单调性与最值第一课时

1 3 1单调性与最大 小 值 第一课时函数单调性的概念 问题提出 德国有一位著名的心理学家艾宾浩斯 对人类的记忆牢固程度进行了有关研究 他经过测试 得到了以下一些数据 思考1 当时间间隔t逐渐增大你能看出对应的函数值y有什么变化趋势 通过这个试验 你打算以后如何对待刚学过的知识 思考2 艾宾浩斯遗忘曲线 从左至右是逐渐下降的 对此 我们如何用数学观点进行解释 函数的单调性 知识探究 一 考察下列两个函数 1 2 思考1 这两个函数的图象分别是什么 二者有何共同特征 思考2 如果一个函数的图象从左至右逐渐上升 那么当自变量x从小到大依次取值时 函数值y的变化情况如何 思考3 如图为函数在定义域I内某个区间D上的图象 对于该区间上任意两个自变量x1和x2 当时 与的大小关系如何 思考4 我们把具有上述特点的函数称为增函数 那么怎样定义 函数在区间D上是增函数 对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 若当 时 都有 则称函数在区间D上是增函数 知识探究 二 考察下列两个函数 1 2 思考1 这两个函数的图象分别是什么 二者有何共同特征 思考2 我们把具有上述特点的函数称为减函数 那么怎样定义 函数在区间D上是减函数 对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 若当 则称函数在区间D上是减函数 思考3 对于函数定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 若当时 都有 则函数在区间D上是增函数还是减函数 思考4 如果函数y f x 在区间D上是增函数或减函数 则称函数f x 在这一区间具有 严格的 单调性 区间D叫做函数f x 的单调区间 那么二次函数在R上具有单调性吗 函数的单调区间如何 理论迁移 5 3 1 3 6 o x y 例1如图是定义在闭区间 5 6 上的函数y f x 的图象 根据图象说出y f x 的单调区间 以及在每一单调区间上 函数y f x 是增函数还是减函数 例2物理学中的玻意耳定律告诉我们 对于一定量的气体 当其体积V减小时 压强p将增大 试用函数的单调性证明 小结 利用定义确定或证明函数f x 在给定的区间D上的单调性的一般步骤 1 取数 任取x1 x2 D 且x1 x2 2 作差 f x1 f x2 3 变形 通常是因式分解和配方 4 定号 判断差f x1 f x2 的正负 5 小结 指出函数f x 在给定的区间D上的单调性 例3试确定函数 在区间 0 上的单调性 P32练习 1 2 3 4 知识探究 二 思考1 函数是单调函数吗 思考3 一个函数在其定义域内 就单调性而言有哪几种可能情形 思考2 函数在R上具有单调性吗 其单调区间如何 思考4 若函数在区间D上具有单调性 那么分别在区间A B上具有单调性吗 思考6 一般地 若函数在区间A B上是单调函数 那么在区间上是单调函数吗 理论迁移 例1已知函数 求不等式的解集 例2已知函数在区间 0 4 上是增函数 求实数的取值范围 例3已知定义在R上的函数满足 对任意R 都有 且当时 试确定函数的单调性 小结 利用定义确定或证明函数f x 在给定的区间D上的单调性的一般步骤 1 取数 任取x1 x2 D 且x1 x2 2 作差 f x1 f x2 3 变形 通常是因式分解和配方 4 定号