陀螺经纬仪原理与应用ppt课件

陀螺经纬仪原理与应用 报告主要内容 一 概述二 陀螺的特性及力学原理三 陀螺仪的运动方程四 自由陀螺仪的视运动五 陀螺经纬仪的指北原理六 陀螺经纬仪的应用 一 概述 什么是陀螺 绕一个支点高速转动的刚体称为陀螺 top 一 概述 什么是陀螺仪 把陀螺安装在专门的悬挂装置上 就构成了陀螺仪 gyroscope 一 概述 什么是陀螺经纬仪 陀螺经纬仪 gyrotheodolite 是带有陀螺仪装置 用于测定直线真方位角的经纬仪 其关键装置之一是陀螺仪 又称回转仪 索佳GP 1型中国航天BTJ 5型 二 陀螺仪的特性及力学原理 陀螺仪的坐标系 陀螺转子的运动本质是刚体定点转动问题 为了研究问题的方便 需建立一组右手直角坐标系OXYZ 用来表示陀螺仪转子主轴在空间的方位 其定义如下 1 坐标原点O为陀螺仪支架中心 2 X轴与转子自转轴重合 但不参与自转 其正方向选定为 从X轴尖看进去转子做逆时针旋转 3 Y轴与内环轴重合 4 Z轴与X Y轴组成右手直角坐标系并始终垂直于XOY平面 二 陀螺仪的特性及力学原理 陀螺仪的基本特性 1 定轴性 稳定性 当陀螺转子以高速旋转时 在没有任何外力矩作用在陀螺仪上时 陀螺仪的自转轴在惯性空间中的指向保持稳定不变 即指向一个固定的方向 同时反抗任何改变转子轴向的力量 这种物理现象称为陀螺仪的定轴性或稳定性 其稳定性随以下的物理量而改变 转子的转动惯量愈大 稳定性愈好 转子角速度愈大 稳定性愈好 二 陀螺仪的特性及力学原理 陀螺仪的基本特性 2 进动性当转子高速旋转时 若外力矩作用于外环轴 陀螺仪将绕内环轴转动 若外力矩作用于内环轴 陀螺仪将绕外环轴转动 其转动角速度方向与外力矩作用方向互相垂直 这种特性 叫做陀螺仪的进动性 进动角速度的方向取决于动量矩H的方向 与转子自转角速度矢量的方向一致 和外力矩M的方向 而且是自转角速度矢量以最短的路径追赶外力矩 附录 向量的运算 在坐标系中 用单位向量 分别表示为一 向量的加减 二 向量的数量积 点乘 三 向量的向量积 叉乘 附录 角动量及角动量定理 一 角动量设刚体以角速度绕定点O转动 如下图所示 刚体内任意一质点i对O点的向径为 则质点i的线速度为该质点i 质量为mi 的动量为该质点i的角动量 是指该质点i的动量对定点O之矩 即 附录 角动量及角动量定理 在实际陀螺仪表中 陀螺转子绕X轴的自转角速度要比绕Y轴和Z轴的角速度远远大得多 一般绕X轴的自转角速度为2000r min左右 而绕Y轴和Z轴的角速度仅在1 min以下 所以陀螺转子角动量实际上可以看成为对于X轴的角动量 这样 互相垂直 角动量 也称动量矩 的大小为式中称为陀螺转子的对自转轴的转动惯量 附录 角动量及角动量定理 二 角动量定理刚体在空间绕定点O转动时 刚体对O点的角动量为对时间求导 因为根据牛顿第二定律为作用在质点上的外力 则上式变为其中 为作用在刚体所有质点上的外力对O点的力矩向量之总和 角动量定理 刚体对某点的角动量对时间的导数等于作用在刚体上所有外力对同一点的总力矩 附录 角动量及角动量定理 二 角动量定理同时 已知向量对时间的导数就是此向量末端的瞬时速度 即综合以上 可推出因此 角动量定理又可叙述为 刚体对某一点的角动量向量的末端速度在几何上等于作用在刚体上所有外力对同一点的总力矩 二 陀螺仪的特性及力学原理 陀螺仪特性的力学原理1 定轴性 稳定性 根据角动量定理 如果作用在陀螺仪上的外力矩为零 则角动量末端的速度也应为零 即得说明若主轴初始时刻指向空间某一方向 那么以后将始终指向该方向 这就是陀螺仪具有定轴性的原因 同样 由角动量定理得由于脉冲力矩是瞬时作用的 即趋向于零 所以也趋向于零 这就说明角动量没有什么明显变化 亦即陀螺仪主轴仍然能保持原来的方向不变 二 陀螺仪的特性及力学原理 陀螺仪特性的力学原理1 进动性陀螺仪在外力矩作用下 其主轴做追赶外力矩运动的特性 或者说角动量力图以最短路径向外力矩靠拢的特性 叫做陀螺仪的进动性 若陀螺仪主轴在外力矩作用下以角速度进动时 向量的端点线速度为 又根据角动量定理 角动量矢端线速度应等于所加外力矩 故有根据以上分析 可得 陀螺仪在外力矩作用下 其主轴要产生进动 进动方向用右手法则确定 进动角速度的大小与外力矩成正比 与角动量成反比 三 陀螺仪的运动方程 一 欧拉动力学方程因此 三 陀螺仪的运动方程 一 欧拉动力学方程当刚体运动时 角动量H相对惯性坐标系的变化关系可用下式表示 上式即为哥氏转动坐标定理 在惯性坐标系中 某一向量函数对时间的变化率 绝对变化率 等于同一向量在动坐标系中对时间的变化率 相对变化率 与动坐标系对固定坐标系旋转角速度向量与该向量本身的向量积进行相加 下面在附录 来证明该等式 附录 哥氏转动坐标定理 所以有 三 陀螺仪的运动方程 一 欧拉动力学方程由角动量定理 上式可写成 将写成沿动坐标Oxyz的坐标轴的投影形式 而且 三 陀螺仪的运动方程 一 欧拉动力学方程外力矩在动坐标系中可表示为式中 Mx My Mz分别为外力矩在x y z三根坐标轴上的投影 由上面推导可得上式为刚体定点转动的欧拉动力学方程式 三 陀螺仪的运动方程 二 陀螺仪运动方程设 t 0时 惯性坐标系OXYZ和陀螺坐标系Oxyz重合 设 t t1时 陀螺坐标系Oxyz绕外环轴的正向以角速度相对惯性坐标系转 角 设 t t2时 陀螺坐标系又以角速度绕内框架轴转 角 图 1 三 陀螺仪的运动方程 二 陀螺仪运动方程由刚体定点转动的欧拉动力学方程式 1 而角动量在x轴 y轴 z轴上的投影分别等于 2 三 陀螺仪的运动方程 二 陀螺仪运动方程将 2 式代入 1 式中 可得 3 对于实用陀螺都有 和 所以可以认为 将以上代入 3 式 可得 4 三 陀螺仪的运动方程 二 陀螺仪运动方程在陀螺仪工作中 陀螺转子的转速是一个常数 这表明作用在自转轴x上的驱动力矩被转子轴承中的摩擦力矩和介质力矩所平衡 即作用在x轴上的外力矩Mx 0 这样 4 式第一项可写成 又因为 则有 即 所以 在研究陀螺运动时 可以不考虑第一项 而将方程组 4 中的第二项 第三项作为研究陀螺仪的运动方程 5 三 陀螺仪的运动方程 二 陀螺仪运动方程下面研究陀螺仪主轴绕外环轴的转角 和绕内环轴的转角 的变化规律 由图1可知 6 对 求导数有 7 将 6 7 代入 5 式中 整理可得 8 三 陀螺仪的运动方程 二 陀螺仪运动方程因为 和 在陀螺实际工作时是很小的 因此可以认为 忽略二阶以上的微量 方程组 8 可简化为 9 上式即为陀螺仪运动的技术方程 在技术方程中的惯性项 含J项 只引起陀螺仪主轴高频微幅的振荡运动 这种运动称为章动 章动会由于周围介质的阻力和支承系统的摩擦而很快消失 因此 在研究陀螺仪运动时 略去含有转动惯量的各项 将不会影响陀螺仪主轴的主要运动特性 故 9 式又可以简化为 三 陀螺仪的运动方程 二 陀螺仪运动方程 10 或 11 以上两式称为陀螺仪运动的进动方程 用来研究陀螺仪的运动特性已能满足工程需要 四 自由陀螺仪的视运动 一 地理坐标系地理坐标系是用来表示地球及其运动的坐标系 如图2所示 12 其中 1为地球自转角速度 e在水平轴ON上的分量 其物理意义为地平面ONW绕ON轴以角速度 1的不断作西升东降的转动 2为地球自转角速度 e在垂直轴OT上的分量 其物理意义为当地子午面绕OT图2轴以角速度 2的不断向西转动 四 自由陀螺仪的视运动 二 视运动现象以地球为参考基准 观察陀螺仪主轴相对地球的运动 称为陀螺仪的视运动 1 将自由陀螺仪放置在地球的北极 主轴水平 如图3所示 以地球为基准的人将会看到 陀螺仪的主轴在水平面内相对地球作顺时针的转动 图3 四 自由陀螺仪的视运动 二 视运动现象 2 将自由陀螺仪放置在赤道处 主轴水平指向东 如图4所示 高度角变化的角速度为 13 图4 四 自由陀螺仪的视运动 二 视运动现象 3 将自由陀螺仪放置在地球上任意纬度 处 并使其主轴水平指向北 我们会看到陀螺仪的主轴将逐渐偏离当地子午线 绕与地球极轴相平行的轴线相对地球作顶角为2 的圆锥运动 如图5所示 由上可知 自由陀螺仪相对地球图5来说 由于视运动的存在其主轴不能相对地球保持方位不变 四 自由陀螺仪的视运动 三 陀螺仪视运动分析假设在起始时刻陀螺坐标系Oxyz与地理坐标系ONWT相重合 如图6所示 y和 z是陀螺仪相对惯性空间的绝对运动角速度在陀螺坐标系Oxyz的y轴和z轴上的分量 则有 14 由前面推得的进动方程 图6 15 四 自由陀螺仪的视运动 三 陀螺仪视运动分析对自由陀螺仪而言 作用在陀螺仪上的外力矩为0 即My Mz 0 将式 15 代入式 14 则可以得 16 由于 和 是很小的角度 将式 16 线性化 可得 17 四 自由陀螺仪的视运动 三 陀螺仪视运动分析由式 17 第一式得 代入式 17 第二式得 18 这是一个二阶齐次常微分方程 求解方法如下 四 自由陀螺仪的视运动 三 陀螺仪视运动分析由上解得设初始条件为t 0 0 0 0 0得 19 消去参数 1t 20 四 自由陀螺仪的视运动 三 陀螺仪视运动分析上式 20 即为水平指向北的自由陀螺仪放置在地球的任意纬度 处 其主轴在方位角和高度角上的运动规律 其端点的运动轨迹为一个圆 在 O 相平面上 其圆心为 圆的半径为 如图7所示 说明在地球上的任意纬度处 自由陀螺仪主轴相对于地球的视运动轨迹是一个如图8所示的顶角为2 的圆锥面 图7图8 五 陀螺仪的指北原理 一 钟摆式陀螺仪的原理由第四节可知 自由陀螺仪并没有找北能力 但只要对陀螺仪施加一定的控制力矩 如重力矩 使其主轴以当地子午线的转动角速度相对惯性空间进动 从而跟踪当地的子午线 这时主轴就有了寻北功能 图9 钟摆式陀螺仪结构示意图 五 陀螺仪的指北原理 一 钟摆式陀螺仪的原理Oxyz为陀螺坐标系 ONWT为地理坐标系 由于倾斜了 角 重力mg相对中心O产生沿y轴正方向的重力矩My 由于My的存在 说明重心下移的陀螺在主轴偏离子午面时 由于地球自转角速度水平分量 1的影响 使陀螺仪主轴相对地平面产生高度角 从而使陀螺产生找北的重力矩 即陀螺主轴将向北进动 五 陀螺仪的指北原理 二 钟摆式陀螺仪的平衡位置假如在一开始 陀螺球的主轴x放置在子午面内 即 并使其相对地平面抬高一个角 则有在My的作用下 主轴相对惯性空间产生绕z轴方向的进动角速度 绕天顶OT轴的转动角速度 五 陀螺仪的指北原理 二 钟摆式陀螺仪的平衡位置要使主轴平衡 则角产生的摆性力矩应使主轴向西进动的角速度恰好等于 2 则角为 因为角为小角 所以由此可以设想 把陀螺仪的主轴一开始放置在 的位置上 那么主轴将一直处在这个指北的位置上 所以 为陀螺仪主轴的平衡位置 五 陀螺仪的指北原理 三 影响主轴相对地理坐标系的三种运动1 由于地球的自转 其角速度水平分量的影响地球自转角速度水平分量为 其在y轴上的分量为 五 陀螺仪的指北原理 三 影响主轴相对地理坐标系的三种运动由此而引起的陀螺主轴H向量矢端相对地平面的线速度 所以有 主轴在子午面以东时 v1相对地平面向上运动 主轴在子午面以西时 v1相对地平面向下运动 主轴在子午面内时 v1 0 v1的大小与方位角 成正比 五 陀螺仪的指北原理 三 影响主轴相对地理坐标系的三种运动2 由于地球自转 其角速度垂直分量的影响地球自转角速度垂直分量 2为 由于地球自转角速度垂直分量 2的存在 使子午面的北端要绕着地垂线做向西的转动 因此 放置在地球北纬的陀螺 子午面相对其主轴矢端的线速度v2 它总是使陀螺主轴以v2的线速度向东运动 五 陀螺仪的指北原理 三 影响主轴相对地理坐标系的三种运动3 当主轴高于地平面时的影响当主轴高于地平面时 角为负 重力矩将沿y轴正向 假如这时主轴指北 那么主轴将向西进动 进动角速度 进为 而陀螺主轴H向量矢端产生的线速度v3为 主轴在地平面以上 v3向西 主轴在地平面以下 v3向东 主轴在地平面上 v3 0 v3的大小与高度角 成正比 综上所叙 陀螺主轴在地理坐标系中的运动是上面三种运动的合成 其速度v为 五 陀螺仪的指北原理 四 主轴X的运动轨迹 相平面为了研究问题的方便 我们在主轴的正前方垂直竖立一个屏面 将主轴X的运动轨迹投影到该屏面上 称这一平面为相平面 如下图所示 图中 MM为子午面在屏面上的投影 WE为与地平面平行的直线 五 陀螺仪的指北原理 五 钟摆式陀螺仪的指北原理下面分析陀螺在地球任意纬度 处 主轴不在平衡位置上 在相平面内的运动规律 设在开始时主轴水平偏东 位于下图中a的位置 五 陀螺仪的指北原理 六 陀螺仪运动微分方程陀螺仪相对惯