D8_2偏导数与全微分-2

第二节 机动目录上页下页返回结束 一 偏导数概念及其运算 二 全微分概念 偏导数和全微分 第八章 三 可微 偏导数 连续的关系 四 全微分运算及近似计算 一 偏导数定义及其计算法 引例 研究弦在点x0处的振动速度与加速度 就是 中的x固定于 求 一阶导数与二阶导数 x0处 关于t的 机动目录上页下页返回结束 将振幅 1 多元函数偏导数的概念 定义1 在点 存在 的偏导数 记为 的某邻域内 则称此极限为函数 极限 设函数 机动目录上页下页返回结束 注意 同样可定义对y的偏导数 若函数z f x y 在域D内每一点 x y 处对x 则该偏导数称为偏导函数 也简称为 偏导数 记为 机动目录上页下页返回结束 或y偏导数存在 例如 三元函数u f x y z 在点 x y z 处对x的 偏导数的概念可以推广到二元以上的函数 机动目录上页下页返回结束 偏导数定义为 请自己写出 2 二元函数偏导数的几何意义 是曲线 在点M0处的切线 对x轴的斜率 在点M0处的切线 斜率 是曲线 机动目录上页下页返回结束 对y轴的 例1 求 解法1 解法2 在点 1 2 处的偏导数 机动目录上页下页返回结束 3 函数偏导数的计算举例 例2 设 证 例3 求 的偏导数 解 求证 机动目录上页下页返回结束 偏导数记号是一个 例4 已知理想气体的状态方程 求证 P81例3 4 证 说明 R为常数 不能看作 分子与分母的商 此例表明 机动目录上页下页返回结束 整体记号 机动目录上页下页返回结束 二 全微分的概念 1 一元微分概念的推广 一元函数y f x 的微分 猜想 二元函数z f x y 的微分 定义 如果函数z f x y 在定义域D的内点 x y 可表示成 其中A B不依赖于 x y 仅与x y有关 称为函数 在点 x y 的全微分 记作 若函数在域D内各点都可微 则称函数 f x y 在点 x y 可微 机动目录上页下页返回结束 处全增量 则称此函数在D内可微 2 定义 在上节已证f x y 在点 0 0 并不连续 机动目录上页下页返回结束 三 全微分 偏导数 连续的关系 1 偏导数 连续的关系 函数z f x y 在点 x y 偏导数存在 函数在该点连续 反例1 P81例3 3 由定义 且 反例2 P89Ex5 所以在 0 0 点连续 但是 不存在 即 不存在 同理 不存在 上节例目录上页下页返回结束 2 可微 偏导数的关系 下面定理给出了可微的必要条件 函数可微 偏导数存在 定理1 可微的必要条件 若函数z f x y 在点 x y 可微 则该函数在该点偏导数 必存在 且有 证 由全增量公式 得到对x的偏增量 同样可证 因此有 机动目录上页下页返回结束 反例3 P84 例3 5 1 用定义可证在点 0 0 偏导数存在 且 2 用定义可证函数在点 0 0 不可微 因此 函数在点 0 0 不可微 机动目录上页下页返回结束 推广 类似可讨论三元及三元以上函数的可微性问题 例如 三元函数 由微分的定义 把自变量的增量用微分表示 记作 故有下述叠加原理 称为偏微分 的全微分为 于是 机动目录上页下页返回结束 函数z f x y 在点 x y 可微 由微分定义 函数在该点连续 机动目录上页下页返回结束 3 可微 连续的关系 证明 即在点连续 由反例2给出函数在一点连续 在该点偏导数不存在的例子 此函数在该点必不可微 机动目录上页下页返回结束 函数在该点可微 3 偏导数连续 可微的关系 函数z f x y 在点 x y 偏导数连续 定理2 可微的充分条件 若函数 的偏导数 则函数在该点可微 证 其中 注意到 故有 所以函数 在点 可微 机动目录上页下页返回结束 函数z f x y 在点 x y 偏导数连续 函数在该点可微 反例4 P86 例3 7 1 函数在 0 0 点连续 2 函数在 0 0 点偏导数存在 且 3 函数在 0 0 点可微 证略 见P86 机动目录上页下页返回结束 函数z f x y 在点 x y 偏导数连续 函数在该点可微 4 函数在 0 0 点偏导数不连续 偏导数连续 函数可微 反例4 P86 例3 7 函数连续 反例3 P84 例3 5 函数偏导存在 反例2 反例1 P81例3 3 反例2 例5 计算函数 在点 2 1 处的全微分 解 例6 计算函数 的全微分 解 机动目录上页下页返回结束 偏导数在上连续 偏导数在上连续 二 全微分运算及近似计算 1 全微分运算 可知当 1 近似计算 由全微分定义 较小时 及 有近似等式 机动目录上页下页返回结束 可用于近似计算 误差分析 可用于近似计算 2 全微分近似计算 半径由20cm增大 解 已知 即受压后圆柱体体积减少了 例7 有一圆柱体受压后发生形变 到20 05cm 则 高度由100cm减少到99cm 体积的近似改变量 机动目录上页下页返回结束 求此圆柱体 例8 计算 的近似值 解 设 则 取 则 机动目录上页下页返回结束 分别表示x y z的绝对误差界 2 误差估计 利用 令 z的绝对误差界约为 z的相对误差界约为 机动目录上页下页返回结束 则 设精确值为x 近似值为x0 若 则称 为x的绝对误差界 称为x的相当误差界 类似可以推广到三元及三元以上的情形 例9 利用公式 求计算面积时的绝对误差与相对误差 解 故绝对误差约为 又 所以S的相对误差约为 计算三角形面积 现测得 机动目录上页下页返回结束 例10 在直流电路中 测得电压U 24伏 解 由欧姆定律可知 欧 所以R的相对误差约为 0 3 0 5 R的绝对误差约为 0 8 0 3 定律计算电阻R时产生的相对误差和绝对误差 相对误差为 测得电流I 6安 相对误差为0 5 0 032 欧 0 8 机动目录上页下页返回结束 求用欧姆 内容小结 1 偏导数的概念及其几何意义 2 偏导数的运算 求一点处偏导数的方法 先代后求 先求后代 利用定义 机动目录上页下页返回结束 求导法则 3 微分的概念 4 可微 偏导数 连续的关系 5 微分运算 6 微分近