第十六章《分式》知识梳理--株洲万德胜.doc

第十六章分式知识梳理 湖南省株洲市第十九中学 万德胜 412000我们已经学完了分式一章，要形成对这一章节知识的透彻理解，我们要对这一章教材的知识编排结构有明确的了解。教材从实际问题引入分式方程，使得怎样利用分式方程求解实际问题成为学习这一章节的中心问题，因而认识分式会进行分式运算认识分式方程会根据实际问题列出分式方程会解分式方程求实际问题的解是这一章节学习的主线条。因此怎样进行分式运算和怎样求解分式方程是本章节的基础性问题，运用分式方程求解实际问题是本章节的目标性问题。【本章知识网络图】一、分式概念、分式基本性质、分式的运算1分式的概念：一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。注意：（1）当B为零时，分式没有意义；当时，分式值为零。（2）分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式。如果分子分母有公因式，要进行约分化简，分式问题的计算结果必须用最简分式或整式表示。2分式基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。 ，（）。分式的变号法则：通分：将异分母的分式化成同分母的分式，叫做分式的通分。注意：通分的依据是分式的基本性质，将分式的分子分母乘以同一个不等于零的整式，通分的关键是确定最简公分母。最简公分母由下面的方法确定：（1）最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；（2）最简公分母的字母（或字母因式），取各分母（或字母因式）所有字母（或字母因式）的最高次幂的积。约分：把分式的分子与分母中的约去最大公因式，化为最简分式，叫做分式的约分。注意：约分的依据还是分式的基本性质，将分式的分子分母除以同一个不等于零的整式，目的在于把分式化为最简分式或整式,约分的关键是确定公因式。公因式由下面的方法确定：（1）公因式的系数，取分子分母系数的最大公约数；（2）公因式的字母（或字母因式），取相同字母（或字母因式）的最低次幂。3分式的运算：（1）分式的加减同分母加减法则: 同分母分式相加减时应注意：当分式的分子是多项式时，应先添括号，再去括号合并同类项，从而避免符号错误。分式的分子相加减后，若结果为多项式，应先考虑因式分解后与分母约分，将结果化为最简分式或整式。异分母加减法则:异分母分式相加减时应注意：把异分母的分式化成同分母的分式，在这个过程中必须保证化成的分式与其原来的分式相等；通分的根据是分式的基本性质，分母需要乘“什么”，分子也必须随之乘“什么”；分式的分子、分母同时乘的整式是最简公分母除以分母所得的商。（2）分式的乘除：乘法：除法：（3）分式的乘方：4. 幂的运算法则：（1）零指数幂 （2）负整数指数幂 （3）引进零指数幂和负整数指数幂后，指数的范围扩大到了全体整数，已学的幂的运算法则和运算律，对负整数指数幂同样适用。 （4）绝对值较小的数的科学记数法表示：用科学记数法表示一些绝对值较小的数，即把它们表示成，其中n是正整数，1a10。二、分式方程的定义和求解步骤1分式方程定义：分母中含有未知数的方程，叫做分式方程。注意：判断一个方程是否是分式方程的基本方法就是看分母中是否有未知数。2解分式方程：（1）解分式方程的基本思路：将分式方程转化成已学过的整式方程，进而求解。 （2）解分式方程的一般步骤：在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。解这个整式方程。把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。写出原方程的根。3. 增根的产生的原因：对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件。当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根。三、列分式方程解实际问题1.列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题的方法与步骤基本相同，不同点是，解分式方程必须要验根。一方面要看原方程是否有增根，另一方面还要看解出的根是否符合题意。原方程的增根和不符合题意的根都应舍去。2.列分式方程解应用题，一般是求什么量，就设所求的量为未知数，这种设未知数的方法，叫做设直接未知数。但有时可根据题目特点不直接设题目所求的量为未知量，而是设另外的量为未知量，这种设未知数的方法叫做设间接未知数。在列分式方程解应用题时，设间接未知数，有时可使解答变得简捷。3.列分式方程解简单的实际应用问题的方法和步骤可分为：设、找、列、解、检、答等六个步骤。具体是：(1) 设 弄清题意和题目中的数量关系，用字母(如x)表示题目中的一个未知数；(2) 找 找到能够表示应用题全部含义的一个相等的关系；(3) 列