孙训方第五版-材料力学-高等教育出版社PPT课件

1 第一章绪论 主讲教师 郑力 2020年4月24日星期五 2 第一节材料力学的任务 在保证构件既安全又适用的前提下 最大限度的发挥材料的经济性能 为构件选择适当的材料 设计合理的截面形状和尺寸 材料力学 研究构件的承载能力 3 第一节材料力学的任务 承载能力 构件承受荷载的能力 几个方面来考虑 强度 构件具有足够的抵抗破坏的能力 刚度 构件具有足够的抵抗变形的能力 稳定性 对细长受压杆件 能保持原有的直线平衡状态 4 第一节材料力学的任务 失效 由于材料的力学行为而使构件丧失正常功能 承载能力 的现象 几个方面来考虑 强度 不因发生断裂或塑性变形而失效 刚度 不因发生过大的弹性变形而失效 稳定性 不因发生因平衡形式的突然转变而失效 5 第一节材料力学的任务 1 强度问题 6 第一节材料力学的任务 7 强度失效 8 第一节材料力学的任务 2 刚度问题 9 第一节材料力学的任务 刚度失效 10 第一节材料力学的任务 3 稳定性问题 11 1983年10月4日 高54 2m 长17 25m 总重565 4kN大型脚手架失稳坍塌 5人死亡 7人受伤 稳定失效 12 第一节材料力学的任务 疲劳失效 由于交变应力的作用 初始裂纹不断扩展而引起的脆性断裂 松弛失效 在一定的温度下 应变保持不变 应力随着时间增加而降低 从而导致构件失效 13 第二节变形固体的基本假设 机械或结构中的各种构件 都是由各种材料制成的 由这些材料组成的固体 在外力作用下 都会发生形状及尺寸的改变 即变形 弹性变形 塑性变形 材料力学是在弹性范围内研究构件的承载能力 14 第二节变形固体的基本假设 材料力学对变形固体所做的几个基本假设 1均匀连续性假设 变形固体的机械性质在固体内各点都是一样的 并且组成变形固体的物质毫无空隙的充满了构件的整个几何容积 2各向同性假设 变形固体在各个方向上具有相同机械性质 具有相同机械性质的材料为各向同性材料 3小变形假设 构件在外力作用下所产生的变形与其整个构件的几何尺寸相比是极其微小的 15 第二节变形固体的基本假设 思考 根据可变形固体的均匀性假设 从物体内任一点处任意方向取出单元体 其力学性能均相同 因此 均匀性假设实际上包含了各向同性假设 试问这种说法是否正确 均匀性假设是指从物体内取出的任一体积单元的力学性能与物体的力学性能相同 而并不涉及沿各个方向的力学性能是否相同 各向同性假设是指物体沿各个方向的力学性能相同 两者是有区别的 回答 不正确 16 第三节外力 内力 应力的概念 1外力 周围物体对所研究的构件施加的作用力 17 第三节外力 内力 应力的概念 2内力 弹性体受力后 由于变形 其内部各点均会发生相对位移 因而产生相互作用力 18 第三节外力 内力 应力的概念 弹性体内力的特征 1 连续分布力系 2 与外力组成平衡力系 19 第三节外力 内力 应力的概念 3 应力 内力在一点的分布集度 即单位面积上的内力 垂直于截面的应力称为 正应力 位于截面内的应力称为 剪应力 或 切应力 20 第三节外力 内力 应力的概念 一般情形下 应力与相应内力分量关系如下 21 第四节杆的基本变形 1杆 直杆曲杆 等截面杆变截面杆 2杆的基本变形及组合变形 22 第四节杆的基本变形 轴向拉伸或压缩 剪切 23 第四节杆的基本变形 扭转 纯弯曲 24 第二章轴向拉伸和压缩 主讲教师 郑新亮 2020年4月24日星期五 25 第一节轴向拉伸与压缩的概念及实例 轴向拉伸与压缩是四种基本变形中最基本 最简单的一种变形形式 1 工程实例 拉杆 压杆 26 第一节轴向拉伸与压缩的概念及实例 2 轴向拉伸与压缩的概念 受力特点 作用于杆端外力的合力作用线与杆件轴线重合 变形特点 沿轴线方向产生伸长或缩短 思考 该杆件是轴向拉伸变形吗 27 第二节受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 一 内力 1 内力的概念 2 内力的计算 截面法 物体内部相邻部分之间相互作用的力 28 第二节受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 3 内力正负号的规定 同一截面位置处左 右两侧截面上的内力必须具有相同的正负号 符号规定 轴力以拉力为正 压力为负 离开截面为正 反之为负 29 第二节受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 例题1求图示各截面内力 解 30 第二节受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 3 轴力图 反映轴力与截面位置关系的图线 例题2画出图示杆件的轴力图 解 轴力图 31 第二节受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 二 应力 32 第二节受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 实验现象 1 所有纵向线伸长均相等 2 所有横向线均保持为直线 仍与变形后的纵向线垂直 根据实验 假设 1 受拉杆件是由无数纵向纤维组成 各纤维伸长相等 得出 横截面上各点处正应力相等 2 变形后的横向线仍保持为直线 变形后横截面仍保持为平面 平截面假设 33 第二节受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 横截面上的应力分布 1 正应力的概念 内力在横截面上的分布集度 单位 帕斯卡Pa N m2 常用单位 MPa 106Pa GPa 109Pa 34 第二节受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 2 正应力的符号规定 当轴向力为正时 正应力为正 拉应力 反之为负 压应力 例题3如图所示正方形截面的梯形柱 柱顶受轴向压力P作用 上段柱重为G1 下段柱重为G2 已知 P 15kN G1 2 5kN G2 10kN 求 上 下段柱的底截面1 1 2 2上的应力 解 35 第二节受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 3 斜截面上的应力 36 第二节受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 37 第二节受轴向拉伸或压缩时横截面上的内力和应力 讨论 38 第三节强度计算 对于某一种材料 应力的增加是有限度的 超过某一限值材料就会丧失承载能力 轴向拉压杆的最大正应力 强度条件 式中 称为最大工作应力称为材料的许用应力 39 第三节强度计算 根据强度条件 可以解决的三类实际工程问题 1 校核杆件强度 已知 Nmax A 验算构件是否满足强度条件 2 设计截面 已知 Nmax 根据强度条件 求 A 3 确定最大载荷 已知 A 根据强度条件 求 Nmax 40 第三节强度计算 例题1一直径d 14mm的圆杆 许用应力 170MPa 受轴向拉力P 2 5kN作用 试校核此杆是否满足强度条件 解 例题2AC与BC为两根圆杆 杆件的许用应力 170MPa C点作用一集中力P 20kN作用 试根据强度条件确定两杆的直径d 满足强度条件 解 根据强度条件 41 第三节强度计算 例题3图示为钢木结构 AB为木杆 AAB 10 103mm2 AB 7MPa BC为钢杆 ABC 600mm2 BC 160MPa 求B点可吊起的最大荷载P 解 由强度条件可知 42 第四节拉 压杆件的变形 工程中使用的大多数材料都有一个弹性阶段 根据实验表明 弹性范围内轴向拉 压杆的伸长量和缩短量与杆内轴力N和杆长L成正比 与横截面面积A成反比 43 第四节拉 压杆件的变形 绝对 变形量 工程中使用的大多数材料都有一个弹性阶段 根据实验表明 弹性范围内轴向拉 压杆的伸长量和缩短量与杆内轴力N和杆长L成正比 与横截面面积A成反比 E 弹性模量 GPa EA 抗拉 或抗压 刚度 令 虎克定律 44 第四节拉 压杆件的变形 纵向变形量 横向变形量 纵向线应变 横向线应变 令 材料泊松比 45 第四节拉 压杆件的变形 例题1图示拉压杆 已知 P 10kN L1 L3 250mm L2 500mm A1 A3 A2 1 5 A2 200mm2 E 200GPa 求 1 试画出轴力图 2 计算杆内最大正应力 3 计算全杆的轴向变形 解 1 取分离体分别求出各段轴力 46 第四节拉 压杆件的变形 2 47 第四节拉 压杆件的变形 3 48 例题2用一根长6m的圆截面钢杆来承受7kN的轴向拉力 材料的许用应力 120MPa E 200GPa 并且材料的许可总伸长量为2 5mm 试计算所需要的最小直径d 第四节拉 压杆件的变形 解 强度条件 变形条件 49 例题3图示桁架AB和AC杆均为钢杆 弹性模量E 200GPa AAC 200mm2 AAB 250mm2 P 10kN LAC 2m 试求节点A的位移 第四节拉 压杆件的变形 解 受力分析 可得 变形计算 A 由变形条件可知 节点A的位移为AA 50 第四节拉 压杆件的变形 A 51 第四节拉 压杆件的变形 例题3挂架由AC杆和BC杆组成 两杆的EA相同 C处作用有荷载P 求 C点的水平位移和竖直位移 解 受力分析 变形计算 C 52 第五节轴向拉伸或压缩的应变能 外力所做的功W 应变能V 称为应变能密度 53 第六节材料在拉 压时的力学性质 材料的力学性质 材料受力作用后在强度 变形方面所表现出来的性质 一 拉伸试验 试件 主要仪器设备 万能试验机 卡尺 直尺等 试验条件 常温 静载 54 第六节材料在拉 压时的力学性质 1 低碳钢拉伸试验 55 第六节材料在拉 压时的力学性质 韧性金属材料 拉伸曲线的四个阶段 弹性阶段 屈服阶段 强化阶段 局部变形 劲缩 阶段 56 第六节材料在拉 压时的力学性质 1 弹性阶段 应变值始终很小 变形为弹性变形 去掉荷载后变形全部消失 斜直线OA 应力应变成正比变化 虎克定律 微弯段AA 当应力小于A 应力时 试件只产生弹性变形 直线最高点A所对应的应力值 比例极限 p A 点所对应的应力值是材料只产生弹性变形的最大应力值 弹性极限 e 57 第六节材料在拉 压时的力学性质 2 屈服阶段 超过A 点后 曲线上出现一条波浪线 变形大部分为不可恢复的塑性变形 流动阶段对应的应力值 屈服极限 s 3 强化阶段 该阶段的变形绝大部分为塑性变形 整个试件的横向尺寸明显缩小 C点为曲线的最高点 材料的最大抵抗能力 对应的应力值 强度极限 b 58 第六节材料在拉 压时的力学性质 4 局部变形 劲缩 阶段 试件局部显著变细 出现劲缩现象 由于劲缩 截面显著变细 荷载随之降低 到达D点试件断裂 59 第六节材料在拉 压时的力学性质 2 小结 比例极限 p 应力与应变服从虎克定律的最大应力 弹性极限 e 只产生弹性变形 是材料处于弹性变形的最大应力 屈服极限 s 表示材料进入塑性变形 强度极限 b 表示材料最大的抵抗能力 衡量材料强度的两个指标 屈服极限 s 强度极限 b 60 第六节材料在拉 压时的力学性质 3 变形性质 1 伸长率 2 断面收缩率 l1 实验后标距长度 l 实验前标距长度 A1 拉断后断口处的横截面面积 A 实验前试件横截面面积 衡量材料塑性的两个指标 伸长率 断面收缩率 61 第六节材料在拉 压时的力学性质 二 卸载与冷作硬化 将试件拉伸变形超过弹性范围后任意点E 逐渐卸载 在卸载过程中 应力 应变沿与OA线平行的直线回到O1点 O1 当重新再对这有残余应变的试件加载 应力 应变沿着卸载直线O1E上升 到点F后沿曲线ECD直到断裂 不再出现屈服阶段 冷作硬化 在常温下 经过塑性变形后材料强度提高 塑性降低的现象 62 第六节材料在拉 压时的力学性质 三 铸铁拉伸试验 铸铁的拉伸实验没有屈服现象 没有劲缩现象 只有断裂时的强度极限 b 断口平齐 取残余应变为0 2 时所对应的应力作为该材料的名义屈服极限 0 2 脆性材料拉伸时的强度指标 屈服极限 b 63 第六节材料在拉 压时的力学性质 四 低碳钢的压缩实验 64 第六节材料在拉 压时的力学性质 在屈服之前拉伸与压缩的 曲线是重合的 即 压缩时的弹性模量E 比例极限 p 弹性极限 e 屈服极限 s与拉伸时的完全相同 但流幅稍短 低碳钢压缩时没有强度极限 65 第六节材料在拉 压时的力学性质 五 铸铁的压缩实验 铸铁拉伸应力图 铸铁压缩应力图 铸铁压缩的 曲线与拉伸的相似 但压缩时的伸长率要比拉伸时大 破坏时断口与轴线成45 角 铸铁压缩时的强度极限 b是拉伸时的4 5倍 所以铸铁常用作受压构件使用 66 第六节材料在拉 压时的力学性质 六 安全系数 需用应力的确定 u称为极限应力 n称为安全系数 1 塑性材料 u s 脆性材料 u b 67 第七节应力集中的概念 应力集中 杆件截面骤然变化 或几何外形局部不规则 而引起的局部应力骤增的现象 应力增大的现象只发生在孔边附近 离孔稍远处应力趋于平缓 应力能增大3 5倍 68 第八节拉伸与压缩的超静定问题 一 超静定问题 69 第八节拉伸与压缩的超静定问题 二 超静定问题的求解方法 平衡方程 补充方程 变形协调方程 例题1已知 杆1 2的抗拉 压 刚度相等 均为EA 杆3横截面面积为A3 弹性模量为E3 杆3长为L 求三个杆的内力 解 1 平衡方程 2 补充方程 变形协调方程 70 第八节拉伸与压缩的超静定问题 补充方程 71 第八节拉伸与压缩的超静定问题 例题2已知 图示结构 A1 A2 A3 200mm2 160MPa P 40kN L1 L2 L 试在下列两种情况下 校核各杆的强度 1 三杆的材料相同 即 E1 E2 E3 E 2 杆1 2为弹性杆 且E1 E2 E 杆3为刚性杆 变形条件 解 1 变形协调方程 72 第八节拉伸与压缩的超静定问题 满足强度条件 73 2 3为刚性杆 第八节拉伸与压缩的超静定问题 平衡方程 变形条件 满足强度条件 74 第八节拉伸与压缩的超静定问题 例题3已知 杆长为L 横截面面积为A 弹性模量为E 求 在力P作用下杆内力 解 变形协调方程 75 第八节拉伸与压缩的超静定问题 总结 1 列静定平衡方程 2 从变形几何方面列变形协调方程 3 利用力与变形之间的关系 列补充方程 4 联立平衡方程 补充方程 即可求未知力 5 强度 刚度的计算与静定问题相同 76 第八节拉伸与压缩的超静定问题 例题4已知 钢杆1 2 3的面积均为A 2cm2 长度L 1m 弹性模量为E 200GPa 若制造时杆3短了 0 08cm 试计算安装后1 2 3杆的内力 解 平衡方程 变形条件 77 第八节拉伸与压缩的超静定问题 变形协调方程 78 第八节拉伸与压缩的超静定问题 例题5已知 不计自重的刚杆挂在三根平行的金属杆上 杆间距为a 横截面面积为A 弹性模量为E 杆长为L 杆2短了 当B点受荷载P时求 各杆内力 解 平衡方程 变形条件 79 第三章剪切与挤压 主讲教师 郑新亮 2020年4月24日星期五 80 剪切与挤压 工程中承受剪切变形的构件常常是连接件 81 剪切与挤压 一 剪切 受力特点 杆件受到相距非常近的横向力 平行力系 的作用 变形特点 构件沿平行力系的交界面发生相对错动 单剪面 双剪面 82 剪切与挤压 1剪切面 发生相对错动的面 平行于作用力的方向 2剪力 剪切面的内力 3剪应力 剪力在剪切面上的分布极度 二 剪切计算 假设 剪力在剪切面上是均匀分布的 剪应力 平均剪应力 名义剪应力 83 剪切与挤压 求剪切面上的剪力 截面法 剪应力 剪切强度条件 84 剪切与挤压 三 挤压计算 1挤压力 接触面上的相互作用力 为非均匀分布 2挤压面 挤压力的作用面 3挤压计算面积Abs 挤压面的直径投影面 假设 挤压力在挤压计算面积上是均匀分布 85 剪切与挤压 挤压应力 挤压强度条件 例题1键连接 已知 Me d 键的尺寸 l b h 求 bs 86 剪切与挤压 解 键受力 87 剪切与挤压 例题2销钉连接 已知 FP 18kN t1 8mm t2 5mm 60MPa bs 200MPa d 16mm 试校核销钉的强度 解 双剪面 1剪切强度校核 2挤压强度校核 安全 88 剪切与挤压 例题3木接头 求 bs 解 剪切面 挤压面 89 剪切与挤压 例题4边长为a的正方形截面立柱 放在尺寸为L L h的基础上 求 解 地基对基础的约束反力集度 剪力 剪切面面积 90 第四章扭转 主讲教师 郑新亮 2020年4月24日星期五 91 第一节扭转的概念 扭转 直杆在外力偶作用下 且力偶的作用面与直杆的轴线垂直 92 第一节扭转的概念 扭转角 两端面相对转过的角度 剪切角 也称为剪应变或切应变 93 第二节扭转的内力 扭矩与扭矩图 一 扭矩 圆杆扭转横截面的内力合成结果为一合力偶 合力偶的力偶矩称为截面的扭矩 用T表示 扭矩的正负号 按右手螺旋法则来确定 即右手握住杆的轴线 卷曲四指表示扭矩的转向 若拇指沿截面外法线指向 扭矩为正 反之为负 94 第二节扭转的内力 扭矩与扭矩图 扭矩的大小由平衡方程求得 二 扭矩图 表示杆件轴线上的各横截面上的扭矩变化情况 扭矩图的画法步骤与轴力图基本相同 具体如下 95 第二节扭转的内力 扭矩与扭矩图 扭矩图的画法步骤 1 画一条与杆的轴线平行且与杆等长的直线作为基线 2 将杆分段 凡集中力偶作用点处均应取作分段点 3 用截面法 通过平衡方程求出每段杆的扭矩 画受力图时 截面的扭矩一定要按正的规定来画 4 按大小比例和正负号 将各段杆的扭矩画在基线两侧 并在图上标出数值和正负号 96 第二节扭转的内力 扭矩与扭矩图 例题1画出图示杆的扭矩图 3kN m 5kN m 2kN m 解 A C B AC段 BC段 2kN m 3kN m 扭矩图 97 第二节扭转的内力 扭矩与扭矩图 三 外力偶矩换算 扭矩是根据外力偶矩来计算 对于传动轴 外力偶矩可通过传动功和转数来换算 若传动轴的传动功率为P 每分钟转数为n 其中 P 功率 千瓦 kW n 转速 转 分 rpm 其中 P 功率 马力 PS n 转速 转 分 rpm 98 第二节扭转的内力 扭矩与扭矩图 例题2已知 一传动轴转数n 300r min 主动轮输入功率P1 500kW 从动轮输出功率P2 150kW P3 150kW P4 200kW 试绘制扭矩图 解 1 计算外力偶矩 99 第二节扭转的内力 扭矩与扭矩图 2 求扭矩 扭矩按正方向假设 截面 截面 截面 3 绘制扭矩图 4 78kN m 9 56kN m 6 37kN m 100 第二节扭转的内力 扭矩与扭矩图 例题3画出图示杆的扭矩图 解 截面 截面 截面 4kN m 2kN m 6kN m 101 第三节薄壁圆筒的扭转 一 实验 1实验前 绘制纵向线 圆周线 两端施加一对外力偶Me 102 第三节薄壁圆筒的扭转 2实验后 圆周线不变 纵向线变成螺旋线 3结果 圆筒表面的各圆周线形状 大小和间距均未改变 只是绕轴线作了相对转动 圆周线实际代表一个横截面 此结果表明横截面仍保持平面 且大小 形状不变 满足平面假设 各纵向线长度不变 但均倾斜了同一微小角度 所有矩形网络均歪斜成同样大小的平行四边形 103 第三节薄壁圆筒的扭转 二 薄壁筒切应力 薄壁圆筒扭转时 因长度不变 故横截面上没有正应力 只有切应力 因筒壁很薄 切应力沿薄壁厚分布可视作均匀的 切应力沿圆周切线方向与扭矩转向一致 A0为平均半径所作圆的面积 104 第三节薄壁圆筒的扭转 三 切应力互等定理 切应力互等定理 在单元体相互垂直的两个截面上 切应力必然成对出现 且数值相等 两者都垂直于两平面的交线 其方向或共同指向交线 或共同背离交线 105 第三节薄壁圆筒的扭转 纯剪应力状态 单元体上四个侧面上只有切应力 而无正应力作用 四 剪切虎克定律 单元体ab边的倾角 称为切应变 切应变是单元体直角的该变量 实验表明 在弹性范围内 切应力与且应变成正比 即 G 剪切弹性模量 106 第三节薄壁圆筒的扭转 剪切弹性模量G 与弹性模量E和泊松比 一样 都表示材料力学性质的材料常数 对于各向同性材料 这三个材料常数并不是独立的 它们存在如下关系 107 第四节等直圆杆扭转时的应力 强度条件 一 等直圆杆扭转实验观察 1横截面变形后仍为平面 满足平面截面假设 2轴向无伸缩 横截面上没有正应力 3纵向线变形后仍为平行线 108 第四节等直圆杆扭转时的应力 强度条件 二 等直圆杆扭转横截面上的切应力 a b c d b c B C 1变形的几何条件 横截面上b点的切应变 单位长度扭转角 109 第四节等直圆杆扭转时的应力 强度条件 2物理条件 剪切虎克定律 横截面上b点的切应变 3静力条件 dA O2 b 称为截面对圆心的极惯性矩 110 第四节等直圆杆扭转时的应力 强度条件 4极惯性矩 O d 环形截面 极惯性矩单位 m4 111 第四节等直圆杆扭转时的应力 强度条件 同一截面 扭矩T 极惯性矩IP为常数 因此各点切应力 的大小与该点到圆心的距离 成正比 方向垂直于圆的半径 且与扭矩的转向一致 实心圆截面切应力分布图 空心圆截面切应力分布图 最大切应力在外圆处 112 第四节等直圆杆扭转时的应力 强度条件 5最大切应力 令 称为抗扭截面系数 单位 实心圆截面 空心圆截面 113 第四节等直圆杆扭转时的应力 强度条件 例题1已知空心圆截面的扭矩T 1kN m D 40mm d 20mm 求最大 最小切应力 解 114 第四节等直圆杆扭转时的应力 强度条件 三 圆轴扭转时的强度条件 115 第五节圆截面杆扭转的变形及刚度条件 一 圆轴扭转时的变形 单位长度扭转角 当T GIP为常数时 长为l的干段两端相对扭转角为 GIP为抗扭刚度 116 第五节圆截面杆扭转的变形及刚度条件 二 刚度条件 单位长度扭转角 117 第五节圆截面杆扭转的变形及刚度条件 例题1图示圆轴 已知 mA 1kN m mB 3kN m mC 2kN m l1 0 7m l2 0 3m 60MPa 0 3o m G 80GPa 试选择该轴的直径 解 1kN m 2kN m 扭矩图 1 按强度条件 118 第五节圆截面杆扭转的变形及刚度条件 2 按刚度条件 该圆轴直径应选择 119 第五节圆截面杆扭转的变形及刚度条件 例题2图示圆轴 已知 mA 1 4kN m mB 0 6kN m mC 0 8kN m d1 40mm d2 70mm l1 0 2m l2 0 4m 60MPa 1o m G 80GPa 试校核该轴的强度和刚度 并计算两端面的相对扭转角 mC mA mB C A B d1 d2 解 扭矩图 0 8kN m 0 6kN m 1 按强度校核 120 第五节圆截面杆扭转的变形及刚度条件 满足强度条件 2 按刚度校核 不满足刚度条件 121 第五节圆截面杆扭转的变形及刚度条件 3 两端相对扭转角 122 第五节圆截面杆扭转的变形及刚度条件 例题2长为l 2m的圆杆受均布力偶 m 20N m m的作用 如图 若杆的内外径之比为 0 8 G 80GPa 许用切应力 30MPa 试设计杆的外径 2o m 试校核此杆的刚度 并求右端面的扭转角 解 1 设计圆杆的外径 123 第五节圆截面杆扭转的变形及刚度条件 124 第五节圆截面杆扭转的变形及刚度条件 2 刚度校核 3 右端面扭转角 125 第五节圆截面杆扭转的变形及刚度条件 例题3图示圆轴 BC段为空心 已知 D 50mm d 25mm a 250mm G 80GPa 试求该杆的最大切应力和自由端的扭转角 a b a b D d 解 本题应分4段考虑 126 第五节圆截面杆扭转的变形及刚度条件 扭矩图 1kN m 0 5kN m 0 8kN m 127 第五节圆截面杆扭转的变形及刚度条件 128 第五章截面的几何性质 主讲教师 郑新亮 2020年4月24日星期五 129 截面的几何性质 为什么要研究截面图形的几何性质 研究杆件的应力与变形 研究失效问题以及强度 刚度和稳定问题 都要涉及到与截面的几何形状和尺寸有关的量 这些量统称为几何量 包括 面积 形心 静矩 惯性矩 惯性半径 极惯性矩 惯性积主轴等等 130 第一节截面的静矩和形心位置 质心 质量的中心 mi rC ri 有限质点系 131 第一节截面的静矩和形心位置 有限质点系 无限质点系 矢量式 分量式 有限质点系 无限质点系 质心坐标是质点坐标的质量加权平均 132 第一节截面的静矩和形心位置 重心 重力合力的作用点 有限质点系 无限质点系 133 第一节截面的静矩和形心位置 1形心 图形几何形状的中心 dA x y C yC xC 134 第一节截面的静矩和形心位置 2静矩 令 定义 为图形对x y轴的静矩 135 第一节截面的静矩和形心位置 3形心与静矩的关系 截面对通过形心的轴的静矩恒等于零 若截面对某一轴的静矩等于零 则该轴必通过截面的形心 4组合图形的静矩和形心 静矩 形心 136 第一节截面的静矩和形心位置 例题1求图示图形的形心 解 20 100 100 20 A1 A2 137 第一节截面的静矩和形心位置 例题2求图示图形的形心 10 10 200 20 200 A1 解 A2 A3 138 第二节极惯性矩 惯性矩 惯性积 dA x y 1惯性矩 2惯性积 3极惯性矩 4惯性半径 139 第二节极惯性矩 惯性矩 惯性积 5简单几何形状的惯性矩 1 矩形 b 坐标系中含有对称轴时 图形对该坐标系的惯性积为零 140 第二节极惯性矩 惯性矩 惯性积 2 圆形 2x 141 第二节极惯性矩 惯性矩 惯性积 第二节极惯性矩 惯性矩 惯性积 r dr R 142 第三节惯性矩和惯性积的平行移轴公式 dA 坐标变换 同理 143 第三节惯性矩和惯性积的平行移轴公式 若x y轴过图形形心C 则 图形对任意轴的惯性矩 等于图形对于与该轴平行的形心轴的惯性矩加上图形面积与两平行轴间距平方的乘积 图形对于任意一对直角坐标轴的惯性积 等于图形对于平行于该坐标轴的形心轴的惯性积 加上图形面积与两对平行轴间距的乘积 图形对于形心的惯性矩最小 而由形心轴移轴后所得的惯性积有可能增加也有可能减少 144 第三节惯性矩和惯性积的平行移轴公式 例题1求图示图形对其形心轴Xc轴的惯性矩 解 145 第四节惯性矩和惯性积的转轴公式 所谓转轴定理是研究坐标轴绕原点转动时 图形对这些坐标轴的惯性矩和惯性积的变化规律 坐标变换 146 第四节惯性矩和惯性积的转轴公式 写成倍角形式 147 第四节惯性矩和惯性积的转轴公式 当 0时 使 若 或 148 第四节惯性矩和惯性积的转轴公式 当 0时 图形对这一坐标轴的惯性积等于零 该坐标轴为图形的主惯性轴 对主惯性轴 主轴 的惯性矩称为主惯性矩 当主惯性轴通过图形形心时 该主惯性轴为形心主惯性轴 对称轴及与其垂直的轴即为过二者交点的主轴若交点为形心即为形心主轴 截面形心主惯性轴与杆件轴线确定的平面为形心主惯性平面 149 第四节惯性矩和惯性积的转轴公式 例题1试求形心主轴的位置及形心主矩 解 1 确定形心位置 C 2 在形心位置处建立Cxy坐标 先分别求出三个矩形对于x y轴的惯性矩和惯性积 得整个图形对于x y轴的惯性矩和惯性积 150 第四节惯性矩和惯性积的转轴公式 3 根据上述结果确定主轴位置及形心主矩 图形的形心主矩为 151 第六章弯曲应力 主讲教师 郑新亮 2020年4月24日星期五 152 第一节平面弯曲的概念及梁的计算简图 一 弯曲变形 当作用在杆件上的载荷和支反力都垂直于杆件轴线时 杆件的轴线因变形由直线变成了曲线 这种变形称为弯曲变形 工程中以弯曲变形为主的杆件称为梁 梁的轴线与横截面的对称轴所构成的平面称为纵向对称面 153 第一节平面弯曲的概念及梁的计算简图 二 平面弯曲 当作用在梁上的载荷和支反力均位于纵向对称面内时 梁的轴线由直线弯成一条位于纵向对称面内的曲线 三 梁的计算简图 1杆件的简化 用梁的轴线来代替实际的梁 2荷载的分类 集中荷载 分布荷载 集中力偶 154 第一节平面弯曲的概念及梁的计算简图 3支座的分类 固定铰支座 可变铰支座 滑动铰支座 固定支座 固定端 155 第一节平面弯曲的概念及梁的计算简图 4静定梁的基本形式 简直梁 外伸梁 悬臂梁 156 第二节梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 一 梁的剪力和弯矩 l 157 第二节梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 平衡方程 平衡方程 158 第二节梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 符号规定 剪力Q的符号规定 使界面发生顺时针旋转为正 反之为负 弯矩M的符号规定 使梁下侧受拉为正 反之为负 159 第二节梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 例题1求图示梁1 1 2 2 3 3 4 4截面上的剪力和弯矩 解 截面法 取分离体 160 第二节梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 161 第二节梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 162 第二节梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 二 剪力图和弯矩图 q l Q x 与M x 表示沿梁轴线各横截面上剪力和弯矩的变化规律称为剪力方程和弯矩方程 163 第二节梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 剪力图 弯矩图 164 第二节梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 l AC段 0 x a 165 第二节梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 l CB段 a x l 166 第二节梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 AC段 0 x a CB段 a x l 167 第二节梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 三 荷载集度 剪力和弯矩之间的微分关系 q x dx 168 第二节梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 略去二阶无穷小量 169 第二节梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 载荷集度 剪力和弯矩的微分关系 170 第二节梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 在几种荷载下剪力图与弯矩图的特征 向下的均布荷载 向下方倾斜的直线 下凸的二次抛物线 在Fs 0的截面 无荷载 水平直线 一般为 一般为斜直线 集中力 在C处有突变 在C处有尖角 在剪力突变的截面 集中力偶 在C处无突变 在C处有突变 在紧靠C点的某一侧的截面 171 第二节梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 例题1求图示梁的剪力图和弯矩图 q l 2 l 2 解 剪力图 弯矩图 172 第二节梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 例题2求图示梁的剪力图和弯矩图 q q P qa A B 解 a a a Q图 M图 173 第二节梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 例题3求图示梁的剪力图和弯矩图 m 解 Q图 M图 174 第二节梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 例题4求图示梁的剪力图和弯矩图 a a a A B P m Pa 解 Q图 M图 175 第二节梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 例题5求图示梁的剪力图和弯矩图 P m Pa A B a a 解 Q图 M图 176 第二节梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 例题6求图示梁的剪力图和弯矩图 q 2qa 2qa2 a a 2a 解 Q图 M图 A B D C 177 第二节梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 例题7求图示梁的剪力图和弯矩图 q q qa2 2 A B 解 Q图 M图 178 第二节梁的剪力和弯矩 剪力图和弯矩图 例题8求图示梁的剪力图和弯矩图 a a a q qa qa2 2 A B 解 Q图 M图 179 第三节梁横截面上的正应力 一 纯弯曲 a a P P A D C B Q图 M图 BC段纯弯曲 AB段 CD段剪切弯曲 180 第三节梁横截面上的正应力 二 纯弯曲试验与假设 181 第三节梁横截面上的正应力 假设1 梁的各纵向纤维间无挤压 所有与轴线平行的纵向纤维都只受轴向拉伸或压缩 假设2 各个横截面变形后仍保持为平面 并仍垂直于变形后梁的轴线 只是绕横截面上的某个轴旋转了一个角度 梁在纯弯曲时的平截面假设 182 第三节梁横截面上的正应力 纵向纤维既没伸长也没缩短的层 中性层 中性层与横截面的交线 中性轴 梁在纯弯曲的情况下 所有横截面仍保持为平面 只是绕中性轴作相对转动且每根纵向纤维都处于轴向拉伸或压缩的简单受力状态 183 第三节梁横截面上的正应力 三 梁横截面上的正应力 1 几何关系 M M O O b b a a C C 为曲率中心 为曲率半径d 相对转角 x y 184 第三节梁横截面上的正应力 2 物理关系 纯弯曲的梁横截面上只有弯矩产生的正应力 当正应力没有超过比例极限时 应用虎克定理 横截面上任意一点处的正应力与该点距中性轴的距离成正比 即 正应力沿截面高度成线性规律分布 max 发生在截面上 下边缘 中性轴上各点的正应力为零 185 第三节梁横截面上的正应力 3 静力学关系 横截面对Z轴静矩为零 确定中性轴位置 中性轴通过截面形心 186 第三节梁横截面上的正应力 横截面对Z轴的惯性矩 令 弯曲截面系数 187 第三节梁横截面上的正应力 四 剪切弯曲时梁横截面上的正应力 剪切弯曲梁横截面上正应力的计算公式 188 第三节梁横截面上的正应力 例题1简支梁受力如图所示 计算当梁按 1 2 两种情况放置时 竖放 平放 求 m m截面上最大正应力 A D C B 180 5kN 5kN 180 m m z y 60 30 解 竖着放好 189 第三节梁横截面上的正应力 例题2梁横截面为空心圆截面 承受正弯矩60kN m作用 试求 横截面上点a b和c处的弯曲正应力 z y 100 200 a b c 解 190 第三节梁横截面上的正应力 例题3T型截面梁尺寸如图所示 若该梁危险截面承受负弯矩3 1kN m 试求 该梁的最大拉应力和最大压应力 150 50 150 50 z y 解 1 确定形心 zC 2 截面对中性轴的惯性矩 191 第三节梁横截面上的正应力 例题3T型截面梁尺寸如图所示 若该梁危险截面承受负弯矩3 1kM m 试求 该梁的最大拉应力和最大压应力 150 50 150 50 z y zC 192 第四节梁横截面上的切应力 一 矩形截面梁 dx x q C z y C 假设 横截面上剪应力的分布规律 1 横截面上剪应力方向平行于剪力Q 2 剪应力沿截面宽度均匀分布 193 第四节梁横截面上的切应力 194 第四节梁横截面上的切应力 横截面上任意点处切应力 Q 横截面上的剪力 IZ 整个横截面对中性轴的轴惯性矩 b 所求点处的受剪宽度 SZ 所求点处横线以外部分面积对中性轴的静矩 195 第四节梁横截面上的切应力 二 矩形截面的切应力分布 196 第四节梁横截面上的切应力 例题1由三块木板胶合而成的悬臂梁 如图所示 试求 胶合面上的1 2点处剪应力和总剪力 150 100 解 197 第四节梁横截面上的切应力 例题1由三块木板胶合而成的悬臂梁 如图所示 试求 胶合面上的1 2点处剪应力和总剪力 150 100 切应力互等定律 截面对称 胶合面上的总剪力 198 第四节梁横截面上的切应力 例题2 1 试计算1 1截面A A位置上1 2两点处的正应力 2 此截面最大正应力 3 全梁最大正应力 最大剪应力 1m q 60kN m 2m A B 120 180 30 解 压 199 第四节梁横截面上的切应力 例题2 1 试计算1 1截面A A位置上1 2两点处的正应力 2 此截面最大正应力 3 全梁最大正应力 最大剪应力 1m q 60kN m 2m A B 120 180 30 200 第五节强度条件 一 正应力强度条件 塑性材料 由于塑性材料的 拉 压 为使最大工作拉应力和压应力同时达到 梁截面通常做成对称于中性轴 塑性材料正应力强度条件 201 第五节强度条件 脆性材料 由于 拉 压 为了充分利用材料 通常将截面做成不对称于中性轴的形状 对脆性材料进行强度校核时 不仅需要验算最大弯矩所在截面上的应力情况 有时还需验算与最大弯矩符号相反的较大弯矩截面上的应力情况 202 第五节强度条件 二 切应力强度条件 203 第五节强度条件 例题1正方形截面的悬臂梁 尺寸及所受荷载如图所示 材料的 10MPa 现需在截面C的中性轴处钻一直径为d的圆孔 试求 在保证梁的正应力强度条件下 圆孔的最大直径d q 2kN m 160 160 d 解 正应力的强度条件 204 第五节强度条件 例题2图示槽形截面悬臂梁 40MPa 120MPa 试校核其强度 m 70kN m 3m 3m 解 25 25 200 50 150 首先确定截面形心位置 205 第五节强度条件 例题2图示槽形截面悬臂梁 40MPa 120MPa 试校核其强度 m 70kN m 3m 3m 25 25 200 50 150 206 第五节强度条件 例题2图示槽形截面悬臂梁 40MPa 120MPa 试校核其强度 m 70kN m 3m 3m 25 200 50 150 25 207 第五节强度条件 例题3已知梁的横截面如图所示 横向荷载作用在对称平面内该截面上的弯矩M 12kN m Q 12kN 试计算该截面上 1 A B两点处的正应力 2 max和 max 3 沿a a的正应力和剪应力分布图 160 280 80 40 100 解 首先确定截面形心位置及截面对中性轴的轴惯性矩 A B 208 第五节强度条件 例题3已知梁的横截面如图所示 横向荷载作用在对称平面内该截面上的弯矩M 12kN m Q 12kN 试计算该截面上 1 A B两点处的正应力 2 max和 max 3 沿a a的正应力和剪应力分布图 160 280 80 40 100 A B 209 第五节强度条件 例题3已知梁的横截面如图所示 横向荷载作用在对称平面内该截面上的弯矩M 12kN m Q 12kN 试计算该截面上 1 A B两点处的正应力 2 max和 max 3 沿a a的正应力和剪应力分布图 160 280 80 40 100 A B 210 第五节强度条件 例题3已知梁的横截面如图所示 横向荷载作用在对称平面内该截面上的弯矩M 12kN m Q 12kN 试计算该截面上 1 A B两点处的正应力 2 max和 max 3 沿a a的正应力和剪应力分布图 160 280 80 40 100 A B 211 第六节提高梁的强度的主要措施 设计梁的主要依据是弯曲正应力强度条件 下面分别讨论提高梁强度的几个问题 一 梁支承的合理安排与荷载的合理布置 1 梁支承的合理安排 212 第六节提高梁的强度的主要措施 2 荷载的合理布置 213 第六节提高梁的强度的主要措施 二 梁的合理截面 1 提高抗弯截面模量WZ 可提高梁的强度 b h h b z z 截面竖放比横放抗弯能力强 一个合理截面形状应该是 WZ值较大而面积A较小 即WZ与A的比值越大 截面越合理 214 第六节提高梁的强度的主要措施 z b h b z K 表示截面抗弯强度合理程度的一个无量刚系数 凡是截面面积离中性轴较远的 这种截面系数值越高 215 第六节提高梁的强度的主要措施 2 根据材料的特性选择截面尺寸 塑性材料 选择对称于中性轴的截面 使最大拉 压应力同时达到许用应力 脆性材料 中性轴最理想位置是最大拉 压应力能同时达到许用应力 216 第六节提高梁的强度的主要措施 3 变截面梁 设b为常量 设h为常量 217 第六节提高梁的强度的主要措施 218 第七章梁弯曲时的位移 主讲教师 郑新亮 2020年4月24日星期五 219 第一节梁的位移 挠度及转角 220 第一节梁的位移 挠度及转角 一 挠曲线 在平面弯曲情况 梁变形后的轴线将成为xoy平面内的一条曲线 这条连续 光滑的曲线 梁的挠曲线 弹性曲线 221 第一节梁的位移 挠度及转角 二 截面转角和挠度 梁弯曲变形的两个基本量 1挠度 梁变形后 横截面的形心在垂直于梁轴线 x轴 方向上所产生的线位移 称为梁在截面的挠度 C 一般情况下 不同横截面的挠度值不同 横截面挠度随截面位置 x轴 而改变的规律用挠曲线方程表示 即 符号规定 挠度向下为正 向上为负 单位 mm 222 第一节梁的位移 挠度及转角 2转角 横截面绕中性轴所转过的角度 由梁弯曲的平面假设可知 梁的横截面变形前垂直于轴线 变形后仍垂直于挠曲线 A 曲线在C 点的切线与x轴间的夹角 符号规定 转角从x轴逆时针转至切线方向为正 反之为负单位 rad 223 第一节梁的位移 挠度及转角 3截面挠度与转角的关系 挠曲线的斜率 工程中由于是小变形 极小 可用 注 挠曲线上任意点处切线的斜率等于该点处横截面的转角 224 第一节梁的位移 挠度及转角 弹性曲线的小挠度微分方程 力学公式 数学公式 此即弹性曲线的小挠度微分方程 225 第一节梁的位移 挠度及转角 挠曲线近似微分方程 226 第一节梁的位移 挠度及转角 挠曲线近似微分方程 梁的弯曲方程 积分一次 积分二次 积分常数 需要利用边界条件和连续光滑条件来确定 边界条件和连续光滑条件 梁上某些横截面处位移为已知的条件 227 第二节用积分法求弯曲变形 例题1求该悬臂梁的最大挠度和转角 A B l 解 建立坐标 写弯矩方程 B 代入挠曲线近似微分方程 积分一次 积分二次 228 第二节用积分法求弯曲变形 例题1求该悬臂梁的最大挠度和转角 A B l B 利用边界条件确定积分常数 229 第二节用积分法求弯曲变形 例题2求该简直梁的最大挠度和转角 q A B 解 建立坐标 写弯矩方程 代入挠曲线近似微分方程 积分一次 积分二次 230 第二节用积分法求弯曲变形 例题2求该简直梁的最大挠度和转角 q A B 利用边界条件确定积分常数 231 第二节用积分法求弯曲变形 例题2求该简直梁的最大挠度和转角 q A B 232 第二节用积分法求弯曲变形 例题3求该简直梁的最大挠度和转角 A B 解 建立坐标 写弯矩方程 233 第二节用积分法求弯曲变形 积分一次 积分二次 234 第二节用积分法求弯曲变形 235 第二节用积分法求弯曲变形 236 第三节用叠加法求弯曲变形 叠加法 当梁上同时作用几个荷载时 在小变形情况下 且梁内应力不超过比例极限 则每个荷载所引起的变形 挠度和转角 将不受其它荷载的影响 即 梁上任意横截面的总位移等于各荷载单独作用时 在该截面所引起的位移的代数和 237 第三节用叠加法求弯曲变形 荷载叠加 将作用在梁上的荷载分解成单个荷载 利用单个荷载作用下梁的挠度和转角的结果进行叠加 就可求得梁在多个荷载作用下的总变形 238 第三节用叠加法求弯曲变形 逐段刚化法 将梁分成几段 分别计算各段梁的变形在需求位移处引起的位移 然后计算其总和 即 考虑某段梁的变形时 将其它梁段视为刚体 在利用外力平移计算其它梁段的变形 最后叠加 例题1求该悬臂梁的最大挠度和转角 239 第三节用叠加法求弯曲变形 240 第三节用叠加法求弯曲变形 例题2求梁跨中中点处的挠度 已知 抗弯刚度为EI q 解 q 241 第三节用叠加法求弯曲变形 例题3求A点处的挠度 已知 抗弯刚度为EI l a 解 M 242 第四节提高梁刚度的一些措施 1刚度条件 例题1已知 P1 2kN P2 1kN l 400mm a 100mm 外径D 80mm 内径d 40mm E 200GPa 截面C处挠度不超过两轴承间距离的10 4 轴承B处转角不超过10 3弧度 试校核该主轴的刚度 解 243 第四节提高梁刚度的一些措施 244 第四节提高梁刚度的一些措施 满足刚度条件 245 第四节提高梁刚度的一些措施 2提高梁刚度的措施 梁的变形不仅与荷载 支承有关 而且与材料 跨度等也有关 1 提高梁的抗弯刚度EI 对弹性模量来说 即使采用高强合金钢也只是增加了许用应力 但E值比较接近 提高梁的抗弯强度的措施 要增加梁的抗弯刚度还是需要考虑横截面的惯性矩 梁的变形与横截面的惯性矩成反比 增加惯性矩可以提高梁的抗弯刚度 与提高梁的抗弯强度的办法相类似 246 第四节提高梁刚度