微分方程的应用PPT课件

1 第五模块微分方程 第五节一阶微分方程应用举例 例1设曲线过点 1 1 且其上任意点P的切线在y轴上截距是切点纵坐标的三倍 求此曲线方程 解设所求的曲线方程为y y x P x y 为其上任意点 则过点P的切线方程为 其中 X Y 是切线上动点 x y 是曲线上任意固定的点 2 令X 0 得切线在y轴上的截距为Y y xy y xy 3y 这是一阶线性齐次方程 其通解为 因曲线过点 1 1 代入方程 得C 1 所以曲线方程为 由题意得 3 例2设跳伞员开始跳伞后所受的空气阻力与他下落的速度成正比 比例系数为常数k 0 起跳时的速度为0 求下落的速度与时间之间的函数关系 解设下落速度为v t 则加速度a v t 运动 物体所受的外力为 F mg kv 于是 由牛顿第二定律可得 mg kv mv 4 又由题意得初始条件 v t 0 0 可见 初值问题 是一个一阶线性非齐次微分方程 其通解为 由v 0 0得C mg 即为所求的函数关系 所以 特解 5 例4假设一高温物体在冷却剂中均匀地冷却 物体的初始温度为200 C 且由200 C冷却到100 C需要40s 已知 冷却定律 冷却速率与物体和介质的温度差成正比 其介质 冷却剂 温度始终保持为10 C 并求物体温度降到20 C所需的时间 解设物体温度为q q t 则物体的冷却速率为q t 由冷却定律可得q t 应满足的微分方程为 q t k q t 10 k 0 试求物体温度q与时间t的函数关系 6 另由题意知q t 所满足的初始条件为 q t 0 200 于是 初值问题是 解此初值问题 得特解 q t 10 190e kt 因此 得 由于 40 100 即100 10 190e 40k 7 最后 将q 20代入上式 即物体温度降到20 C大约需要2min38s 从而得物体温度q与时间t的函数关系为 并解出 8 三 应用举例 例12弹簧振动问题 设有一个弹簧上端固定 下端挂着一个质量为m的物体 当弹簧处于平衡位置时 物体所受的重力与弹性恢复力大小相等 方向相反 设给物体一个初始位移x0初速度v0 则物体便在其平衡位置附近上下振动 已知阻力与其速度成正比 试求振动过程中位移x的变化规律 9 物体在振动过程中 受到两个力的作用 ma kx mv 其中a为加速度 v为速度 解建立坐标系 平衡位置为原点 铅垂方向为x轴的正向 则物体位移x是时间t的函数x x t 根据牛顿第二定律F ma 知 负号表示阻力f2与速度v方向相反 其中m为比例系数大于0 或称阻尼系数 阻力f2与速度v成正比 f2 mv 负号表示弹性恢复力与位移x方向相反 其中k为弹性系数大于0 由胡克定律知 f1 kx 弹性恢复力f1与阻力f2 10 则上式方程可表示为 称为振动的微分方程 是一个二阶常系数线性齐次方程 它的特征方程为r2 2nr w2 0 其根为 那么 上式变为 这里n w为正常数 11 由题意列出初始条件 于是 上述问题化为初值问题 12 下面分三种情况来讨论 1 大阻尼情形 即n w 是两个不相等的实根 所以方程的通解为 2 临界阻尼情形 即n w 这时 特征根r1 r2 n 所以方程的通解为 13 3 小阻尼情形 即n w 这时 特征根为共轭复数 所以方程的通解为 上式也可写成 14 对于1 2 情形 x t 都不是振荡函数 且当t 时 x t 0 即物体随时间t的增大而趋于平