第二章立体的投影

第二章立体的投影 第一节立体及其表面上的点与线 立体由其表面围成 可分为两类 表面都是平面的平面立体和表面是曲面或曲面与平面的曲面立体 一 平面立体平面立体可分为棱柱体和棱锥体 本节将介绍棱柱 棱锥的投影及其表面取点 线的作图方法 一 棱柱的投影 1 六棱柱的直观图投影 前 后两棱面是正平面 正面投影反映实形 水平投影和侧面投影积聚成直线段 其余四个侧棱面是铅垂面 它们的水平投影都积聚成直线 并与正六边形的边线重合 在正面投影和侧面投影面上的投影为类似形 矩形 六棱柱的六条棱线均为铅垂线 在水平投影面上的投影积聚成一点 正面投影和侧面投影都互相平行且反映实长 动画演示 2 投影图的作图过程 作图步骤 先用点画线画出水平投影的中心线 正面投影和侧面投影的对称线 根据投影规律 再连接顶面和底面的对应顶点的正面投影和侧面投影 即为棱线 棱面的投影 最后检查清理底稿 按规定线型加深 画正六棱柱的水平投影 正六边形 根据正六棱柱的高度画出顶面和底面的正面投影和侧面投影 动画演示 点的可见性判断 点所在表面的投影可见 点的投影也可见 若点所在表面的投影不可见 点的投影也不可见 若点所在表面的投影积聚成直线 点的投影认为可见 1 确定点所在的平面并分析该平面的投影特性 2 根据投影规律作出点的投影 并判别可见性 动画演示 二 棱柱表面上取点 三 棱锥 1 三棱锥直观图 c 棱面SAC为侧垂面 侧面投影积聚成直线段 正面投影和水平投影为类似形 另两个棱面 SAB SBC 为一般位置平面 三投影均不反映实形 2 三棱锥投影图分析 b 作图步骤 画反映实形的底面的水平投影 等边三角形 再画 ABC的正面投影和侧面投影 它们分别积聚成水平直线段 根据锥高再画顶点S的三面投影 最后将锥顶S与点A B C的同面投影相连 即得到三棱锥的投影图 最后检查清理底稿 按规定线型加深 棱锥表面取点 一般采用辅助线法 判别可见性 动画演示 四 棱锥表面取点 如图所示 已知三棱锥的三面投影及其表面上的点M F的一个投影e 和 f 求点E F的另外两个投影 二 曲面立体 曲面立体由曲面或曲面和平面围成的 在画曲面的投影时 除了画出轮廓线和尖点外 还要画出曲面投影的转向轮廓线 曲面立体的投影就是它的所有曲面表面或曲面表面与平面表面的投影 也就是曲面立体的轮廓线 尖点的投影和曲面投影的转向轮廓线 工程中常见的曲面是回转面 回转面的形成 动线绕定线回转一周后形成的曲面 动线 母线 定直线 轴线 素线 母线在回转面上的任意位置 纬圆 母线上任一点的轨迹是圆称为纬圆 回转面的形状取决于母线的形状及母线与轴线的相对位置 回转体 由回转面与平面或回转面所围成的立体 画回转体的投影实质就是画出围成回转体的回转面 平面 回转面的投影用转向轮廓线表示 转向轮廓线是与曲面相切的投射线与投影面的交点所组成的线段 一 圆柱 圆柱表面由圆柱面和顶面 底面所组成 圆柱面是由一直母线绕与之平行的轴线回转而成 1 圆柱的投影圆柱投影规律 一个投影为圆 其余二投影均为矩形 规定 回转体对某投影面的转向轮廓线 只能在该投影面上画出 而在其它投影面上则不再画出 2 圆柱表面上取点如图所示 已知圆柱面上点E F G的正面投影e f 和 g 试分别求出它们的另两个投影 二 圆锥 1 圆锥的投影 2 圆锥表面取点 处于圆锥表面上一般位置的点 则必须用辅助线 素线法或纬圆法 作图 并表明可见性 A 素线法 B 纬圆法 三 球 1 圆球的投影 圆球表面取点 四 环 环是由环面围成 环面由圆绕圆平面上不与圆心共线的直线为轴旋转而成 见书 49图2 13 第二节平面与平面立体表面相交 平面与立体表面的交线 称为截交线 当平面切割立体时 由截交线围成的平面图形 称为断面 截切 用一个平面与立体相交 截去立体的一部分 截平面 用以截切物体的平面 截交线 截平面与物体表面的交线 截断面 因截平面的截切 在物体上形成的平面 截交线与截断面 截交线是一个由直线组成的封闭的平面多边形 其形状取决于平面体的形状及截平面相对平面体的截切位置 平面立体的截交线是一个多边形 它的顶点是平面立体的棱线或底边与截平面的交点 截交线的每条边是截平面与棱面的交线 1 截交线的性质 共有性 截交线既属于截平面 又属于立体表面 一 平面立体的截交线和断面 2 平面截切体的画图 求截交线的两种方法 求各棱线与截平面的交点 棱线法 求各棱面与截平面的交线 棱面法 关键是正确地画出截交线的投影 求截交线的步骤 截平面与体的相对位置 截平面与投影面的相对位置 确定截交线的投影特性 确定截交线的形状 空间及投影分析 画出截交线的投影 分别求出截平面与棱面的交线 并连接成多边形 例1 求如图所示三棱锥被正垂面所截切 求作截交线的水平投影和侧面投影 1 求Pv与s a s b s c 的交点1 2 3 为截平面与各棱线的交点 的正面投影 1 2 3 2 根据线上取点的方法 求出1 2 3和1 2 3 1 1 2 2 3 3 连接各点的同面投影即等截交线的三个投影 4 补全棱线的投影 3 具体步骤如下 例2 求四棱锥被截切后的俯视图和左视图 3 2 1 4 空间分析 交线的形状 投影分析 求截交线 分析棱线的投影 检查尤其注意检查截交线投影的类似性 二 平面立体的切割与穿孔 在形状较为复杂的机件上 有时会见到由平面与平面立体相交而形成的具有缺口的平面立体或穿孔的平面立体 只要逐个作出各个截平面与平面立体的截交线 并画出截平面之间的交线 就可以做出这些平面立体的投影图 1 2 3 4 1 3 4 1 2 4 3 例1求做立体被截切后的投影 第三节平面与回转体表面相交 回转体截切的基本形式 截交线的性质 截交线是截平面与回转体表面的共有线 截交线的形状取决于回转体表面的形状及截平面与回转体轴线的相对位置 截交线都是封闭的平面图形 截平面与圆柱面的截交线的形状取决于截平面与圆柱轴线的相对位置 垂直 圆 椭圆 平行 两平行直线 倾斜 一 平面与圆柱相交 例1 如图所示 圆柱被正垂面截切 求出截交线的另外两个投影 具体步骤如下 1 先作出截交线上的特殊点 2 再作出适当数量的一般点 3 将这些点的投影依次光滑的连接起来 1 1 5 5 3 7 3 7 1 5 3 7 2 2 2 4 6 8 4 4 4 补全侧面投影中的转向轮廓线 8 6 比较不同角度的正垂面截交圆柱所得的截交线的投影 分析 该立体是在圆柱筒的上部开出一个方槽后形成的 构成方槽的平面为垂直于轴线的水平P和两个平行于轴线的侧平面Q 它们与圆柱体和孔的表面都有交线 平面P与圆柱的交线为圆弧 平面Q与圆柱的交线为直线 平面 和Q彼此相交于直线段 例2 补画被挖切后立体的投影 作图步骤如下 1 先作出完整基本形体的三面投影图 2 然后作出槽口三面投影图 3 作出穿孔的三面投影图 平面截切圆锥有四种情况 如图所示 平面与圆锥相交 二 平面与圆锥相交 根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同 截交线有五种形状 例1 如图所示 圆锥被正垂面截切 求出截交线的另外两个投影 此种截交线为一椭圆 由于圆锥前后对称 故椭圆也前后对称 椭圆的长轴为截平面与圆锥前后对称面的交线 正平线 椭圆的短轴是垂直与长轴的正垂线 具体步骤如下 1 先作出截交线上的特殊点 1 2 1 2 1 2 3 4 3 4 5 6 6 5 2 再作一般点 3 依次光滑连接各点 即得截交线的水平投影和侧面投影 4 补全侧面转向轮廓线 3 4 5 6 7 8 7 8 例2 求圆锥被截切后的正面投影 分析 截交线的正面投影为双曲线 作图 1求特殊点 最高点 最低点 2求一般点 3连线 平面与圆球相交 截交线的形状都是圆 但根据截平面与投影面的相对位置不同 其截交线的投影可能为圆 椭圆或积聚成一条直线 三 平面与球相交 平面与球相交 例1 求半球体截切后的俯视图和左视图 水平面截圆球的截交线的投影 在俯视图上为部分圆弧 在侧视图上积聚为直线 两个侧平面截圆球的截交线的投影 在侧视图上为部分圆弧 在俯视图上积聚为直线 例2 如图所示 球被正垂面截切 求截交线的水平投影 具体步骤如下 1 先求特殊点 2 确定截交线与转向轮廓线的交点 3 依次连接各点的水平投影 四 平面与组合回转体相交 首先分析复合回转体由哪些基本回转体组成以及它们的连接关系 然后分别求出这些基本回转体的截交线 并依次将其连接 例 求作顶尖的俯视图 第四节两回转体表面相交 平面体与回转体相贯 回转体与回转体相贯 多体相贯 1 相贯的形式 两立体相交叫作相贯 其表面产生的交线叫做相贯线 本节主要讨论常用不同立体相交时其表面相贯线的投影特性及画法 一 概述 立体表面相交有三种形式 一种是立体的外表面相交 一种是外表面与内表面相交 一种是内表面与内表面相交 相贯线 实实相贯 实虚相贯 虚虚相贯 2 相贯线的主要性质 其作图实质是找出相贯的两立体表面的若干共有点的投影 共有性 表面性 相贯线位于两立体的表面上 相贯线是两立体表面的共有线 封闭性 相贯线一般是封闭的空间折线 通常由直线和曲线组成 或空间曲线 二 平面体与回转体相贯 1 相贯线的性质 相贯线是由若干段平面曲线 或直线 所组成的空间折线 每一段是平面体的棱面与回转体表面的交线 2 作图方法 分析各棱面与回转体表面的相对位置 从而确定交线的形状 求出各棱面与回转体表面的截交线 连接各段交线 并判断可见性 求交线的实质是求各棱面与回转面的截交线 例1 补全主视图 三 回转体与回转体相贯 1 相贯线的性质 相贯线一般为光滑封闭的空间曲线 它是两回转体表面的共有线 2 作图方法 表面取点法利用投影的积聚性直接找点 用辅助平面法 一般是根据立体或给出的投影 分析两回转面的形状 大小极其轴线的相对位置 判断相贯线的形状特点和各投影的特点 从而选择适当的方法作图 先找特殊点 作图过程 补充中间点 确定交线的弯曲趋势 确定交线的范围 如果两回转体相交 其中有一个是轴线垂直于投影面的圆柱 则相贯线在该投影面上的投影积聚在圆柱面上 利用回转体表面取点的方法可以作出相贯线的其余投影 按已知曲面立体表面上点的投影求其它投影的方法 称为表面取点法 相贯线的求法 利用表面取点法求作相贯线中 例1 如图所示已知两圆柱的三面投影 求作它们的相贯线 分析 由投影图可知 直径不同的两圆柱轴线垂直相交 由于大圆柱轴线垂直于W面 小圆柱轴线垂直于H面 所以 相贯线的侧面投影和水平投影为圆 只有正面投影需要求作 相贯线为前后左右对称的空间曲线 1 求特殊点 作图步骤 1 3 1 3 1 3 2 4 2 4 直接定出相贯线的最左点 和最右点 的三面投影 再求出出相贯线的最前点 和最后点 的三面投影 2 求一般点 在已知相贯线的侧面投影图上任取一重影点5 6 找出水平投影5 6 然后作出正面投影5 6 5 6 5 6 5 6 3 光滑连相贯线 相贯线的正面投影左右 前后对称 后面的相贯线与前面的相贯线重影 只需按顺序光滑连接前面可见部分的各点的投影 即完成作图 当圆柱直径变化时 相贯线的变化趋势 交线向大圆柱一侧弯 交线为两条平面曲线 椭圆 用辅助平面法求相贯线投影的基本原理是 作一辅助平面P 使它与回转体都相交 求出P平面与两回转体的截交线 作出两回转体表面截交线的交点 即为两回转体表面的共有点 亦即相贯线上的点 为了简化作图 选择什么位置的平面作为辅助平面是很重要的 选择辅助平面时应遵守下述原则 所选择的辅助平面与两相交立体表面所产生的截交线的投影 应该是简单易画的圆或直线 辅助平面法求相贯线 辅助平面法 根据三面共点的原理 利用辅助平面求出两回转体表面上的若干共有点 从而画出相贯