石大概率3-1ppt课件.ppt

解 由于 故 P25第23题 作业讲解 1 14设测量从某地到目标的距离时 带有的随机误差X具有分布密度 求 1 测量误差的绝对值不超过30的概率 2 如果接连测量3次 各次测量是相互独立的 求至少有一次误差的绝对值不超过30的概率 解 1 由题知 2 求 1 测量误差的绝对值不超过30的概率 2 如果接连测量3次 各次测量是相互独立的 求至少有一次误差的绝对值不超过30的概率 2 记Y表示3次测量中误差的绝对值不超过30的次数 则 所求概率 3 解 由 P67第16题 设 X Y 的分布密度为 求 1 系数A 2 X Y 落在圆内的概率 作业讲解 故得 4 引例 有甲 乙两射手 他们的射击技术如下表 试问哪一个射手本领较好 高 引言 r v 的分布虽然可以完整地描述随机变量 但有时使用起来并不方便 此时可借助于一些有代表性的量 从不同的角度来刻画r v 的各种 特征 第三章随机变量的数字特征 第一节数学期望 5 解 假定两射手各射击n次 命中情况如下 故认为甲射击本领要高些 当n越来越大时 频率渐近于概率 故理论上平均环数为 平均命中环数 6 连续型情形 设X为连续型随机变量 其分布密度为f x 如果绝对收敛 则称其为X的数学期望 记为EX 即 离散型情形 设离散型随机变量X的分布律为如果绝对收敛 则称其为X的数学期望或均值 记为EX 即 一 定义 数学期望 7 关于定义之注 1 随机变量的数学期望描述了随机变量取值的平均情况 比如若X表示某厂生产的电视机的寿命 则EX就表示该厂所生产的电视机的平均寿命 2 随机变量的数学期望是一个常数 3 当 离散型 级数 连续型 积分非绝对收敛时 称X的数学期望不存在 4 若随机变量只取有限个值 其数学期望一定存在 8 解 例1 1 求两点分布的数学期望 2 设 求 解 泊松分布分布律 由此可知泊松分布的参数就是它的数学期望 9 解 的分布函数为 整机寿命 其分布函数为 10 例3按规定某车站每天8 00 9 00 9 00 10 00都恰有一辆客车到站 但到站的时刻是随机的 且两者到站的时间相互独立 其规律为 一旅客8 20到站 求他候车时间的数学期望 解设旅客的候车时间为X 以分计 则X的分布律为 11 例4 设随机变量X的分布律如下 问EX是否存在 解 因为 所以X的数学期望不存在 例5 求均匀分布U a b 的数学期望 解 均匀分布的分布密度为 故 12 故 由此可知正态分布中的第一个参数正是它的数学期望 例6 求正态分布的数学期望 解 的分布密度为 13 二 随机变量函数的数学期望 2 X是连续型随机变量且概率密度为f x 如果绝对收敛 则有 1 一维情形 注 定理证明略 此结论表明 在求E Y 时 不必先算出Y的分布 只需利用X的分布即可 定理设Y是随机变量X函数 Y g X g是连续函数 1 X是离散型随机变量且分布律为如果绝对收敛 则有 14 2 设 X Y 为二维连续型随机向量 其分布密度为 Z是X Y的函数 则 1 二维情形 15 解 16 例某公司计划开发一种新产品市场 并试图确定该产品的产量 他们估计出售一件产品可获利m元 而积压一件产品导致n元的损失 再者他们预测销售量Y 件 服从指数分布 其概率密度为 问要获得利润的数学期望最大 应生产多少产品 解设要生产x件产品 则获利Q是x的函数 可见Q是r v Y的函数 其数学期望为 17 18 解 19 三 数学期望的性质 1 设C为常数 则 3 设X Y为两个随机变量 则 4 当随机变量X与Y相互独立时 注 对有限个相互独立随机变量之积的情况亦成立 2 设X随机变量设C为常数 则 20 例 求二项分布的数学期望 解 本题利用性质来求数学期望 设 则服从两点分布 故 设 则 故 本题中随机变量分解的方法是解题中常用的一种方法 21 1 两点分布 常见分布的数学期望 3 泊松分布 5 指数分布 4 均匀分布 2 二项分布 6 正态分布 另柯西分布的期望不存在 22 例 一民航送客车载有20位旅客自机场开出 旅客有10个车站可以下车 如到达一个车站 没有旅客下车 就不停车 以X表示停车的次数 求EX 设每位旅客是否下车相互独立 解 设 则同分布 共同的分布为 23 解 由于 例13设随机变量X Y相互独立 且它们的分布密度分别为 求 又由X Y相互独立 24 于是 例14 设X Y相互独立 同服从正态分布求E X Y 解 由独立性 知X Y的联合密度为 25 解法2由正态分布的可加性知 例14 设X Y相互独立 同服从正态分布求E X Y 26 解由正态分布的可加性知 例14 设X Y相互独立 同服从正态分布求E X Y 27 注 1 当Y y给定时 条件期望是一个确定的数 记 条件数学期望 简介 2 当y变动时 条件期望E X Y y 是y的函数 结论 定义 条件数学期望 设随机变量X在Y y下的条件密度函数为若绝对收敛 则称其为在Y y的条件下X的条件数学期望或均值 记为E X Y y 即 证明略 28 引例 有甲 乙两名学生 考试成绩分布如下表 试问哪一位学生成绩较稳定 又若丙的成绩分布如下 问谁的成绩最稳定 由上可见 要描述一个r v 仅用均值还不够 往往需要考虑r v 取值的波动情况 r v 取值的波动情况不仅与r v 的取值有关 也与取值的概率有关 第二节方差 29 1 方差的定义 注 方差描述了r v 取值偏离其数学期望的变化情况 若X取值越集中 则DX越小 反之 则DX越大 在引例中 可见学生丙成绩最为稳定 30 注 随机变量X的方差DX其实就是一个随机变量的函数的数学期望 因此要求方差只需求的数学期望即可 注 任何一个随机变量的方差都是非负的 即 注 若X为离散型随机变量 则 若X为连续型随机变量 则 定理 方差计算公式的常用形式 证明 31 3 几种常见分布的方差例1 1 两点分布 2 泊松分布 解 两点分布的分布律为 解2 泊松分布的分布律为 32 由此可知 对于服从泊松分布的随机变量 它的数学期望与方差相等 都等于参数 因为泊松分布只含一个参数 因而只要知道它的数学期望或方差 就能完全确定它的分布了 例2 求均匀分布的方差 解 均匀分布的分布密度为 33 例3 求指数分布的期望和方差 解的密度为 两边关于求导 34 2 方差的性质 设为常数 则 设为常数 X为随机变量 则 证 因为 3 设X为随机变量 c为常数 且则 注 此性质称为方差的最小性 35 4 设X Y为两个r v 则 注 对有限个相互独立随机变量之和 有类似的结论 5 设X为随机变量 则 C为一常数 特别若X Y为相互独立 则 36 注 称为X的标准化随机变量 解 例4 设随机变量X的数学期望为EX 方差为DX 37 又因为相互独立 所以 例5 求二项分布b n p 方差 解 则服从两点分布 故 前已求得 设 38 故 由此可知正态分布的第二个参数恰好是它的方差 因而正态分布完全可由它的数学期望和方差所确定 特别地 对于标准正态分布 其均值为0 方差为1 例6 求正态分布的方差 解 的密度