平面几何竞赛讲座.doc

平面几何中的著名定理及其运用1梅涅劳斯定理：若一条直线和ABC的三边BC、CA、AB分别交于D、E、F，则。其逆定理也成立。2塞瓦定理：对于ABC所在平面内一点O，AO、BO、CO（或其延长线）交三角形另一边于点D、E、F，则。其逆定理也成立。3托勒密定理：圆内接四边形ABCD的两组对边乘积的和等于它的两条对角线的乘积。其逆定理也成立。4西姆松定理：以ABC的外接圆上任意一点P向BC、CA、AB或它们的延长线引垂线，垂足分别为D、E、F，则D、E、F三点共线。其逆定理也成立。5斯特瓦德定理：设P为ABC的BC边上任一点，则有AB2PC+AC2BP=AP2BC+BPPCBC。例1 如图，O1和O2与ABC的三边所在的三条直线都相切，E、F、G、H为切点，并且EG、FH的延长线交于P点。求证：直线PABC。例2 四边形ABCD的内切圆分别切AB、BC、CD、DA于点E、F、G、H。求证：HE、DB、GF三线共点。例3 如图，锐角ABC中，AD是BC边上的高，H是线段AD内任一点，BH和CH的延长线分别交AC、AB于E、F。求证：EDH=FDH。例4 在四边形ABCD中，对角线AC平分BAD。在CD上取一点E，BE与AC相交于F，延长DF交BC于G。求证：GAC=EAC。例5 如图，设C1、C2是同心圆，C2的半径是C1的半径的2倍。四边形A1A2A3A4内接于C1，将A4A1延长交圆C2于B1，A1A2延长交圆C2于B2，A2A3延长交圆C2于B3，A3A4延长交圆C2于B4。试证四边形B1B2B3B4的周长2四边形A1A2A3A4的周长，并确定等号成立的条件。例6 设M、N是ABC内部的两个点，且满足MAB=NAC，MBA=NBC。证明：例7 如图所示，在直角ABC的斜边BC上取一点D，使ABD和ACD的内切圆相等。求证：SABC=AD2。例8 已知CE是ABC的C的平分线，且CE2=AEEB。求证：AE:AC=1:。例9 在ABC中，ACBC，其外接圆直径DE垂直AB于F，其中C和E在AB的同一侧，过C作CLDE于L。求证：(AC+BC)2=4DLEF。例10 自ABC的顶点A作B的内、外角平分线BE、BF的垂线，垂足为E、F，再作C的内、外角平分线CG、CF的垂线，垂足为G、D。求证：F、G、E、D四点共线。练习题1、如图，设P、Q为平行四边形ABCD的边AB、AD上的两点，APQ的外接圆交对角线AC于R，求证：APAB+AQAD=ARAC。2、O为ABC所在平面上任一点，AO、BO、CO分别交边BC、CA、AB于点D、E、F。作EG/AD/FH，点G、H均在直线BC上，求证：EH和FG的交点P在直线AD上。3、设ABC的内切圆在三边BC、CA、AB上的切点分别为D、E、F，且EF与BC的延长线交于X，FD与CA的延长线交于Y，DE与AB的延长线交于Z。求证：X、Y、Z三点共线。4、如图，在ABC中，ABACa，其内切圆I与AB边切于D，DE是I的直径，CE的延长线交AB于P，M是AB的中点，直线MI交BC于Q。（1）求证：PM=(b-a)；（2）试求线段BQ的长。5、设ABC是锐角三角形，且BCCA，O是它的外心，H是它的垂心，F是高CH的垂足，过F作OF的垂线交边CA于P。求证：FHP=BAC。6、设O为ABC的外心，AB=AC，D是AB的中点，G是ACD的重心。求证：OGCD。7、点A在KMN内，点B在KM上，点C在MN