第二类曲面积分的计算方法

研究生入学考试重点考点_第二类曲面积分的计算方法赵海林 张纬纬摘要 利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes公式，积 分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解.关键词 第二类曲面积分 定义法 参数法 投影法 高斯公式 Stokes公式 向量计算形式1 引言 曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中，必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧.由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用.2 预备知识21第二型曲面积分的概念2.1.1 流量问题(物理背景)设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为）的速度为,是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面一侧流向另一侧的流量. 若为平面上面积为的区域，而流速是常向量，指定侧的单位法向量 则 若为曲面，流速不是常向量，则用下面的方法计算流量. (1) 分割 将任意分成小块同时代表其面积. (2) 近似 ，以点处的流速和单位法向量分别代替上其他各点处的流速和单位法向量，得到流过指定侧的流量的近似值： (3) 求和 (4) 取极限 2.1.2 定义 . 若存在，或者. 22 第二型曲面积分的性质 性质1 (方向性) 设向量值函数在定向的光滑曲面上的第二型曲面积分存在.记为与取相反侧的曲面，则在上的第二型曲面积分也存在，且成立.注意这个等式两边的是方向相反的. 性质2 （线性性） 若 存在，则有=，其中是常数. 性质3 (曲面可加性) 若曲面是由两两无公共内点的曲面块所组成，且存在，则有2.3 第二型曲面积分的数量表达式 记，称为曲面 从而.即，是在面上的投影；是在面上的投影；在在面上的投影. 他们的取值可正、可负、也可为零.如当时，取符号. 特殊形式：称为对坐标的曲面积分； 称为对坐标的曲面积分； 称为对坐标的曲面积分.2.4 介绍两类曲面积分之间的联系 与曲线积分一样，当曲面的侧确定之后，可以建立两种类型曲面积分的联系.设为光滑曲面，并以上侧为正侧，为上的连续函数，曲面积分在的正侧进行.因而有 (1) 由曲面面积公式，其中是曲面的法线方向与轴正向的交角，它是定义在上的函数.因为积分沿曲面正侧进行，所以是锐角 .又由是光滑的，所以在闭区域上连续.应用中值定理，在内必存在一点，使这点的法线方向与轴正向的夹角满足等式或.于是. 个部分相加后得 (2) 现在以表示曲面在点的 法线方向与轴正向夹角的余弦，则由的连续性，可推得当时，式右端极限存在.因此由式得到 (3) 这里注意当改变曲面的侧向时，左边积分改变符号，右边积分中角改为.因而也改变符号，所以右边积分也相应改变了符号.同理可证： (4) 其中分别是上的法线方向与轴正向和与轴正向的夹角.一般地有 （5） 3 介绍第二型曲面积分的多种计算方法在数学分析课程中，有关曲面积分，尤其是第二型曲面积分的计算是一个重点、也是一个难点问题，学生在学习过程中往往对这一问题感到束手无策、无从下手。这一方面是由于曲面积分计算本身的复杂性，它既要考虑到曲面的形状及其投影区域，又要注意到曲面的侧；另一方面,也表明学生对这一计算问题缺乏必要而又行之有效的方法.第二型曲面积分常用的计算方法主要有定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，利用高斯公式求解，利用公式求解，利用积分区间对称性，向量法以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解.3.1 直接利用定义法进行计算 若在光滑有向曲面上连续,则存在,且有计算公式: 其中表示在面上的投影区域，当曲面取上侧时公式的右端取“”号，取下侧时取“”号.这一公式表明，计算曲面积分时，只要把其中变量换为表示的函数，然后在的投影区域上计算二重积分，并考虑到符号的选取即可，这一过程可总结成口诀：“一代二投三定向”.类似地，如果曲面的方程，则 如果曲面的方程为,则 例1 计算积分：其中是球面在第一、八卦限的部分，取球面外侧. (如图) 解 设,曲面在第一、八卦限部分的方程分别为: = = 它们在面上的投影区域都是单位圆在第一象限的部分. + 图 计算第二型曲面积分时，千万不能与二重积分等同或混淆,第二型曲面积分是按一定规则化为投影区域上的二重积分进行计算的，所以在计算过程中一定要牢记口诀：“一代二投三定向”.请看下例：例2 计算:+，其中曲面为球面限于，内的部分外侧 (如图). 解 对于，要将投影到面上，且方程表示为 ,取前侧,由，消去得，因此投影区域：zz，于是 计算,要将投影到面上，此时方程表示为(不是单值的)，再把分为左片(即的部分)且取左侧和右片(即的部分)且取右侧，在面上投影域为：z(注意投影区域不是一条曲线)，因此 + 对于,要将投影到面上，投影域为：，此时方程应为，且取上侧，于是= ，故. 图3.2 利用参数方程的计算方法 如果光滑曲面由参数方程给出： .若在上各点他们的函数行列式不同时为零，则分别有 (1) (2) (3) 注 三式中的正负号分别对应曲面的两个侧，特别当平面的正方向对应于曲面所选定的正向一侧时，取正号，否则取负号. (4) 例如若为：，则可以看成参数为的参数方程确定的曲面，则由于， 所以 由此可见，只要确定一次符号且不需要向其它坐标平面进行投影，从而比我们常用的方法更简便. 下面举例说明：例 1 计算 ，其中为椭圆面的上半部分并选取外侧. 解 把曲面表示为参量方程： . 由式有 其中 =， 积分是在的正侧进行.由上述的注，式右端正号，即 例 2 计算积分，为曲面的上侧. 解 取，则， 取为曲面的下侧.则 . . 从而.例3 计算 其中是球面的上半部分并取外侧为正向. 解1 可表示为 其中 由于积分按S上侧进行，且=1，故式应取正号， 而 所以 解2 由于可表示为， 所以 本例计算虽然简单，但不难看出用公式计算时不必对分划并讨论符号代之以在平面上二重积分. 例4 计算其中，是球面，且设积分是沿球面外侧. 解 可表示为. 由于在第一象限积分按上侧积分，而= ，故应取正号. 因为=类似可求得 =，所以.3.3 单一坐标平面投影法 设光滑曲面：,（是在平面上的投影区域），函数在上连续，在上具有一阶连续偏导数，则 ，当取上侧时，上式右边取正号；当取下侧时，上式右边取负号. 若的方程为，也有类似的公式：；当取前侧时，上式右边取号；当取后侧时，上式右边取负号. 当取右侧时，上式右边取正号；当取左侧时，上式右边取负号.例1 计算积分，其中为圆锥面介于部分的上侧. 解 的方程为，取左侧，则 原式 . 例 2 求，其中为锥面 部分的正侧. 解 ： ，则，.又在平面上的投影：.因为取下侧，所以 最后一个等号用到二重积分的对称性质.3.4 分项投影法 分项投影法是利用第二型曲面积分的线性性： 分别将右式三项投影到平面上，由于分别投影直接计算二重积分，避免投影到一面上偏导的计算，此法非常实用，看似复杂，实则简单，非常实用. 计算中要注意原曲面与投影曲面一一对应，若不一一对应要分项投影，如一个完整的球投影到平面上，上下半球曲面要分别投影计算，计算中注意利用方向性等性质以简化计算. 例1 计算积分，其中是四面体，的表面，外法线是正向. 解 这是三个第二型曲面积分之和.首先计算第二型曲面积分，而曲面是由四个有向的三角形区域：组成.其中与在坐标面的面积微元，在坐标面的投影都是三角形区域，从而 . 同理可得 ，于是 . 例2 计算第二型曲面积分 ， 其中是平面六面体的表面并取外侧为正向，为上的连续函数. 解 记 （前侧为正向）， （后侧为正向) 积分在另外四个曲面上的积分为零，故 由于变量的对称性，类似可得 所以 3.5 利用高斯公式（Gauss)化为三重积分的方法 格林公式建立了沿封闭曲线的曲线积分与二重积分的关系，沿空间闭曲面的曲面积分和三重积分之间也有类似的关系，这就是高斯公式. 定理：设空间区域由分片光滑的双侧封闭曲面围成.若函数在上连续，且有一阶连续偏导数，则，其中取外侧，上式称为高斯公式.例1 计算曲面积分，其中为曲面的外侧面，外法线为正向. 解 由题意得知， ，利用高斯公式，则.其中，为包围的区域作旋转变换则为包围的区域，而是一个对称的八面体，它在平面的第一卦限部分为及坐标平面所围成的区域，且有，. 所以例2 设有连续导数，计算， 其中为的锥面与球面，所围立体的表面外侧(如图所示). 解 因为被积函数中含有抽象函数，直接计算显然不可能，又因为曲面为闭曲面，考虑用高斯公式.， 在所围区域上满足高斯公式的条件（的点不在内)，故有 3.6 利用两类曲面积分之间的联系 只要能够求出曲面的法向量(而这对于一个已知曲面来说是很容易做到的），就可以求出法向量的方向余弦，从而将第二型曲面积分化为第一型曲面积分来处理，请看 下例： 例1 计算积分，其中为半球：，被柱面，截下的部分. (如图所示) 解 的法向量为：，方向朝上，单位化得：所以，.由两类曲面积分之间的关系式，有 积分曲面关于对称，所以 ，例2 计算，其中为连续函数，是平面在第四象限部分的上侧(如图所示).解 因被积函数中含有抽象函数，直接计算难以进行，化为第一类曲面积分，看能否消去抽象函数. ：，上任一点法向量的方向余弦为由第一类与第二类曲面积分的关系，有 例3 计算闭曲面积分：，其中，是球面外侧表面. 解 本题当然可化为二重积分来计算，但将其化为第一类曲面积分来计算更为方便.因为球面外侧法向量，其方向余弦，由第一、二类面积分的关系，得 注意：本题虽是第二类闭曲面积分，但不能应用高斯公式计算.3.7 利用公式化为第二型曲线积分 斯托克斯（）公式是建立沿空间双侧曲面的积分与沿的边界曲线的积分之间的联系. 定理：设光滑曲面的边界是按段光滑的连续曲线，若函数在（连同）上连续，且有一阶连续偏导数，则，其中的侧与的方向按右手法则确定.若，则存在向量势,使得，故.其中为以为边界线的分片光滑曲面，且指定侧的单位向量与的环行方向构成右手系.例1 计算，其中是球面的上半部分，是它的边界，. 解 边界曲线为平面内一圆，则. 令，则原式=.3.8 利用积分区间对称性的计算方法 若积分曲面关于具有轮换对称性，则 . 若曲面关于平面对称，且在平面上半空间的部分曲面取定为上侧(前侧或右侧)，在平面下半空间的部分曲面取定为下侧(后侧或左侧)，则 ， 关于为偶函数， =， 关于为奇函数； ， 关于为偶函数, =， 关于为奇函数； ， 关于为偶函数, =， 关于为奇函数.例1 求第二型曲面积分，其中为椭球面的外侧. 解 注意到被积曲面关于具有轮换对称性，且可利用投影化为二重积分，则有=，令则.作广义极坐标变换，；则，由轮换对称性知，故.3.9 第二型曲面积分的向量计算形式据第一型曲面积分与第二型曲面积分的关系： 为有向曲面上点处的单位法向量，是曲面的面积微元，正好符合第二型曲面积分的物理意义.又因为两个向量值函数的数量积是一个数值函数，所以是第一型曲面积分，当曲面方程为上侧时，单位法向量为，曲面面积微元为，这就是说在此计算过程中，计算量较大的因子肯定要被约去，实际不需要计算，所以第二曲面积分 整个过程只需计算一个二重积分，计算量大大减小. 例1 求其中为球面的外侧. 解 此题如果采用将第二型曲面积分化二重积分计算，则需要计算六个二重积分，较为繁琐且运算量较大；若利用高斯公式求，被积函数的分母在原点等于零，不能直接对球体