确定临界荷载的能量法ppt课件

13 3确定临界荷载的能量法 一 能量法及临界状态的能量特征 临界状态的能量特征 其一 从能量守恒原理出发 有 应变能增量等于荷载功增量 由此导出铁木辛柯能量法 其二 从势能驻值原理出发 有总势能 以原始平衡位置为参考状态 由此导出瑞利 里兹能量法 1 二 能量守恒原理和铁木辛柯能量法 在位于凹面内稳定平衡情况下 其势能EP最小 当受到某外界干扰使它偏离原平衡位置时 小球重心将升高 从而势能增加 即DEP 0 在位于凸面上不稳定平衡情况下 其势能EP最大 当受到某外界干扰使它偏离原平衡位置时 小球重心将下降 从而势能减小 即DEP 0 在处于平面上随遇平衡情况下 其势能EP为常量 使小球偏离原平衡位置 将不会引起势能改变 即DEP 0 2 弹性中心压杆 若由于某种外因使压杆发生横向弯曲 杆件的应变能将会增加 增加了弯曲应变能 杆件的荷载势能将会减小 整个体系的势能的增量为 体系处于随遇平衡状态时 势能的增量恒等于零 即DEP 0 铁木辛柯能量法 3 1 有限自由度体系的稳定 铁木辛柯法 用能量法重解上节图13 6所示刚性中心压杆的临界荷载 第一 假设失稳形式 如图实线所示 位移参数为q 第二 根据临界状态的能量特征 建立临界状态平衡方程 4 荷载功的增量为 5 此即临界状态平衡方程 这是一个以q为未知量的齐次方程 能量法以下的步骤与静力法完全相同 6 能量法计算临界荷载 按以下步骤进行 1 假定失稳形式 2 根据能量特征 3 由位移有非零解的条件 建立稳定方程 4 解稳定方程 求特征荷载值 5 由最小特征荷载值 确定临界荷载 建立临界状态方程 即以能量形式表示的临界状态平衡方程 7 例13 4 试用能量法重解上节例13 1图13 7a所示具有两个自由度体系的临界荷载 1 假设失稳形式 如图所示 根据 建立临界状态能量方程 8 荷载功的增量为 又弹性支座的应变能增量为 9 10 能量法以下的计算步骤与静力法完全相同 11 2 无限自由度体系的稳定 铁木辛柯法 现以图示弹性中心压杆为例 取压杆直线平衡位置作为参考状态 假设失稳形式 如图实线所示 y x 为满足位移边界条件的任一可能位移状态 12 取微段dx进行分析 微段两端点竖向位移的差值为 按泰勒级数展开 略去高阶微量 则可改写为 13 荷载功的增量 临界荷载的计算公式为 14 1 假设失稳形式y x 2 计算y x 和 3 代入铁木辛柯能量法公式 13 6 计算临界荷载 用铁木辛柯能量法计算无限自由度体系的临界荷载 可采用以下计算步骤 15 例13 5 试用能量法计算图示两端简支的中心压杆的临界荷载 假设变形曲线为二次抛物线 引入边界条件 误差为21 6 16 假设以横向均布荷载作用下的变形曲线作为屈曲时近似变形曲线 即 x 0 x l处的几何边界条件仍能满足 误差仅为0 13 17 假设变形曲线为正弦曲线 同样能满足几何边界条件 变形曲线只含一个位移参数a 即作为单自由度体系看待 用静力法所得精确结果完全相同 这是因为所设的变形曲线式与实际屈曲时的变形曲线完全一致 18 第一 用能量法求临界荷载 须事先假定屈曲时的变形曲线 得到的是对应的近似解 第二 用能量法求解临界荷载的关键是 假定的变形曲线y x 必须合适 应尽可能接近实际屈曲形式又便于计算 为此 所假设的变形曲线最好能同时满足几何边界条件 支座处的挠度D和转角q 与静力边界条件 支座处的弯矩M和剪力FQ 至少应使几何边界条件得到满足 同时 所假设的变形曲线必须便于积分运算 第三 用能量法求得的临界荷载都大于精确值 假设的变形形式与实际变形不一致 相当于在压杆中加入了某些附加约束 提高了压杆的刚度 通过以上算例 可以指出以下几点 19 三 势能驻值原理和瑞利 里兹能量法 势能驻值原理可表述为 在弹性体系的所有几何可能位移状态中 其真实的位移状态使总势能为驻值 即总势能的一阶变分 极大 极小或始终保持不变 由此得到的驻值条件等价于平衡条件 仅驻值条件还不能保证体系变形状态的稳定性 因为体系的平衡状态有稳定的 不稳定的和随遇平衡三种 要最终判别平衡状态究竟属于哪一种 还必须对总势能作进一步研究 研究结构变形状态是否稳定必须进一步考察总势能的二阶变分析 20 1 有限自由度体系的稳定 瑞利法 设取该图中双点画线所示初始平衡位置为参考状态 假设失稳形式如实线所示 位移参数为q 21 其总势能为 弹簧的应变能 荷载势能 体系总势能 22 第一 当体系处于稳定平衡状态时 其势能必为最小 因此 体系由稳定平衡状态过渡到不稳定平衡状态时 相应体系的总势能EP就由正定过渡到非正定 第二 当体系处于随遇平衡状态 即如以初始平衡位置作为参考状态 则必有总势能恒为0 23 2 无限自由度体系的稳定 瑞利 李兹法 图示为一弹性中心压杆 设取压杆在直线平衡的位置作为参考状态 则对任一几何可能位移 它的总势能为 体系在临界状态时其总势能恒为0 U和D均与所取体系几何可能位移有关 对弹性杆而言 其几何可能位移可有无限个 因此 满足式的FP值就不止一个 24 设弹性杆的任一个几何可能位移用y x 表示 若只考虑弯曲变形的影响 则有 25 在求解比较复杂的问题时 上面所设的弹性曲线方程式常常难以满足全部边界条件 其形状也很难与实际情况完全一致 因此 常采用下面介绍的李兹法 采用包含若干参数的组合形式的变形曲线去逼近真实曲线 即 是满足位移边界条件的已知函数 ai是待定的参数 共有n个 这样 无限自由度体系被近似地看成具有n个自由度的体系 26 求FP极小值 其极小条件为 27 28 即为临界状态的能量方程 29 有非零解的条件是 其系数行列式应为零 于是得稳定方程 n次代数方程 可求出n个根 由其中的最小根可确定临界荷载 30 假设失稳形式 计算稳定方程的系数 建立稳定方程 解稳定方程 由方程解中取荷载最小值 作为最接近精确解的临界荷