（浙江专用）备战2020版高考数学考点一遍过考点07对数与对数函数（含解析）.docx

考点07对数与对数函数1理解对数的概念，掌握对数的运算，会用换底公式.理解对数函数的概念，掌握对数函数的图象、性质及应用.2了解对数函数的变化特征.3能将一些简单的实际问题转化为对数函数问题，并给予解决.一、对数与对数运算1对数的概念（1）对数：一般地，如果，那么数x叫做以a为底N的对数，记作，其中a叫做对数的底数，N叫做真数.（2）牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数lgN；自然对数，以无理数e=2.71828为底数的对数lnN.（3）对数式与指数式的互化：.2对数的性质根据对数的概念，知对数具有以下性质：（1）负数和零没有对数，即；（2）1的对数等于0，即；（3）底数的对数等于1，即；（4）对数恒等式.3对数的运算性质如果，那么：（1）；（2）；（3）.4对数的换底公式对数的换底公式：.换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、计算或证明.换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.换底公式的变形及推广：（1）；（2）；（3）(其中a，b，c均大于0且不等于1，d0).二、对数函数及其性质1对数函数的概念一般地，我们把函数叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是.2对数函数的图象和性质一般地，对数函数的图象与性质如下表所示：图象定义域值域性质过定点，即时，在上是减函数在上是增函数当x1时，y0；当0x1时，y0当x1时，y0；当0x1时，y0在直线的右侧，当时，底数越大，图象越靠近x轴；当时，底数越小，图象越靠近x轴，即“底大图低”考向一 对数的运算对数运算的一般思路：（1）对于指数式、对数式混合型条件的化简与求值问题，一般可利用指数与对数的关系，将所给条件统一为对数式或指数式，再根据有关运算性质求解；（2）在对数运算中，可先利用幂的运算性质把底数或真数变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后运用对数的运算性质、换底公式，将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算.注意：（1）在利用对数的运算性质与进行化简与求值时，要特别注意题目的前提条件，保证转化关系的等价性（2）注意利用等式.典例1 化简_.【答案】【解析】23，故答案为.【名师点睛】对数有如下的运算规则：（1），；（2）；（3）；（4） .1已知函数,若,则ABCD考向二 对数函数的图象1对数函数的图象过定点（1,0），所以讨论与对数函数有关的函数的图象过定点的问题，只需令真数为1，解出相应的，即可得到定点的坐标.2当底数时，对数函数是上的增函数，当时，底数的值越小，函数图象越“陡”，其函数值增长得越快；当底数时，对数函数是上的减函数，当时，底数的值越大，函数图象越“陡”，其函数值减小得越快.也可作直线y=1与所给图象相交,交点的横坐标即为各个底数，依据在第一象限内，自左向右，图象对应的对数函数的底数逐渐变大，可比较底数的大小3对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解特别地，要注意底数和的两种不同情况有些复杂的问题，借助于函数图象来解决，就变得简单了，这是数形结合思想的重要体现4一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.典例2若函数的图象如图所示，则下列函数图象正确的是【答案】B【解析】由题图可知的图象过点(3,1)，则，即.A项，在上为减函数，错误；B项，符合；C项，在上为减函数，错误；D项，在(，0)上为减函数，错误典例3已知函数，且函数有且只有一个零点，则实数a的取值范围是A1，) B(1，)C(，1) D(，1【答案】B【解析】如图所示，在同一平面直角坐标系中分别作出与的图象，其中a表示直线在y轴上的截距，由图可知，当时，直线与只有一个交点故选B2函数的图象大致为ABCD考向三 对数函数的性质及其应用对数函数的性质及其应用是每年高考的必考内容之一，多以选择题或填空题的形式呈现，难度易、中、难都有，且主要有以下几种命题角度：（1）求对数型函数定义域的策略列出对应的不等式(组）求解，注意对数函数的底数和真数的取值范围.（2）比较对数式的大小：若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论；若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较；若底数与真数都不同，则常借助1,0等中间量进行比较（3）解对数不等式：形如的不等式，借助的单调性求解，如果a的取值不确定，需分与两种情况讨论；形如的不等式，需先将b化为以a为底的对数式的形式，再借助的单调性求解典例4 已知，则，的大小关系是ABCD【答案】B【解析】，又，且对数函数在上单调递增，.故选B【名师点睛】本题考查对数的运算性质及对数函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.典例5已知函数，满足，则实数的取值范围是A(1,2)B(2,3)C(1,3)D(2,4)【答案】A【解析】函数的定义域为，由可得：，两边平方：则（1）或（2）解（1）得：无解，解（2）得：，所以实数的取值范围是，故选A.【名师点睛】本题主要考查对数不等式的解，解题时注意定义域的求解，有一定综合性，属于中档题.典例6若函数在（0,3)上单调递增，则a的取值范围为_.【答案】【解析】由题意知a1，且a2，则u=a+3-ax在区间（0，3)上是减函数，且u(3-2a，a+3).而函数在（0，3）上单调递增，故函数在区间（3-2a，a+3)上是减函数，故0a-11且3-2a0，得10，且a1)的图象可能是2（2019年高考全国卷理数）已知，则ABCD3（2019年高考天津理数）已知，则的大小关系为ABCD4（2019年高考全国卷理数）若ab，则Aln(ab)0 B3a0 Dab5（2019年高考北京理数）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述两颗星的星等与亮度满足m2m1=，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1，2）已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为A1010.1B10.1Clg10.1 D1010.16（2019年高考全国卷理数）设是定义域为R的偶函数，且在单调递减，则A（log3）（）（）B（log3）（）（）C（）（）（log3）D（）（）（log3）7（2016年高考浙江卷文科）已知a，b0，且a1，b1.若，则ABCD8（2018年高考天津卷理科）已知，则a，b，c的大小关系为ABCD9（2018年高考天津卷文科）已知，则的大小关系为ABCD10（2018年高考全国卷文科）下列函数中，其图象与函数的图象关于直线对称的是ABCD11（2017年高考全国卷文科）函数的单调递增区间是A BC D12（2018年高考全国卷理科）设，则ABCD13（2017年高考北京卷理科）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080.则下列各数中与最接近的是（参考数据：lg30.48）A1033 B1053C1073D109314（2017年高考全国卷理科）设x、y、z为正数，且，则A2x3y5zB5z2x3yC3y5z2xD3y2x0，C正确.故选C【名师点睛】本题主要考查对数函数的性质、指数函数的性质、幂函数的性质及绝对值的意义，渗透了逻辑推理和运算能力素养，利用特殊值排除即可判断5【答案】A【解析】两颗星的星等与亮度满足，令，则从而. 故选A. 【名师点睛】本题以天文学问题为背景，考查考生的数学应用意识信息处理能力阅读理解能力以及对数的运算.6【答案】C【解析】是定义域为的偶函数，又在(0，+)上单调递减，即.故选C【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性、单调性，先利用函数的奇偶性化为同一区间，再利用中间量比较自变量的大小，最后根据单调性得到答案7【答案】D【解析】，当时，当时，观察各选项可知选D.【易错点睛】在解不等式时，一定要注意对分为和两种情况进行讨论，否则很容易出现错误8【答案】D【解析】由题意结合对数函数的性质可知：，据此可得：.本题选择D选项.【名师点睛】由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果.对于对数的大小的比较，我们通常都是运用对数函数的单调性，但很多时候，因对数的底数或真数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较，这就必须掌握一些特殊方法在进行对数的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据对数函数的单调性进行判断对于不同底而同真数的对数的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确9【答案】D【解析】由题意可知：，即，即，即，综上可得：.故本题选择D选项.【名师点睛】由题意结合对数的性质，对数函数的单调性和指数的性质整理计算即可确定a,b,c的大小关系.对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较这就必须掌握一些特殊方法在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确10【答案】B【解析】函数过定点（1，0），（1，0）关于直线x=1对称的点还是（1，0），只有的图象过此点.故选项B正确.【名师点睛】本题主要考查函数的对称性和函数的图象，属于中档题.求解时，确定函数过定点（1，0）及其关于直线x=1对称的点，代入选项验证即可.11【答案】D【解析】要使函数有意义，则，解得或，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为.故选D.【名师点睛】求函数单调区间的常用方法：（1）定义法和导数法，通过解相应不等式得单调区间；（2）图象法，由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集：二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“”连接；（3）利用复合函数“同增异减”的原则，此时需先确定函数的单调性.12【答案】B【解析】，,即，又，故选B13【答案】D【解析】设，两边取对数，所以，即最接近，故选D【名师点睛】本题考查了转化与化归能力，本题以实际问题的形式给出，但本质就是对数的运算关系，以及指数与对数运算的关系，难点是令，并想到两边同时取对数进行求解，对数运算公式包含，.14【答案】D【解析】令，则，则，则，故选D【名师点睛】对于连等问题，常规的方法是令该连等为同一个常数，再用这个常数表示出对应的，通过作差或作商进行比较大小.对数运算要记住对数运算中常见的运算法则，尤其是换底公式以及0与1的对数表示.15【答案】C【解析】用特殊值法，令，得，选项A错误，选项B错误，选项C正确，选项D错误，故选C【名师点睛】比较幂或对数值的大小,若幂的底数相同或对数的底数相同,通常利用指数函数或对数函数的单调性进行比较；若底数不同,可考虑利用中间量进行比较.16【答案】D【解析】，定义域与值域均为，只有D满足，故选D【名师点睛】对于基本初等函数的定义域、值域问题，应熟记图象，运用数形结合思想求解.17【答案】C【解析】由题意可得，且，所以，结合函数的单调性可得，即，即故选C【名师点睛】比较大小是高考的常见题型，指数式、对数式的大小比较要结合指数函数、对数函数，借助指数函数和对数函数的图象，利用函数的单调性、奇偶性等进行大小比较，要特别关注灵活利用函数的奇偶性和单调性，数形结合进行大小比较或解不等式18【答案】C【解析】由题意知，所以的图象关于直线对称，故C正确，D错误；又（），由复合函数的单调性可知在上单调递增，在上单调递减，所以A，B错误，故选C【名师点睛】如果函数，满足，恒有，那么函数的图像有对称轴；如果函数，满足，恒有，那么函数的图像有对称中心19【答案】2，+）【解析】要使函数有意义，则需，解得，即函数的定义域为.【名师点睛】求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题.求解本题时，根据偶次根式下被开