微积分基本定理

1 6微积分基本定理 第一章导数及其应用 学习目标 1 直观了解并掌握微积分基本定理的含义 2 会利用微积分基本定理求函数的积分 问题导学 达标检测 题型探究 内容索引 问题导学 知识点一微积分基本定理 牛顿 莱布尼茨公式 梳理 1 微积分基本定理 条件 f x 是区间 a b 上的连续函数 并且 F x f x F b F a F b F a 2 常见的原函数与被积函数关系 知识点二定积分和曲边梯形面积的关系 思考定积分与曲边梯形的面积一定相等吗 答案当被积函数f x 0恒成立时 定积分与曲边梯形的面积相等 若被积函数f x 0不恒成立 则不相等 梳理设曲边梯形在x轴上方的面积为S上 在x轴下方的面积为S下 则 S上 S下 S上 S下 0 1 若F x f x 则F x 唯一 2 微积分基本定理中 被积函数f x 是原函数F x 的导数 3 应用微积分基本定理求定积分的值时 被积函数在积分区间上必须是连续函数 思考辨析判断正误 题型探究 类型一求定积分 命题角度1求简单函数的定积分例1计算下列定积分 解答 1 e1 0 e0 e 解答 ln2 3sin2 ln1 3sin1 ln2 3sin2 3sin1 解答 3 解答 解 x 3 x 4 x2 7x 12 反思与感悟 1 当被积函数为两个函数的乘积或乘方形式时一般要转化为和的形式 便于求得原函数F x 2 由微积分基本定理求定积分的步骤第一步 求被积函数f x 的一个原函数F x 第二步 计算函数的增量F b F a 解答 跟踪训练1计算下列定积分 解答 sinx 1 2 解 解答 解答 命题角度2求分段函数的定积分 解答 反思与感悟分段函数定积分的求法 1 利用定积分的性质 转化为各区间上定积分的和计算 2 当被积函数含有绝对值时 常常去掉绝对值号 转化为分段函数的定积分再计算 解析 答案 2e 2 e0 e1 e1 e0 2e 2 解答 类型二利用定积分求参数 解析 答案 3 解得t 3或 2 t 0 t 3 解析 答案 解答 引申探究 解答 反思与感悟 1 含有参数的定积分可以与方程 函数或不等式综合起来考查 先利用微积分基本定理计算定积分是解决此类综合问题的前提 2 计算含有参数的定积分 必须分清积分变量与被积函数f x 积分上限与积分下限 积分区间与函数F x 等概念 解析 答案 0 2 f x 的值域为 0 2 解析 答案 达标检测 1 2 3 4 5 解析 答案 解得a 2 A 5B 4C 3D 2 2 等于 1 2 3 4 5 解析 答案 1 2 3 4 5 解析 答案 解析 f x xn mx的导函数f x 2x 2 nxn 1 m 2x 2 解得n 2 m 2 f x x2 2x 则f x x2 2x 答案 解析 1 2 3 4 5 解答 1 2 3 4 5 取F1 x 2x2 2 x 则F1 x 4x 2 取F2 x sinx 则F2 x cosx 所以 2x2 2 x sinx 1 2 3 4 5 1 求定积分的一些常用技巧 1 对被积函数 要先化简 再求积分 2 若被积函数是分段函数 依据定积分 对区间的可加性 分段积分再求和 3 对于含有绝对值符号的被积函数 要去掉绝对值符号才能积分 2 由于定积分的值可取正值 也可取负值 还可以取0 而面积是正值 因