实变函数与泛函分析基础第七章(1-3)PPT课件

现代分析学 实变函数论与泛函分析基础 第七章度量空间和赋范线性空间 1度量空间的进一步例子 2度量空间中的极限 稠密集 可分空间 3连续映射 第七章度量空间和赋范线性空间 1度量空间的进一步例子 定义 设X为一非空集合 d X X R 0 为一映射 且满足 1 d x y 0 d x y 0当且仅当x y 正定性 2 d x y d x z d y z 三点不等式 注 距离d具有对称性 d x y d y x 事实上 d x y d x x d y x d y x 同理d y x d x y 故d x y d y x 如果 X d 为度量空间 Y是X的非空子集 则 Y d 也是度量空间 称为 X d 的子空间 则称d x y 为x y之间的距离 称 X d 为度量空间 例1离散度量空间 设X是任意非空集合 对X中任意两点x y X 令 显然 这样定义的 这种距离是最粗的 它只能区分X中任意两个元素是否相同 不能区分元素间的远近程度 此例说明 在任何非空集合上总可以定义距离 使它成为度量空间 例2所有数列组成的集合S 称为Fr chet组合 事实上 对 及 cn S 由于函数 是单调增函数 因此由 得 在上面不等式两边同乘 再求和 便得 因此 S 是距离空间 例3有界函数空间B A 设A是个给定的集合 B A 表示A上有界实值 或复值 函数全体 对B A 中的任意两点x y 定义 则 x y 是B A 上的度量 事实上 x y 显然满足10 以下证明也满足20 对另一连续函数z B A 由 所以 例4可测函数空间M X 设M X 表示X上连续实值 或复值 的L可测函数全体 m为L测度 若m X 对M X 中的任意两个函数f g 定义 与例2同理可证d f g 是M X 上的度量 事实上 对任意两个可测函数f t 及g t 由于 所以这是X上的可积函数 如果把M X 中的两个几乎处处相等的函数视为M X 中的同一个元 那么利用上面不等式及积分性质很容易验证d f g 是度量 因此M X 按上述距离d f g 成为度量空间 例5连续函数空间C a b 令C a b 表示闭区间 a b 上连续实值 或复值 函数全体 对C a b 中的任意两点x y 定义 与例3同理可证 x y 是C a b 上的度量 例6l2 定义 则d是l2上的距离 距离条件10是容易得出的 现检验条件20 对任何正整数n 都是Rn中的元素 由Cauchy不等式 再令右端n 即得 再令左端的n 即得 由此可得 即可得条件20 由上述例子可见 度量空间除了有限维的欧几里德空间Rn之外 还包括其他的空间 2度量空间中的极限 稠密集 可分空间 非空集合X引入距离 度量 后 就可以在其上定义极限概念 定义1设 X d 为度量空间 d是距离 定义 定义2设 X d 为度量空间 xn 是X中的点列 如果存在x X 使得 称点列 xn 收敛于x x叫作点列 xn 的极限 记作 度量空间中点列收敛性质与数列的收敛性质有许多共同之处 比如极限的唯一性等等 定理1度量空间 X d 中的收敛点列 xn 的极限是唯一的 且如果 xn 收敛于x X 则 xn 的任意子列 xnk 也收敛于x 定义3设M为度量空间 X d 中的点集 定义 定理2度量空间 X d 中的收敛点列 xn 是有界集 定理3M为度量空间 X d 中的闭集当且仅当M中的任意收敛点列 xn 的极限均在M中 下面讨论某些具体空间中点列收敛的具体含义 即按坐标收敛 证明 必要性 对任意的i 1 2 n 由于 充分性 若对任意的i 1 2 n 有 2 C a b 空间中 函数列 xn 收敛于函数x C a b 当且仅当 xn 一致收敛到x 证明 必要性 即 xn 在 a b 上一致收敛到x 充分性 若 xn 一致收敛到x 则对任给 0 存在正整数N 使得当n N时 对任意的t a b 有 于是 当n N时 有 即按坐标收敛 证明 必要性 由于 取定i 任给 0 存在正整数N 使得当m N时 有 充分性 任给 0 因为级数 所以存在正整数k 使得 因为对每一个i i 1 2 有 于是 对每一个i i 1 2 k 1 存在 正整数Ni 使得当m Ni时 有 令N max N1 N2 Nk 1 当m N时 有 那么 当m N时 有 4 可测空间M X 中 函数列 fn 收敛于函数f M X 当且仅当 fn 依测度收敛于f 证明 与第五章的习题6 7同理可证 令gn t fn t f t t X n 1 2 必要性 首先对任意 0 由于 充分性 若 由有界控制收敛定理 上述几个例子表明 尽管在各个具体空间中各种极限概念不一致 依坐标收敛 一致收敛 依测度收敛等 但当我们引入了适当的距离后 都可以统一在度量空间中考虑收敛概念 这就为统一处理各个具体空间提供了方便 定义4设 X d 为度量空间 E和M是X中的两个子集 定义 那么称集M在集E中稠密 当E X时 称M是X中的一个稠密子集 如果X中有一个可数的稠密子集 则称X是可分空间 例1n维欧氏空间Rn是可分空间 事实上 坐标为有理数的全体是Rn的可数稠密子集 例2离散度量空间X是可分空间的充要条件为X是可数集 对X中任意点x0 令 对任意两点x y X x y 因为 于是 X中唯一的稠密子集只有X本身 因此X是可分空间的充要条件为X是可数集 例3l 定义 容易验证 d是l 上的距离 下面证明l 不可分 证明 则M与二进制小数一一对应 即M与 0 1 等价 所以M的基数是c 对任意两点x y M x y 显然 设C是l 中的稠密子集 于是 对任意x M 作 因为M不可数 所以上述邻域的个数也是不可数的 因为C在M中稠密 于是对任意一个 这说明l 是不可分的 3连续映射 如同数学分析中定义实数域上连续函数一样定义度量空间中的连续映射 定义1设 X d Y 为两个度量空间 T是X到Y中映射 x0 X 如果对任意的 0 存在 0 使得对X中一切满足d x x0 的x 有 Tx Tx0 则称T在x0连续 定义1 用邻域描述 对Tx0的任意 邻域U U Tx0 必有x0的 邻域V V x0 使得 如同数学分析中的海涅 Heine 定理 可以证明如下结论 定理1设T是度量空间 X d 到 Y 中的映射 那么T在x0连续的充分必要条件是 当xn x0 n 时 必有Txn Tx0 n 证明 必要性 对任意 0 因为T在x0连续 所以存在 0 使得对X中一切满足d x x0 的x 有 Tx Tx0 而xn x0 n 所以对上述的 0 存在N 0 当n N时 有必有d xn x0 于是 有 Txn Tx0 从而 Txn Tx0 n 充分性 若不然 存在 0 0 对任意的 0 存在x X 虽然d x x0 但是 Tx Tx0 0 但是 Txn Tx0 0 这说明 Txn 不收敛到Tx0 另一方面 由 即xn x0 n 由充分条件必有Txn Tx0 n 矛盾 所以T在x0连续 定义2如果映射T在X的每一点都连续 则称T是X上的连续映射 称集合 为Y的子集M在映射T下的原像 简记为 定理2设T是度量空间 X d 到 Y 中的映射 那么T是X上的连续映射充分必要条件是Y中的任意开集M在映射T下