ） A B C D 提示：，有在R上为减函数知，答案为D 4在定义域内是减函数，则的取值范围是（1，2）提示：由解得：5若指数函数在1,1上的最大值与最小值的差是1，则底数提示：若，则，即，解得：若，则即，解得：综上所述；6.比较下列个组数的大小：（1）与；（2）.解：（1）且， .（2），7.求函数的值域及单调区间.解：令，则，,即 函数的值域为.函数在R上为减函数，当时，为增函数，当时，为减函数 所给函数的增区间为，减区间为.8已知函数的对称轴为直线，且，比较的大小解：由题意：，在上单调递增当时，则；当时，则；当时，则B组1设它的最小值是（ ）A BB D0提示：设，得，当时，2下列：MN的对应关系中,不是映射的是（C ） AM=| ，N=0,1，：取正弦 BM=|，N=1,1，：取余弦 CM=0,1,2，N=0, 1, ，：取倒数 DM =3,2,1,2,3，N=1,4,9,16，：取平方提示：C中，0没有象3.函数的单调递增区间是（ D ） A、 B、 C、 D、提示：,的减区间就是所给函数的增区间.答案为D4设，使不等式成立的的集合是提示：， 原不等式可以化为：，解得5若M=1,0,1 N=2,1,0,1,2从M到N的映射满足：对每个M恒使+ 是偶数, 则映射有_12_个提示：中的元素与其在中的象的和为偶数，故为偶数时，为偶数，为奇数时，为奇数，故符合条件的映射的个数为（个）6已知，求函数的最大值和最小值解 ：由得：，解得：, 令，则, 当时，此时，；当时，此时，7.若，且，求证：(1)当时，；(2)当时，.证明：，且a+b=c， ，（1）当时，所以；（2）当时，所以.8.（1）已知是奇函数，求常数m的值；（2）画出函数的图象，并利用图象回答：为何值时，方程|无解？有一解