【复变函数】-史上最全--上PPT课件

1 复变函数与积分变换 B 复变函数 四版 清华大学数学教研室编 2013 2014学年第一学期 教材 2 2013年9月3日 第一章复数与复变函数 3 对象 复变函数 自变量为复数的函数 主要任务 研究复变数之间的相互依赖关系 具体地就是复数域上的微积分 主要内容 复变函数的积分 级数 留数 共形映射 傅立叶变换和拉普拉斯变换等 复数与复变函数 解析函数 4 学习方法 复变函数中许多概念 理论 和方法是实变函数在复数域内的推广和发展 它们之间有许多相似之处 但又有不同之处 在学习中要善于比较 区别 特别要注意复数域上特有的性质与结果 5 背景 十六世纪 在解代数方程时引进复数为使负数开方有意义 需要扩大数系 使实数域扩大到复数域在十八世纪以前 对复数的概念及性质了解得不清楚 用它们进行计算又得到一些矛盾 在历史上长时期人们把复数看作不能接受的 虚数 直到十八世纪 J D Alembert 1717 1783 与L Euler 1707 1783 等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义 澄清了复数的概念应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题 复数被广泛承认接受 复变函数论顺利建立和发展 6 十九世纪奠定复变函数的理论基础三位代表人物 A L Cauchy 1789 1866 K Weierstrass 1815 1897 分别应用积分和级数研究复变函数G F B Riemann 1826 1866 研究复变函数的映照性质通过他们的努力 复变函数形成了非常系统的理论 且渗透到了数学的许多分支 同时 它在热力学 流体力学和电学等方面也得到了很多的应用 7 1 复数的概念2 代数运算3 共轭复数 1复数及其代数运算 8 一般 任意两个复数不能比较大小 1 复数的概念 判断复数相等 9 定义z1 x1 iy1与z2 x2 iy2的和 差 积和商为 z1 z2 x1 x2 i y1 y2 z1z2 x1 iy1 x2 iy2 x1x2 y1y2 i x2y1 x1y2 2 代数运算 四则运算 10 z1 z2 z2 z1 z1z2 z2z1 z1 z2 z3 z1 z2 z3 z1 z2z3 z1z2 z3 z1 z2 z3 z1z2 z1z3 运算规律 复数的运算满足交换律 结合律 分配律 与实数相同 即 11 共轭复数的性质 3 共轭复数 定义若z x iy 称 z x iy为z的共轭复数 conjugate 12 13 1 点的表示2 向量表示法3 三角表示法4 指数表示法 2复数的表示方法 14 1 点的表示 数z与点z同义 15 2 向量表示法 称向量的长度为复数z x iy的模或绝对值 以正实轴为始边 以为终边的角的弧度数称为复数z x iy的辐角 z 0时 16 辐角无穷多 Argz 0 2k k Z z 0时 辐角不确定 17 当z落于一 四象限时 不变 当z落于第二象限时 加 当z落于第三象限时 减 18 19 20 21 由向量表示法知 3 三角表示法 4 指数表示法 22 23 引进复数的几何表示 可将平面图形用复数方程 或不等式 表示 反之 也可由给定的复数方程 或不等式 来确定它所表示的平面图形 例1用复数方程表示 1 过两点zj xj iyj j 1 2 的直线 2 中心在点 0 1 半径为2的圆 解 1 z z1 t z2 z1 t 24 例2方程表示什么图形 解 25 26 注意 复数的各种表示法可以相互转化 以适应不同问题的需要 27 2013年9月4日 28 29 30 31 1 复数的乘积与商2 复数的乘幂3 复数的方根 3复数的乘幂与方根 32 定理1两个复数乘积的模等于它们的模相乘 两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加 证明设z1 r1 cos 1 isin 1 r1ei 1z2 r2 cos 2 isin 2 r2ei 2则z1z2 r1r2 cos 1 isin 1 cos 2 isin 2 r1r2 cos 1 2 isin 1 2 r1r2ei 1 2 1 乘积与商 因此 z1z2 r1r2 Arg z1z2 Argz1 Argz2 33 几何意义将复数z1按逆时针方向旋转一个角度Argz2 再将其伸缩到 z2 倍 定理1可推广到n个复数的乘积 34 由于辅角的多值性 因此 该等式两端都是无穷多个数构成的两个数集 等式两端可能取的值的全体是相同的 也就是说 对于左端的任一值 右端必有一值和它相等 并且反过来也一样 注意 Arg z1z2 Argz1 Argz2 35 要使上式成立 必须且只需k m n 1 36 定理2两个复数的商的模等于它们的模的商 两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差 证明 Argz Argz2 Argz1 由复数除法的定义z z2 z1 即z1z z2 z z1 z2 及Argz1 Argz Argz2 z1 0 37 设z rei 由复数的乘法定理和数学归纳法可证明zn rn cosn isinn rnein 2 复数的乘幂 定义 38 问题给定复数z rei 求所有的满足 n z的复数 3 复数的方根 开方 乘方的逆运算 39 当k 0 1 n 1时 可得n个不同的根 而k取其它整数时 这些根又会重复出现 几何上 的n个值是以原点为中心 为半径的圆周上n个等分点 即它们是内接于该圆周的正n边形的n个顶点 40 41 1 区域的概念2 简单曲线 或Jordan曲线 3 单连通域与多连通域 4区域 42 1 区域的概念 邻域 复平面上以z0为中心 任意 0为半径的圆 z z0 或0 z z0 内部的点的集合称为点z0的 去心 邻域 记为 z0 即 设G是一平面上点集 43 连通是指 D 区域 44 45 46 2 简单曲线 或Jardan曲线 令z t x t iy t a t b 则曲线方程可记为 z z t a t b 47 48 3 单连通域与多连通域 简单闭曲线的性质 49 例如 z 0 是单连通的 0 r z R是多连通的 多连通域 单连通域 50 作业 P311 51 52 53 54 55 1 复变函数的定义2 映射的概念3 反函数或逆映射 5复变函数 56 1 复变函数的定义 与实变函数定义相类似 57 58 例1 例2 59 在几何上 w f z 可以看作 定义域 函数值集合 2 映射的概念 复变函数的几何意义 60 以下不再区分函数与映射 变换 在复变函数中用两个复平面上点集之间的对应关系来表达两对变量u v与x y之间的对应关系 以便在研究和理解复变函数问题时 可借助于几何直观 复变函数的几何意义是一个映射 变换 61 例3 解 关于实轴对称的一个映射 见图1 1 1 2 旋转变换 映射 见图2 例4 解 62 图1 1 图1 2 图2 63 例5 64 3 反函数或逆映射 例设z w2则称为z w2的反函数或逆映射 定义设w f z 的定义集合为G 函数值集合为G 65 例已知映射w z3 求区域0 argz 在平面w上的象 例 66 2008 10 8 第三次课 67 1 函数的极限2 运算性质3 函数的连续性 6复变函数的极限与连续性 68 1 函数的极限 几何意义 当变点z一旦进入z0的充分小去心邻域时 它的象点f z 就落入A的一个预先给定的 邻域中 69 1 意义中的方式是任意的 与一元实变函数相比较要求更高 2 A是复数 2 运算性质 复变函数极限与其实部和虚部极限的关系 定理1 3 若f z 在处有极限 其极限是唯一的 70 71 例1 例2 例3 72 3 函数的连续性 定义 定理3 73 例4证明f z argz在原点及负实轴上不连续 证明 74 定理4连续函数的和 差 积 商 分母不为0 仍为连续函数 连续函数的复合函数仍为连续函数 有界性 75 第二章解析函数 第一节解析函数的概念第二节函数解析的充要条件第三节初等函数 76 1 复变函数的导数定义2 解析函数的概念 2 1解析函数的概念 77 一 复变函数的导数 1 导数定义 如果w f z 在区域D内处处可导 则称f z 在区域D内可导 78 1 z 0是在平面区域上以任意方式趋于零 2 z x iy z x i y f f z z f z 例1 79 2 求导公式与法则 常数的导数c a ib 0 zn nzn 1 n是自然数 证明对于复平面上任意一点z0 有 实函数中求导法则的推广 80 设函数f z g z 均可导 则 f z g z f z g z f z g z f z g z f z g z 81 复合函数的导数 f g z f w g z 其中w g z 反函数的导数 其中 w f z 与z w 互为单值的反函数 且 w 0 82 例3问 函数f z x 2yi是否可导 例2 解 解 83 84 例4证明f z zRez只在z 0处才可导 证明 85 86 87 88 1 复变函数在一点处可导 要比实函数在一点处可导要求高得多 也复杂得多 这是因为 z 0是在平面区域上以任意方式趋于零的原故 2 在高等数学中要举出一个处处连续 但处处不可导的例题是很困难的 但在复变函数中 却轻而易举 89 3 可导与连续 若w f z 在点z0处可导w f z 点z0处连续 90 2 4解析函数1 解析函数的概念 91 92 例如 1 w z2在整个复平面处处可导 故是整个复平面上的解析函数 2 w 1 z 除去z 0点外 是整个复平面上的解析函数 3 w zRez在整个复平面上处处不解析 见例4 定理1设w f z 及w g z 是区域D内的解析函数 则f z g z f z g z 及f z g z g z 0时 均是D内的解析函数 93 定理2设w f h 在h平面上的区域G内解析 h g z 在z平面上的区域D内解析 h g z 的函数值集合G 则复合函数w f g z 在D内处处解析 94 调和函数 95 在 6我们证明了在D内的解析函数 其导数仍为解析函数 所以解析函数有任意阶导数 本节利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间的关系 内容简介 7解析函数与调和函数的关系 96 定理 97 证明 设f z u x y iv x y 在区域D内解析 则 98 99 上面定理说明 由解析的概念得 现在研究反过来的问题 100 如 101 102 定理 103 公式不用强记 可如下推出 类似地 然后两端积分得 104 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中都有重要应用 本节介绍了调和函数与解析函数的关系 105 例1 解 曲线积分法 106 故 107 又解 凑全微分法 108 又解 偏积分法 109 又解 不定积分法 110 第八次课11月12日 111 1 解析函数的充要条件2 举例 2函数解析的充要条件 112 如果复变函数w f z u x y iv x y 在定义域D内处处可导 则函数w f z 在D内解析 本节从函数u x y 及v x y 的可导性 探求函数w f z 的可导性 从而给出判别函数解析的一个充分必要条件 并给出解析函数的求导方法 问题如何判断函数的解析性呢 113 一 解析函数的充要条件 114 115 116 记忆 117 2008 10 15第四次课 118 定理1设f z u x y iv x y 在D内有定义 则f z 在点z x iy D处可导的充要条件是u x y 和v x y 在点 x y 可微 且满足Cauchy Riemann方程 上述条件满足时 有 119 证明 由f z 的可导C R方程满足上面已证 只须证f z 的可导函数u x y v x y 可微 函数w f z 点z可导 即 则f z z f z f z z z z 1 且 120 u i v a ib x i y 1 i 2 x i y a x b y 1 x 2 y i b x a y 2 x 1 y 令 f z z f z u i v f z a ib z 1 i 2故 1 式可写为 因此 u a x b y 1 x 2 y v b x a y 2 x 1 y 121 所以u x y v x y 在点 x y 处可微 由函数u x y v x y 在点 x y 处可微及满足C R方程f z 在点z x iy处可导 u x y v x y 在 x y 点可微 即 122 123 定理2函数f z u x y iv x y 在D内解析充要条件是u x y 和v x y 在D内可微 且满足Cauchy Riemann方程 由此可以看出可导函数的实部与虚部有密切的联系 当一个函数可导时 仅由其实部或虚部就可以求出导数来 利用该定理可以判断那些函数是不可导的 124 使用时 i 判别u x y v x y 偏导数的连续性 ii 验证C R条件 iii 求导数 前面我们常把复变函数看成是两个实函数拼成的 但是求复变函数的导数时要注意 并不是两个实函数分别关于x y求导简单拼凑成的 125 二 举例 例1判定下列函数在何处可导 在何处解析 解 1 设z x iyw x iyu x v y则 126 解 2 f z ex cosy isiny 则u excosy v exsiny 127 仅在点z 0处满足C R条件 故 解 3 设z x iyw x2 y2u x2 y2 v 0则 128 例2求证函数 证明由于在z 0处 u x y 及v x y 都是可微函数 且满足C R条件 故函数w f z 在z 0处解析 其导数为 129 例3 证明 130 例4如果f z u x y iv x y 是一解析函数 且f z 0 那么曲线族u x y C1 v x y C2必互相正交 这里C1 C2常数 那么在曲线的交点处 i uy vy均不为零时 由隐函数求导法则知曲线族u x y C1 v x y C2中任一条曲线的斜率分别为 解 利用C R方程ux vy uy vx有k1k2 ux uy vx vy 1 即 两族曲线互相正交 131 ii uy vy中有一为零时 不妨设uy 0 则k1 k2 0 由C R方程 即 两族曲线在交点处的切线一条是水平的 另一条是铅直的 它们仍互相正交 练习 a 2 b 1 c 1 d 2 132 133 134 135 1 指数函数2 三角函数和双曲函数3 对数函数4 乘幂与幂函数5 反三角函数与反双曲函数 3初等函数 136 本节将实变函数的一些常用的初等函数推广到复变函数情形 研究这些初等函数的性质 并说明它们的解析性 内容简介 137 一 指数函数 它与实变指数函数有类似的性质 定义 138 139 这个性质是实变指数函数所没有的 140 例1 例2 141 二 三角函数和双曲函数 推广到复变数情形 142 正弦与余弦函数的性质 143 144 思考题 145 146 147 由正弦和余弦函数的定义得 其它三角函数的定义 详见P51 148 149 双曲正弦和双曲余弦函数的性质 150 151 三 对数函数 1 对数的定义 152 故 153 特别 154 2008 10 22第五次课 155 2 对数函数的性质 见 1 6例1 156 例4 157 158 159 160 161 四 乘幂与幂函数 乘幂ab 定义 多值 一般为多值 162 q支 163 2 当b 1 n n正整数 时 乘幂ab与a的n次根意义一致 1 当b n 正整数 时 乘幂ab与a的n次幂意义一致 164 解 例5 165 幂函数zb 当b n 正整数 w zn在整个复平面上是单值解析函数 166 167 除去b为正整数外 多值函数 当b为无理数或复数时 无穷多值 168 作业 P672 8 15 18 169 第三章复变函数的积分 170 1 有向曲线2 积分的定义3 积分存在的条件及其计算法4 积分性质 1复变函数积分的概念 171 1 有向曲线 172 173 2 积分的定义 定义 174 175 176 3 积分存在的条件及其计算法 定理 177 证明 178 179 由曲线积分的计算法得 180 4 积分性质 由积分定义得 181 例1 解 又解 182 例2 解 183 0 0 0 2 0 1 0 1 0 n n i z z dz z z dz r z z n C n p 184 第六次课10月29日 185 例3 解 186 解 例4 187 分析 1的积分例子 2Cauchy Goursat基本定理 188 猜想 积分的值与路径无关或沿闭路的积分值 0的条件可能与被积函数的解析性及解析区域的单连通有关 先将条件加强些 作初步的探讨 189 190 Cauchy定理 191 Cauchy Goursat基本定理 也称Cauchy定理 192 3 定理中曲线C不必是简单的 如下图 推论设f z 在单连通区域B内解析 则对任意两点z0 z1 B 积分 cf z dz不依赖于连接起点z0与终点z1的曲线 即积分与路径无关 193 复合闭路定理 3基本定理推广 复合闭路定理 194 证明 B A A E E F F G H 195 说明 196 此式说明一个解析函数沿闭曲线的积分 不因闭曲线在区域内作连续变形而改变它的积分值 只要在变形过程中曲线不经过f z 的不解析点 闭路变形原理 197 例 解 198 练习 解 199 作业 P991 2 5 7 1 2 200 1 原函数与不定积分的概念2 积分计算公式 4原函数与不定积分 201 1 原函数与不定积分的概念 由 2基本定理的推论知 设f z 在单连通区域B内解析 则对B中任意曲线C 积分 cfdz与路径无关 只与起点和终点有关 当起点固定在z0 终点z在B内变动 cf z dz在B内就定义了一个变上限的单值函数 记作 定理设f z 在单连通区域B内解析 则F z 在B内解析 且 202 上面定理表明是f z 的一个原函数 设H z 与G z 是f z 的任何两个原函数 203 2 积分计算公式 定义设F z 是f z 的一个原函数 称F z c c为任意常数 为f z 的不定积分 记作 定理设f z 在单连通区域B内解析 F z 是f z 的一个原函数 则 此公式类似于微积分学中的牛顿 莱布尼兹公式 但是要求函数是解析的 比以前的连续条件要强 204 例1计算下列积分 解1 205 解 206 例3计算下列积分 207 小结求积分的方法 208 第七次课11月5日 209 利用Cauchy Goursat基本定理在多连通域上的推广 即复合闭路定理 导出一个用边界值表示解析函数内部值的积分公式 该公式不仅给出了解析函数的一个积分表达式 从而成为研究解析函数的有力工具 而且提供了计算某些复变函数沿闭路积分的方法 5Cauchy积分公式 210 分析 211 猜想积分 212 定理 Cauchy积分公式 证明 213 214 215 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值 216 例1 解 217 例2 解 218 本节研究解析函数的无穷次可导性 并导出高阶导数计算公式 研究表明 一个解析函数不仅有一阶导数 而且有各阶导数 它的值也可用函数在边界上的值通过积分来表示 这一点与实变函数有本质区别 6解析函数的高阶导数 219 形式上 以下将对这些公式的正确性加以证明 220 定理 证明用数学归纳法和导数定义 221 222 223 依次类推 用数学归纳法可得 224 一个解析函数的导数仍为解析函数 225 例1 解 226 227 228 作业 P1007 3 5 7 9 8 1 2 9 3 5 229 解析函数与调和函数的关系 230 在 6我们证明了在D内的解析函数 其导数仍为解析函数 所以解析函数有任意阶导数 本节利用这一重要结论研究解析函数与调和函数之间的关系 内容简介 7解析函数与调和函数的关系 231 定理 232 证明 设f z u x y iv x y 在区域D内解析 则 233 234 上面定理说明 由解析的概念得 现在研究反过来的问题 235 如 236 237 定理 238 公式不用强记 可如下推出 类似地 然后两端积分得 239 调和函数在流体力学和电磁场理论等实际问题中都有重要应用 本节介绍了调和函数与解析函数的关系 240 例1 解 曲线积分法 241 故 242 又解 凑全微分法 243 又解 偏积分法 244 又解 不定积分法 245 第八次课11月12日 246 1 复数列的极限2 级数的概念 第四章级数 1复数项级数 247 1 复数列的极限 定义 又设复常数 定理1 证明 248 249 2 级数概念 级数的前n项的和 不收敛 250 例1 解 定理2 证明 251 由定理2 复数项级数的收敛问题可归之为两个实数项级数的收敛问题 性质 定理3 证明 252 定义 由定理3的证明过程 及不等式 定理4 253 解 例2 P108 254 例3 解 练习 P108 例1 255 1 幂级数概念2 收敛定理3 收敛圆与收敛半径4 收敛半径的求法5 幂级数的运算和性质 2幂级数 256 1 幂级数的概念 定义 设复变函数列 级数的最前面n项的和 257 若级数 1 在D内处处收敛 其和为z的函数 特殊情况 在级数 1 中 258 2 收敛定理 同实变函数一样 复变幂级数也有所谓的收敛定理 定理1阿贝尔 Able 定理 讨论P142 5 259 证明 260 2 用反证法 3 收敛圆与收敛半径 由Able定理 幂级数的收敛范围不外乎下述三种情况 i 若对所有正实数都收敛 级数 3 在复平面上处处收敛 ii 除z 0外 对所有的正实数都是发散的 这时 级数 3 在复平面上除z 0外处处发散 261 显然 否则 级数 3 将在 处发散 将收敛部分染成红色 发散部分染成蓝色 逐渐变大 在c 内部都是红色 逐渐变 小 在c 外部都是蓝色 红 蓝色不会交错 故 播放 262 263 i 幂级数在收敛圆内部收敛 在收敛圆外部发散 在圆周上可能收敛可能发散 具体问题要具体分析 ii 幂级数 3 的收敛范围是以0为中心 半径为R的圆域 幂级数 2 的收敛范围是以z0为中心 半径为R的圆域 264 4 收敛半径的求法 定理2 比值法 证明 265 266 267 定理3 根值法 定理2 比值法 268 第九次课11月19日 269 例1 P111 解 综上 270 例2求下列幂级数的收敛半径并讨论收敛圆周上的情形 解 1 p 1 p 2 该级数在收敛圆上是处处收敛的 271 综上 该级数发散 该级数收敛 272 故该级数在复平面上是处处收敛的 273 5 幂级数的运算和性质 代数运算 幂级数的加 减运算 幂级数的乘法运算 274 幂级数的代换 复合 运算 幂级数的代换运算在函数展成幂级数中很有用 例3 P116 解 275 解 276 分析运算 定理4 幂级数的逐项求导运算 幂级数的逐项积分运算 277 作业 P10330 1 2 31P1411 2 4 3 3 4 6 2 3 4 11 1 3 278 1 泰勒展开定理2 展开式的唯一性3 简单初等函数的泰勒展开式 3泰勒 Taylor 级数 279 1 泰勒 Taylor 展开定理 现在研究与此相反的问题 一个解析函数能否用幂级数表达 或者说 一个解析函数能否展开成幂级数 解析函数在解析点能否用幂级数表示 以下定理给出了肯定回答 任何解析函数都一定能用幂级数表示 280 定理 泰勒展开定理 分析 代入 1 得 281 282 得证 283 证明 不讲 284 不讲 285 证明 不讲 286 287 2 展开式的唯一性 结论解析函数展开成幂级数是唯一的 就是它的Taylor级数 利用泰勒级数可把解析函数展开成幂级数 这样的展开式是否唯一 事实上 设f z 用另外的方法展开为幂级数 288 由此可见 任何解析函数展开成幂级数就是Talor级数 因而是唯一的 直接法 间接法 代公式 由展开式的唯一性 运用级数的代数运算 分析运算和已知函数的展开式来展开 函数展开成Taylor级数的方法 289 3 简单初等函数的泰勒展开式 例1 解 P120 290 291 上述求sinz cosz展开式的方法即为间接法 例2把下列函数展开成z的幂级数 解 292 2 由幂级数逐项求导性质得 293 1 另一方面 因ln 1 z 在从z 1向左沿负实轴剪开的平面内解析 ln 1 z 离原点最近的一个奇点是 1 它的展开式的收敛范围为 z 1 294 定理 295 296 第十次课11月26日 297 298 1 预备知识2 双边幂级数3 函数展开成双边幂级数4 展开式的唯一性 4罗朗 Laurent 级数 299 由 3知 f z 在z0解析 则f z 总可以在z0的某一个圆域 z z0 R内展开成z z0的