经典例题题型一平面向量的数量积

第三节平面向量的数量积及平面向量的应用举例 1 两个向量的夹角 1 定义已知两个 向量a和b 作 2 范围向量夹角q的范围是 a与b同向时 夹角q a与b反向时 夹角q 3 向量垂直如果向量a与b的夹角是 则a与b垂直 记作 则 AOB q叫做向量a与b的夹角 0 q 180 0 180 90 a b 非零 基础梳理 a b cos a b cos 0 a cos b在a方向上的投影 a cos 0 a b a b b a a b a b a c b c 联系 向量问题 向量运算 几何关系 x1x2 y1y2 x1x2 y1y2 0 3 2011 嘉兴模拟 向量a的模为10 它与x轴的夹角为150 则它在x轴上的投影为 基础达标 2 2 解析 a b 3 5 a b 5 5 cos a b a b 3 解析 a在x轴上的投影为 a cos150 10 4 解析 令则 a 2 0 b 1 2 所以 b a b 3 5 教材改编题 已知a 1 6 b 2 k 若a b k 若a b 则k 12 经典例题 题型一平面向量的数量积 例1 已知a b是非零向量 1 若a b 判断函数f x xa b xb a 的奇偶性 2 若f x 为奇函数 证明 a b 解 1 f x x2a b b2 a2 x a b a b a b 0 f x b2 a2 x 当 a b 时 f x 为奇函数 当 a b 时 f x 既是奇函数又是偶函数 2 因为f x 为奇函数 所以f x f x 对于x R恒成立 所以f 0 0 即 a b 0 又a b是非零向量 故a b 变式1 1已知向量a cosx sinx b 3 1 且f x a b 求f x 的最大值 解 f x a b cosx sinx 2 cosx sinx f x 2sin x f x max 2 题型二模与垂直问题 例2 1 2011 衡阳模拟 在直角坐标系xOy中 i j分别是与x y轴正方向同向的单位向量 在 ABC中 i 2j 2i j 则 ABC的形状为 A 锐角三角形B 钝角三角形C 等腰直角三角形D 等边三角形 2 2010 广东改编 已知向量a 1 1 b 2 5 c 3 x 若 2a b c 1 求实数x的值 若 8a b c 求实数x的值 解 1 即AB AC AB AC ABC为等腰直角三角形 故选C 2 2a b c 2 1 1 2 5 3 x 1 7 x 又 2a b c 1 1 7 x 2 0 x 7 8a b 8 1 1 2 5 6 3 由 8a b c 得18 3x 0 x 6 变式2 1已知 a 4 b 8 a与b的夹角是120 1 计算 a b 4a 2b 2 k为何值时 a 2b ka b 解 由已知 a b 4 8 16 1 a b 2 a2 2a b b2 16 2 16 64 48 a b 4a 2b 2 16a2 16a b 4b2 16 16 16 16 4 64 3 162 4a 2b 2 若 a 2b ka b 则 a 2b ka b 0 ka2 2k 1 a b 2b2 0 即16k 16 2k 1 2 64 0 k 7 变式3 1 2011 北京模拟 已知非零向量a b满足 a 2 b 且b a b 求向量a b的夹角 a b 解 解 a 2 b b a b b a b2 0 a b b 2 又 cos a b 又 a b 0 a b 易错警示 例 已知a b均为单位向量 且a b 若向量a b与 a 2b的夹角为钝角 求 的取值范围 错解 a b 1 a b 0 a b a 2b a2 2 2 a b 2 b2 2 3 又a b与 a 2b的夹角为钝角 a b a 2b 0 3 0 0 错解分析cos a b 0 a b 本题中 a b a 2b 为钝角 故须 a b a 2b 时的 的值舍去 正解 a b与 a 2b的夹角为钝角 a b a 2b 0 即 0 且 综上 的取值范围为 0 链接高考 2 2010 安徽 设向量a 1 0 b 则下列结论中正确的是 A a b B a b C a b与b垂直D a b知识准备 1 向量的长度及数量积